经济数学基础（高职）全套教学课件

经济数学基础第一节函数第二节极限第三节无穷小量与无穷大量第四节极限的运算法则第一章极限与连续第五节两个重要极限第六节函数的连续性第七节经济学中常用的函数本章将主要学习极限与连续的基本概念，以及它们的一些性质，为进一步学好微积分打下基础；极限理论是微积分学的基本推理工具，微积分学中的很多概念和定理都是用极限方法推导出来的.学习重点第一章极限与连续1.函数的定义定义1：设D是由数组成的集合.如果对于每个数x∈D，变量y按照一定的对应法则f总有唯一确定的数值和它对应，那么将对应法则f称为在D上x到y的一个函数，记作y=f（x），x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域.2.函数的表示法（1）表格法.一、函数的概念第一节函数（2）图象法.用图象表示两个变量的函数关系的方法，如上图所示；（3）解析法.用一个等式表示两个变量的函数关系的方法，如y=x+3，y=lg（x+2）等.一、函数的概念第一节函数3.函数的定义域要使解析式有意义，我们通常考虑以下几点：（1）分式的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方数必须为非负数；（3）对数式中的真数必须大于零；（4）幂函数.指数函数.对数函数.三角函数.反三角函数考虑各自的定义域；（5）若函数表达式是由几个数学式子组成，则其定义域应取各部分定义域的交集；（6）分段函数的定义域是各个定义区间的并集.一、函数的概念第一节函数1.奇偶性定义2：设函数的定义域D关于原点对称.如果对于任意的x∈D，f（-x）=-f（x），那么f（x）为奇函数；如果对于任意的x∈D，f（-x）=f（x），那么f（x）为偶函数.否则f（x）为非奇非偶函数.奇函数的图象关于原点对称，如图所示；偶函数的图象关于y轴对称，如图所示.二、函数的几种特性第一节函数二、函数的几种特性第一节函数2.单调性定义3：若对于区间D内任意的两点x1，x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）≤f（x2），那么f（x）在区间D上单调增加，区间D称为单调增区间；特别地，当x1＜x2时，恒有f（x1)＜f（x2），则称f（x)为D上的严格增函数；如果恒有f（x1）＞f（x2），那么f（x）在区间D上单调减少，区间D称为单调减区间；特别地当x1＞x2时，恒有f（x1)＞f（x2），则称f（x)为D上的严格减函数.单调递增函数的图象沿x轴正向上升，如图所示；单调递减函数的图象沿x轴正向下降，如图所示.二、函数的几种特性第一节函数二、函数的几种特性第一节函数3.有界性定义4:设函数f（x）的定义域为D，数集XD.若存在数K1，使得f（x）≤K1对任意x∈X都成立，则称函数f（x）在X上有上界，而K1称为函数f（x）在X上的一个上界（任何大于K1的数也是f（x)在X上的上界）；若存在数K2，使得f（x）≥K24.周期性定义5:设函数f（x）的定义域为D，对于任意的x∈D，存在不为零的数T，使f（x+T）=f（x），那么f（x）为D上的周期函数，T称为函数的一个周期，并且nT（n为非零整数）也是它的周期.平时，我们把函数的最小正周期称为函数的周期.二、函数的几种特性第一节函数1.基本初等函数我们把常数函数y=c（c为常数）.幂函数y=xα（α为实数）.指数函数y=ax（a＞0，a≠1，a为常数）.对数函数y=logax（a＞0，a≠1，a为常数）.三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.2.复合函数定义6:若函数y=f（u），u=g（x），且u=g（x）的值域或部分值域包含在f（u）的定义域中，则变量y通过变量u与变量x建立了对应关系，这个对应关系称为y是x的复合函数，u是中间变量，x是自变量，通常将y=f（u），u=g（x）合并写成y=f［g（x）］.三、初等函数第一节函数以前我们已经学过数列的概念，现在我们来考察当项数n无限增大时，无穷数列{an}的变化趋势.我们先看一个实例：一个篮球从距地面1m高处自由下落，受地心引力及空气阻力作用，每次触地后篮球又反弹到前一次高度的1/2处.于是，可得到表示篮球高度的一个数列：一、数列的极限第二节极限我们知道，篮球最终会停在地面上，即反弹高度h=0，这说明，随着反弹次数n的无限增大，数列通项hn=1/2n-1的值将趋向于0.一、数列的极限第二节极限从图中可看出，当n增大时，点（n，an）从横轴上方无限接近于直线an=0.这表明，当n无限增大时，数列通项an=1/n的值无限趋近于零.同样，从图中可看出，当n增大时，点（n，an）从上下两侧无限接近于直线an=1.这表明，当n无限增大时，数列通项an=（n+（-1）n）/n的值无限趋近于常数1.一、数列的极限第二节极限定义1:如果无穷数列{an}的项数n无限增大时，an无限趋近于一个确定的常数A，那么A就叫作数列{an}的极限（limit）limn→∞1/2n-1=0；limn→∞1/n=0；limn→∞(n+（-1）n)/n=1.一、数列的极限第二节极限1.当x→∞时函数f（x）的极限定义2:如果当x→∞时，函数f（x）无限趋近于确定的常数A，那么A就叫作函数f（x）当x→∞时的极限，记作limx→∞f（x）=A或当x→∞时，f（x）→A.下面给出当x→+∞或x→-∞时函数极限的定义.定义3:如果当x→+∞（或x→-∞）时，函数f（x）的值无限趋近于一个确定的常数A，那么A就称为函数f（x）当x→+∞（或x→-∞）时的极限，记作limx→+∞f（x）=A，或当x→+∞时，f（x）→A（limx→-∞f（x）=A，或当x→-∞时，f（x）→A）.二、函数的极限第二节极限2.当x→x0时函数f（x）的极限定义4:设函数y=f（x）在x0的某空心邻域邻域就是在数轴上满足{x||x-x0|＜δ}，δ＞0的点的集合，即区间（x0-δ，x0+δ）内的一切实数.x0称为邻域的中心，δ为半径.若这个区间不含点x0，则称为x0的空心δ邻域.二、函数的极限第二节极限定义1:如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的极限为零，那么称函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷小量，简称无穷小.例如，当x→0时，sinx是无穷小；当x→∞时，1x是无穷小.一、无穷小量第三节

无穷小量与无穷大量定义2:如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的绝对值无限增大，那么称函数f（x）当x→x0（或x→∞）时为无穷大量，简称无穷大.如果按函数极限的定义来看，f（x）的极限不存在，但是为了便于叙述，我们称“函数的极限是无穷大”，并记作limx→x0（x→∞）f（x）=∞.二、无穷大量第三节

无穷小量与无穷大量定理:在自变量的同一变化过程中，如果f（x）为无穷大，那么1f（x）为无穷小；反之，如果f（x）为无穷小，且f（x）≠0，那么1f（x）为无穷大.例如，因为limx→∞x3=∞，所以limx→∞1x3=0；因为limx→0sinx=0，所以limx→01sinx=∞.

四.无穷小量的性质在自变量的同一变化过程中，无穷小具有以下三个性质：性质1:有限个无穷小的代数和为无穷小.性质2:有界函数与无穷小的乘积为无穷小.性质3:有限个无穷小的乘积为无穷小.三、无穷小量与无穷大量的关系第三节

无穷小量与无穷大量法则设limx→x0f（x）=A，limx→x0g（x）=B，则有（1）limx→x0［f（x）±g（x）］=limx→x0f（x）±limx→x0g（x）=A±B；（2）limx→x0［f（x）·g（x）］=limx→x0f（x）·limx→x0g（x）=A·B；（3）limx→x0［Cf（x）］=C·limx→x0f（x）=C·A（C为常数）；（4）limx→x0f（x）g（x）=limx→x0f（x）limx→x0g（x）=AB（B≠0）.第四节极限的运算法则准则1:如果函数f（x），g（x），h（x）在同一变化过程中满足g（x）≤f（x）≤h（x）且limg（x）=limh（x）=A，那么limf（x）存在且等于A.准则2：若数列{xn}单调有界，则limn→∞xn一定存在.一、判定极限存在的两个准则第五节两个重要极限1.limx→0sinx/x=1我们考察当x趋近于0时，函数sinx/x的变化趋势，列表如下：二、两个重要极限公式第五节两个重要极限从上表中可以看出，当x→0时，sinx/x→1，即limx→0sinx/x=1.从上表中可以看出，当x→+∞和x→-∞时，函数1+1xx无限趋近于一个确定的常数，这个常数就是无理数e=2.71828182845…，即limx→∞1+1xx=e在上式中，令u=1x，则当x→∞时，u→0，于是我们可以得到另一种形式limu→0（1+u）1u=limx→∞1+1xx=e，即limx→0（1+x）1x=e.二、两个重要极限公式第五节两个重要极限1.函数的增量定义1:设函数y=f（x），当自变量由初值x0变到终值x1时，我们把差值x1-x0叫作自变量的增量（或改变量），记作Δx，即Δx=x1-x0，因此x1=x0+Δx.这时可以说，自变量由初值x0变化到x0+Δx.相应地，函数值由f（x0）变化到f（x0+Δx），我们把差值f（x0+Δx）-f（x0）叫作函数的增量（或改变量），记作Δy，即Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.一、函数连续的概念第六节函数的连续性2.函数的连续定义2:设函数y=f（x）在点x0某邻域内有定义，如果当自变量x在x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f（x）的相应增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趋近于零，也就是说，有limΔy=0或lim［f（x0+Δx）-f（x0）］=0，那么称函数y=f（x）在点x0处连续，x0称为函数f（x）的连续点.定义3:如果函数y=f（x）在点x0某邻域内有定义，并且limf（x）=f（x0），那么称函数y=f（x）在点x0处连续，x0称为函数f（x）的连续点.一、函数连续的概念第六节函数的连续性定义4:设函数y=f（x）在x0处及其左（或右）邻域内有定义，如果limf（x）=f（x0）（或limf（x）=f（x0）），那么称函数f（x）在x0处左连续（或右连续）.定义5:如果函数f（x）在开区间（a，b）内每一点都连续，那么称函数f（x）在区间（a，b）内连续，或称函数f（x）为区间（a，b）内的连续函数，区间（a，b）称为函数f（x）的连续区间.一、函数连续的概念第六节函数的连续性1.连续函数的和、差、积、商的连续性性质1：如果函数f（x）与g（x）在点x0处连续，那么它们的和.差.积.商（分母在x0处不等于零）也都在x0处连续.即lim［f（x）±g（x）］=f（x0）±g（x0）；lim［f（x）·g（x）］=f（x0）g（x0）；limf（x）g（x）=f（x0）g（x0）（g（x0）≠0）.二、初等函数的连续性第六节函数的连续性2.复合函数的连续性性质2如果函数u=φ（x）在点x0处连续，且φ（x0）=u0，而函数y=f（u）在点u0处连续，那么复合函数y=f［φ（x）］在点x0处也连续.3.初等函数的连续性性质3：一切初等函数在其定义区间内都是连续的.这个结论对于以后判定函数连续性及一些极限的运算是非常有价值的.如果已知函数f（x）是初等函数，且x0属于f（x）的定义区间，那么求limf（x）时，只需将x0代入函数，求函数值f（x0）即可.二、初等函数的连续性第六节函数的连续性性质4：如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，那么函数f（x）在［a，b］上一定有最大值与最小值.如图所示，可以看出，在［a，b］上至少有一点ξ（a≤ξ≤b）使得f（ξ）=m为最小值，即m=f（ξ）≤f（x）（a≤x≤b），又至少有一点η（a≤η≤b）使f（η）=M为最大值，即M=f（η）≥f（x）（a≤x≤b）.三、闭区间上连续函数的性质第六节函数的连续性对于在开区间内连续或在闭区间上有间断点的函数，其最大值.最小值不一定存在.性质5：如果函数y=f（x）在闭区间［a，b］上连续，且在两端点取不同的函数值f（a）=A和f（b）=B，C是A与B之间的任一数，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得f（ξ）=C（a＜ξ＜b）.这就是著名的介值定理，它的几何意义是：在［a，b］上的连续曲线y=f（x）与直线y=C（C在A与B之间）至少有一个交点，交点坐标为（ξ，f（ξ）），其中f（ξ）=C，如图所示.三、闭区间上连续函数的性质第六节函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质第六节函数的连续性推论如果函数y=f（x）在闭区间［a，b］上连续，且f（a）与f（b）异号，那么至少存在一点ξ（a＜ξ＜b），使得f（ξ）=0.一、需求函数与供给函数第七节经济学中常用的函数1.需求函数一种商品的市场需求量Q与该商品的价格P密切相关，通常降低商品价格会使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少.如果不考虑其他因素的影响，需求量Q可以看成是价格P的一元函数，称为需求函数，记作Q=Q（P）.一般来说，需求函数为价格P的单调减少函数.一、需求函数与供给函数第七节经济学中常用的函数2.供给函数某种商品的市场供给量S也受商品价格P的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，使供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少．供给量S也可看成价格P的一元函数，称为供给函数，记为S=S（P）．供给函数为价格P的单调增加函数．常见的供给函数有线性函数.二次函数.幂函数.指数函数等．其中，线性供给函数为S=-c+dP（c>0，d>0）．二、成本函数、平均成本函数第七节经济学中常用的函数设Q为某种产品的产量，C为生产此种产品的成本，则用C=C（Q）表示该种产品的成本函数.设生产每个单位产品的成本为a，固定成本为C0，则成本函数为C=C（Q）=aQ+C0.用C表示生产Q个单位产品的平均成本，则C=C（Q）=C（Q）Q表示每单位的平均成本函数.平均成本函数也用AC表示.三、价格函数、收入函数与利润函数第七节经济学中常用的函数在消费理论中，需求函数是我们前面讨论的形式Q=f（P）.这种形式所强调的是既定价格下的需求量．在厂商理论中，强调的是既定需求下的价格．在这种情况下，价格是需求量的函数，表示为P=P（Q）.思考题第一章极限与连续某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q=1000-10p（

为需求量，

为价格）．试求：（1）成本函数，收入函数；

（2）产量为多少吨时利润最大？谢谢观看经济数学基础第一节导数的概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节函数的微分第二章导数与微分学习当自变量有微小变化时，函数的变化幅度大小等问题；学习导数、微分的概念及其计算方法.学习重点第二章导数与微分1.变速直线运动的瞬时速度我们知道在物理学中，物体做匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式v=s/t来计算.其中，s为物体经过的路程，t为时间.如果物体做非匀速运动，它的运动规律是s=s（t），那么在某一段时间［t0，t1］内，物体的位移（即位置增量）s（t1）-s（t0）与所经历的时间（即时间增量）t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s（t1）-s（t0）记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均速度记作v，得v=s（t1）-s（t0）/t1-t0=Δs/Δt=s（t0+Δt）-s（t0）/Δt.一、引例第一节导数的概念2.切线问题设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫作曲线在点M处的切线，如图所示.已知曲线方程y=f（x），可以求过曲线上点M（x0，y0）处的切线斜率.在M点的附近取点N（x0+Δx，y0+Δy），其中Δx可正可负，作割线MN，其斜率为（φ为倾斜角）tanφ=ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx.一、引例第一节导数的概念当Δx→0时，割线MN将绕着点M转动到极限位置MT，如图所示.根据上面切线的定义，直线MT就是曲线y=f（x）在点M处的切线.自然，割线MN的斜率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα（α是切线MT的倾斜角），即tanα=limΔtanφ=limΔyΔx=limΔf（x0+Δx）-f（x0）Δx.一、引例第一节导数的概念定义1:设函数y=f（x）在点x0某邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数y有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果当Δx→0时，ΔyΔx的极限存在，那么这个极限就称为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为y′|x=x0，即y′|x=x0=limΔy/Δx=limf（x0+Δx）-f（x0）Δx，也可以记作f′（x0），dy/dx或df（x）/dx二、导数的概念第一节导数的概念定义2:设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，若limΔyΔx=limf（x0+Δx）-f（x0）/Δx(lim0Δy/Δx=limf（x0+Δx）-f（x0）/Δx)存在，则称y=f（x）在点x0的左（右）导数存在，记作f′-（x0）（f′+（x0））.二、导数的概念第一节导数的概念由切线斜率问题的讨论及导数定义可知：函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处的切线斜率，即f′（x0）=tanα.其中，α是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得，曲线y=f（x）在给定点M（x0，y0）处的切线方程是y-y0=f′（x0）（x-x0）.过切点M（x0，y0）且与切线垂直的直线叫作曲线y=f（x）在点M（x0，y0）的法线.若f′（x0）≠0，则法线方程为y-y0=-1f′（x0）（x-x0）.三、导数的几何意义第一节导数的概念设函数y=f（x）在点x0处可导，即极限limΔyΔx=f′（x0）存在.由函数极限存在与无穷小的关系知ΔyΔx=f′（x0）+α（α是当Δx→0时的无穷小）.上式两端同乘以Δx，得Δy=f′（x0）Δx+αΔx.不难看出，当Δx→0时，Δy→0.这就是说，函数y=f（x）在点x0处是连续的.四、函数可导性与连续性的关系第一节导数的概念法则1：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，则函数u（x）±v（x）也在x处可导，且［u（x）±v（x）］′=u′（x）±v′（x）.法则2：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，则函数u（x）·v（x）在点x处也可导，且［u（x）·v（x）］′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.一、函数和.差.积.商的求导法则第二节函数的求导法则特别地，令v（x）=c（常数），则由于c′=0，所以有［cu（x）］′=cu′（x）.法则3：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，且v（x）≠0，则函数u（x）v（x）在点x处也可导且u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v′（x）［v（x）］2.一、函数和.差.积.商的求导法则第二节函数的求导法则法则4：如果函数u=φ（x）在点x处可导，且y=f（u）在对应点u=φ（x）处可导，那么复合函数f［φ（x）］在点x处也可导，并且dy/dx=dy/du·du/dx或f′（x）=f′（u）·φ′（x）.二、复合函数的求导法则第二节函数的求导法则下面来讨论隐函数的求导问题.如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得，但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法如下：（1）将方程F（x，y）=0的两端对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数；（2）求导后，解出y′即可（式子中允许有y出现）.三、隐函数的求导法则第二节函数的求导法则法则5:设函数x=φ（y）在区间D内单调，在y处可导，且φ′（y）≠0，则其反函数y=f（x）在x=φ（y）处也可导，且Dy/dx=1/dx/dy或f′（x）=1/φ′（y）.四、反函数的求导法则第二节函数的求导法则在实际应用中，函数y与自变量x的关系常常通过某一参数变量t表示出来，即x=φ（t）y=ψ（t），t为参数称为函数的参数方程.由于y是参数t的函数，由x=φ（t）知t是x的函数，所以，y通过t确定为x的复合函数.于是，由复合函数的求导法则及反函数的导数公式有dydx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′（t）φ′（t）五、参数方程所确定的函数的导数第二节函数的求导法则一般来说，函数y=f（x）的导数y′=f′（x）仍是x的函数.若函数y′=f′（x）仍是可导的，则把y′=f′（x）的导数叫作函数y=f（x）的二阶导数，记为y″，f″（x）或d2y/dx2.类似地，y=f（x）的二阶导数y″的导数叫作y=f（x）的三阶导数，三阶导数的导数叫作y=f（x）的四阶导数，等等.一般地，f（x）的n-1阶导数的导数叫作y=f（x）的n阶导数，分别记作一、高阶导数的概念第三节高阶导数设物体做变速直线运动，其运动方程为s=s（t），瞬时速度为v=s′（t）.此时，若速度v仍是时间t的函数，我们可以求速度v对时间t的变化率：v′（t）=（s′（t））′=s″（t）.在力学中把上式叫作物体在给定时刻的加速度，用a表示.也就是说，物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数，即a=v′（t）=s″（t）=d2s/dt2.二、二阶导数的物理意义第三节高阶导数在实际生产实践中，有时需要考虑这样的问题：当自变量有一微小的增量时，函数的增量是多少.例如，一个边长为x0的正方形金属薄片，当受冷热影响时，其边长由x0变到（x0+Δx），问此时薄片的面积的改变量是多少?设正方形薄片的边长为x0，面积为y，则上面问题就是求当函数y=x2的自变量由x0变到（x0+Δx）时函数y的改变量Δy，也就是面积的改变量，即一、微分的概念第四节函数的微分Δy=（x0+Δx）2-x20=2x0·Δx+（Δx）2.由此可见，当|Δx|很小时，（Δx）2的作用非常小，可以忽略不计.因此，函数y=x2在x0有微小改变量Δx时，函数的改变量Δy约为2x0·Δx，即Δy≈2x0·Δx.一、微分的概念第四节函数的微分从图中不难看出，Δy表示的是以x0为边长的正方形外围的阴影部分面积，它为图示的Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ部分的面积之和，即2（x0·Δx）+（Δx）2，显然当|Δx|相对于x0很小时，（Δx）2是微乎其微的.一、微分的概念第四节函数的微分当f（x）=x2时，f′（x0）=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成Δy≈f′（x0）·Δx.由于f′（x0）·Δx是Δx的线性函数，所以通常把f′（x0）·Δx叫作Δy的线性主部.一般地，对于给定的可导函数y=f（x），当自变量在x0处有微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算，即Δy≈f′（x0）·Δx一、微分的概念第四节函数的微分我们把f′（x0）·Δx称为函数y=f（x）在点x=x0处的微分.定义如果函数y=f（x）在点x0处存在导数f′（x0），那么f′（x0）·Δx就叫作函数y=f（x）在点x0处的微分，记作dyx=x0，即dy=f′（x0）·Δx.一、微分的概念第四节函数的微分如图所示，设曲线y=f（x）上一点P的坐标为（x0，f（x0）），过P点作割线PQ交曲线于点Q，其坐标为（x0+Δx，f（x0+Δx）），则dx=Δx=PR，Δy=RQ.二、微分的几何意义第四节函数的微分从函数微分的表达式dy=f′（x）dx可以直接推出微分的基本公式和运算法则.1.微分的基本公式（1）d（C）=0（C为常数）；（2）d（xα）=αxα-1dx；（3）d（ax）=axlnadx（a＞0，a≠1）；（4）d（ex）=exdx；（5）d（logax）=(1/xlna)dx（a＞0，a≠1）；三、微分的运算第四节函数的微分2.函数和.差.积.商的微分法则由函数的和.差.积.商的求导法则，可以求得函数和.差.积.商的微分法则：（1）d（u±v）=du±dv；（2）d（uv）=vdu+udv；（3）d（Cu）=Cdu（C为常数）；（4）duv=(vdu-udv)/v2（v≠0）.三、微分的运算第四节函数的微分3.复合函数的微分法则若函数y=f（u）及u=φ（x）都可导，则复合函数y=f［φ（x）］的微分为dy=y′xdx=f′（u）φ′（x）dx，由于φ′（x）dx=du，故上式为dy=f′（u）du.所以复合函数的微分法则为dy=f′（u）du.三、微分的运算第四节函数的微分将这个公式与x为自变量的微分公式dy=f′（x）dx相比较，可以发现它们的形式完全相同，这表明无论u是自变量还是中间变量（即自变量的函数），函数y=f（u）的微分形式dy=f′（u）du都保持不变，微分的这种性质叫作一阶微分形式的不变性.三、微分的运算第四节函数的微分函数y=f（x）在x=x0处的增量Δy，当|Δx|很小时，可用微分dy来代替，即Δy≈dy=f′（x0）Δx，于是Δy=f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx，或f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx.在上式中，令x0=0，Δx=x，得f（x）≈f（0）+f′（0）x.四、微分在近似计算中的应用第四节函数的微分设生产某产品的总成本函数为C(x)=5+x万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售

百吨时的边际收入为R’(x)=11-2x（万元/百吨），求：⑴利润最大时的产量；⑵在利润最大时的产量的基础上再生产

百吨，利润会发生什么变化？思考题第二章导数与微分谢谢观看经济数学基础第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节函数的单调性第四节函数的极值第三章微分中值定理与导数的应用第五节函数的最值第六节曲线的凹凸性与拐点第七节图象的描绘学习应用导数来研究函数及曲线的某些性态，并解决一些实际问题；在微分中值定理的基础上，利用导数来研究函数的某些性态.学习重点第三章微分中值定理与导数的应用罗尔定理如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得函数f（x）在该点的导数等于零，即f′（ξ）=0.一、罗尔定理第一节微分中值定理拉格朗日中值定理如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式f（b）-f（a）=f′（ξ）/（b-a）成立.二、拉格朗日中值定理第一节微分中值定理拉格朗日中值定理如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式f（b）-f（a）=f′（ξ）/（b-a）成立.二、拉格朗日中值定理第一节微分中值定理f（b）-f（a）/b-a=f′（ξ），由图可看出，f（b）-f（a）b-a为弦AB的斜率，而f′（ξ）为曲线在点C处的切线的斜率.因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB.二、拉格朗日中值定理第一节微分中值定理定理1：（洛必达法则）如果函数f（x），g（x）满足条件：（1）limf（x）=0，limx→x0g（x）=0；（2）f（x）和g（x）在点x0的某空心邻域内可导，且g′（x）≠0；（3）limf′（x）g′（x）存在（或为无穷大）；那么limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）.一、00型未定式第二节洛必达法则这个法则告诉我们，当x→x0时，如果f（x）/g（x）为0/0型未定式，那么在上述条件下，要计算极限limf（x）/g（x），可化为计算极限limf′（x）/g′（x）.如果f′（x）/g′（x）当x→x0时，仍属0/0型，且f′（x）和g′（x）仍满足洛必达法则条件，则可连续应用洛必达法则进行计算，即limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）=limf″（x）/g″（x）.一、00型未定式第二节洛必达法则经济数学基础第一节导数的概念第二节函数的求导法则第三节高阶导数第四节函数的微分第二章导数与微分学习当自变量有微小变化时，函数的变化幅度大小等问题；学习导数、微分的概念及其计算方法.学习重点第二章导数与微分1.变速直线运动的瞬时速度我们知道在物理学中，物体做匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可由公式v=s/t来计算.其中，s为物体经过的路程，t为时间.如果物体做非匀速运动，它的运动规律是s=s（t），那么在某一段时间［t0，t1］内，物体的位移（即位置增量）s（t1）-s（t0）与所经历的时间（即时间增量）t1-t0的比，就是这段时间内物体运动的平均速度.我们把位移增量s（t1）-s（t0）记作Δs，时间增量t1-t0记作Δt，平均速度记作v，得v=s（t1）-s（t0）/t1-t0=Δs/Δt=s（t0+Δt）-s（t0）/Δt.一、引例第一节导数的概念2.切线问题设M是曲线C上任一点，N是曲线上在点M附近的一点，作割线MN.当点N沿着曲线C向点M移动时，割线MN就绕着M转动，当点N无限趋近于点M时，割线MN的极限位置为MT，直线MT叫作曲线在点M处的切线，如图所示.已知曲线方程y=f（x），可以求过曲线上点M（x0，y0）处的切线斜率.在M点的附近取点N（x0+Δx，y0+Δy），其中Δx可正可负，作割线MN，其斜率为（φ为倾斜角）tanφ=ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx.一、引例第一节导数的概念当Δx→0时，割线MN将绕着点M转动到极限位置MT，如图所示.根据上面切线的定义，直线MT就是曲线y=f（x）在点M处的切线.自然，割线MN的斜率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα（α是切线MT的倾斜角），即tanα=limΔtanφ=limΔyΔx=limΔf（x0+Δx）-f（x0）Δx.一、引例第一节导数的概念定义1:设函数y=f（x）在点x0某邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx时，相应地函数y有增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.如果当Δx→0时，ΔyΔx的极限存在，那么这个极限就称为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为y′|x=x0，即y′|x=x0=limΔy/Δx=limf（x0+Δx）-f（x0）Δx，也可以记作f′（x0），dy/dx或df（x）/dx二、导数的概念第一节导数的概念定义2:设函数y=f（x）在点x0的某邻域内有定义，若limΔyΔx=limf（x0+Δx）-f（x0）/Δx(lim0Δy/Δx=limf（x0+Δx）-f（x0）/Δx)存在，则称y=f（x）在点x0的左（右）导数存在，记作f′-（x0）（f′+（x0））.二、导数的概念第一节导数的概念由切线斜率问题的讨论及导数定义可知：函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y=f（x）在点M（x0，y0）处的切线斜率，即f′（x0）=tanα.其中，α是切线的倾斜角.根据导数的几何意义及直线的点斜式方程可得，曲线y=f（x）在给定点M（x0，y0）处的切线方程是y-y0=f′（x0）（x-x0）.过切点M（x0，y0）且与切线垂直的直线叫作曲线y=f（x）在点M（x0，y0）的法线.若f′（x0）≠0，则法线方程为y-y0=-1f′（x0）（x-x0）.三、导数的几何意义第一节导数的概念设函数y=f（x）在点x0处可导，即极限limΔyΔx=f′（x0）存在.由函数极限存在与无穷小的关系知ΔyΔx=f′（x0）+α（α是当Δx→0时的无穷小）.上式两端同乘以Δx，得Δy=f′（x0）Δx+αΔx.不难看出，当Δx→0时，Δy→0.这就是说，函数y=f（x）在点x0处是连续的.四、函数可导性与连续性的关系第一节导数的概念法则1：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，则函数u（x）±v（x）也在x处可导，且［u（x）±v（x）］′=u′（x）±v′（x）.法则2：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，则函数u（x）·v（x）在点x处也可导，且［u（x）·v（x）］′=u′（x）v（x）+u（x）v′（x）.一、函数和.差.积.商的求导法则第二节函数的求导法则特别地，令v（x）=c（常数），则由于c′=0，所以有［cu（x）］′=cu′（x）.法则3：若函数u=u（x）和v=v（x）在点x处可导，且v（x）≠0，则函数u（x）v（x）在点x处也可导且u（x）v（x）′=u′（x）v（x）-u（x）v′（x）［v（x）］2.一、函数和.差.积.商的求导法则第二节函数的求导法则法则4：如果函数u=φ（x）在点x处可导，且y=f（u）在对应点u=φ（x）处可导，那么复合函数f［φ（x）］在点x处也可导，并且dy/dx=dy/du·du/dx或f′（x）=f′（u）·φ′（x）.二、复合函数的求导法则第二节函数的求导法则下面来讨论隐函数的求导问题.如果一个隐函数能够转化为显函数，其导数可以用以前学过的方法求得，但是，有的隐函数很难或是根本不能转化为显函数，在这种情况下，隐函数的求导方法如下：（1）将方程F（x，y）=0的两端对x求导，在求导过程中把y看成x的函数，y的函数看成是x的复合函数；（2）求导后，解出y′即可（式子中允许有y出现）.三、隐函数的求导法则第二节函数的求导法则法则5:设函数x=φ（y）在区间D内单调，在y处可导，且φ′（y）≠0，则其反函数y=f（x）在x=φ（y）处也可导，且Dy/dx=1/dx/dy或f′（x）=1/φ′（y）.四、反函数的求导法则第二节函数的求导法则在实际应用中，函数y与自变量x的关系常常通过某一参数变量t表示出来，即x=φ（t）y=ψ（t），t为参数称为函数的参数方程.由于y是参数t的函数，由x=φ（t）知t是x的函数，所以，y通过t确定为x的复合函数.于是，由复合函数的求导法则及反函数的导数公式有dydx=dydt·dtdx=dydtdxdt=ψ′（t）φ′（t）五、参数方程所确定的函数的导数第二节函数的求导法则一般来说，函数y=f（x）的导数y′=f′（x）仍是x的函数.若函数y′=f′（x）仍是可导的，则把y′=f′（x）的导数叫作函数y=f（x）的二阶导数，记为y″，f″（x）或d2y/dx2.类似地，y=f（x）的二阶导数y″的导数叫作y=f（x）的三阶导数，三阶导数的导数叫作y=f（x）的四阶导数，等等.一般地，f（x）的n-1阶导数的导数叫作y=f（x）的n阶导数，分别记作一、高阶导数的概念第三节高阶导数设物体做变速直线运动，其运动方程为s=s（t），瞬时速度为v=s′（t）.此时，若速度v仍是时间t的函数，我们可以求速度v对时间t的变化率：v′（t）=（s′（t））′=s″（t）.在力学中把上式叫作物体在给定时刻的加速度，用a表示.也就是说，物体的加速度a是路程s对时间t的二阶导数，即a=v′（t）=s″（t）=d2s/dt2.二、二阶导数的物理意义第三节高阶导数在实际生产实践中，有时需要考虑这样的问题：当自变量有一微小的增量时，函数的增量是多少.例如，一个边长为x0的正方形金属薄片，当受冷热影响时，其边长由x0变到（x0+Δx），问此时薄片的面积的改变量是多少?设正方形薄片的边长为x0，面积为y，则上面问题就是求当函数y=x2的自变量由x0变到（x0+Δx）时函数y的改变量Δy，也就是面积的改变量，即一、微分的概念第四节函数的微分Δy=（x0+Δx）2-x20=2x0·Δx+（Δx）2.由此可见，当|Δx|很小时，（Δx）2的作用非常小，可以忽略不计.因此，函数y=x2在x0有微小改变量Δx时，函数的改变量Δy约为2x0·Δx，即Δy≈2x0·Δx.一、微分的概念第四节函数的微分从图中不难看出，Δy表示的是以x0为边长的正方形外围的阴影部分面积，它为图示的Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ部分的面积之和，即2（x0·Δx）+（Δx）2，显然当|Δx|相对于x0很小时，（Δx）2是微乎其微的.一、微分的概念第四节函数的微分当f（x）=x2时，f′（x0）=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成Δy≈f′（x0）·Δx.由于f′（x0）·Δx是Δx的线性函数，所以通常把f′（x0）·Δx叫作Δy的线性主部.一般地，对于给定的可导函数y=f（x），当自变量在x0处有微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算，即Δy≈f′（x0）·Δx一、微分的概念第四节函数的微分我们把f′（x0）·Δx称为函数y=f（x）在点x=x0处的微分.定义如果函数y=f（x）在点x0处存在导数f′（x0），那么f′（x0）·Δx就叫作函数y=f（x）在点x0处的微分，记作dyx=x0，即dy=f′（x0）·Δx.一、微分的概念第四节函数的微分如图所示，设曲线y=f（x）上一点P的坐标为（x0，f（x0）），过P点作割线PQ交曲线于点Q，其坐标为（x0+Δx，f（x0+Δx）），则dx=Δx=PR，Δy=RQ.二、微分的几何意义第四节函数的微分从函数微分的表达式dy=f′（x）dx可以直接推出微分的基本公式和运算法则.1.微分的基本公式（1）d（C）=0（C为常数）；（2）d（xα）=αxα-1dx；（3）d（ax）=axlnadx（a＞0，a≠1）；（4）d（ex）=exdx；（5）d（logax）=(1/xlna)dx（a＞0，a≠1）；三、微分的运算第四节函数的微分2.函数和.差.积.商的微分法则由函数的和.差.积.商的求导法则，可以求得函数和.差.积.商的微分法则：（1）d（u±v）=du±dv；（2）d（uv）=vdu+udv；（3）d（Cu）=Cdu（C为常数）；（4）duv=(vdu-udv)/v2（v≠0）.三、微分的运算第四节函数的微分3.复合函数的微分法则若函数y=f（u）及u=φ（x）都可导，则复合函数y=f［φ（x）］的微分为dy=y′xdx=f′（u）φ′（x）dx，由于φ′（x）dx=du，故上式为dy=f′（u）du.所以复合函数的微分法则为dy=f′（u）du.三、微分的运算第四节函数的微分将这个公式与x为自变量的微分公式dy=f′（x）dx相比较，可以发现它们的形式完全相同，这表明无论u是自变量还是中间变量（即自变量的函数），函数y=f（u）的微分形式dy=f′（u）du都保持不变，微分的这种性质叫作一阶微分形式的不变性.三、微分的运算第四节函数的微分函数y=f（x）在x=x0处的增量Δy，当|Δx|很小时，可用微分dy来代替，即Δy≈dy=f′（x0）Δx，于是Δy=f（x0+Δx）-f（x0）≈f′（x0）Δx，或f（x0+Δx）≈f（x0）+f′（x0）Δx.在上式中，令x0=0，Δx=x，得f（x）≈f（0）+f′（0）x.四、微分在近似计算中的应用第四节函数的微分设生产某产品的总成本函数为C(x)=5+x万元)，其中x为产量，单位：百吨．销售

百吨时的边际收入为R’(x)=11-2x（万元/百吨），求：⑴利润最大时的产量；⑵在利润最大时的产量的基础上再生产

百吨，利润会发生什么变化？思考题第二章导数与微分谢谢观看经济数学基础第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节函数的单调性第四节函数的极值第三章微分中值定理与导数的应用第五节函数的最值第六节曲线的凹凸性与拐点第七节图象的描绘学习应用导数来研究函数及曲线的某些性态，并解决一些实际问题；在微分中值定理的基础上，利用导数来研究函数的某些性态.学习重点第三章微分中值定理与导数的应用罗尔定理如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点的函数值相等，即f（a）=f（b），那么在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使得函数f（x）在该点的导数等于零，即f′（ξ）=0.一、罗尔定理第一节微分中值定理拉格朗日中值定理如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式f（b）-f（a）=f′（ξ）/（b-a）成立.二、拉格朗日中值定理第一节微分中值定理拉格朗日中值定理如果函数f（x）在闭区间［a，b］上连续，在开区间（a，b）内可导，那么在（a，b）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式f（b）-f（a）=f′（ξ）/（b-a）成立.二、拉格朗日中值定理第一节微分中值定理f（b）-f（a）/b-a=f′（ξ），由图可看出，f（b）-f（a）b-a为弦AB的斜率，而f′（ξ）为曲线在点C处的切线的斜率.因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y=f（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB.二、拉格朗日中值定理第一节微分中值定理定理1：（洛必达法则）如果函数f（x），g（x）满足条件：（1）limf（x）=0，limx→x0g（x）=0；（2）f（x）和g（x）在点x0的某空心邻域内可导，且g′（x）≠0；（3）limf′（x）g′（x）存在（或为无穷大）；那么limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）.一、00型未定式第二节洛必达法则这个法则告诉我们，当x→x0时，如果f（x）/g（x）为0/0型未定式，那么在上述条件下，要计算极限limf（x）/g（x），可化为计算极限limf′（x）/g′（x）.如果f′（x）/g′（x）当x→x0时，仍属0/0型，且f′（x）和g′（x）仍满足洛必达法则条件，则可连续应用洛必达法则进行计算，即limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）=limf″（x）/g″（x）.一、00型未定式第二节洛必达法则对于x→x0时的∞∞型未定式，也有相应的洛必达法则.定理2:如果f（x），g（x）满足条件：（1）limf（x）=∞，limg（x）=∞；（2）f（x）和g（x）在点x0的某空心邻域内可导，且g′（x）≠0；（3）limf′（x）/g′（x）存在（或无穷大）；那么limf（x）/g（x）=limf′（x）/g′（x）.对于x→∞时的∞∞型未定式，上述法则也同样适用.二、∞∞型未定式第二节洛必达法则如图所示，如果函数y=f（x）在区间［a，b］上单调增加，那么它的图象是一条沿x轴正向上升的曲线，这时，曲线上各点切线的倾斜角都是锐角，它们的切线斜率f′（x）都是正的，即f′（x）＞0.同样地，如图所示，如果函数y=f（x）在［a，b］上单调减少，那么它的图象是一条沿x轴正向下降的曲线，这时曲线上各点切线的倾斜角都是钝角，它们的斜率f′（x）都是负的，即f′（x）＜0.二、∞∞型未定式第三节函数的单调性二、∞∞型未定式第三节函数的单调性二、∞∞型未定式第三节函数的单调性定理设函数y=f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导：（1）如果在（a，b）内f′（x）＞0，那么函数y=f（x）在［a，b］上单调增加；（2）如果在（a，b）内f′（x）＜0，那么函数y=f（x）在［a，b］上单调减少.一、函数极值的定义第四节函数的极值在图中我们可以看出，函数y=f（x）在一、函数极值的定义第四节函数的极值c1，c4的函数值f（c1），f（c4）比它们两旁各点的函数值都大，而在点c2，c5的函数值f（c2），f（c5）比它们两旁各点的函数值都小.对于这种性质的点和对应的函数值，我们给出如下的定义.定义设函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0∈（a，b）.若对于点x0近旁的任意点x（x≠x0），均有f（x）＜f（x0）成立，则称f（x0）是函数f（x）的一个极大值，点x0称为f（x）的一个极大值点；若对于点x0近旁的任意点x（x≠x0），均有f（x）＞f（x0）成立，则称f（x0）是函数f（x）的一个极小值，点x0称为f（x）的极小值点.二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值定理1：设函数f（x）在点x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f′（x0）=0.使导数为零的点（即方程f′（x）=0的实根）叫作函数f（x）的驻点（又叫稳定点）.二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值定理2：（第一种充分条件）设函数f（x）在点x0的某邻域内可导.（1）如果当x取x0左侧邻域的值时，恒有f′（x）＞0，当x取x0右侧邻域的值时，恒有f′（x）＜0，那么函数f（x）在点x0处取得极大值f（x0）；（2）如果当x取x0左侧邻域的值时，恒有f′（x）＜0，当x取x0右侧邻域的值时，恒有f′（x）＞0，那么函数f（x）在点x0处取得极小值f（x0）；二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值（3）如果在x0的两侧，函数的导数符号相同，那么函数f（x）在点x0处没有极值.当函数f（x）在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下列定理来判定f（x）在驻点处取得极大值还是极小值.二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值定理3：（第二种充分条件）设函数f（x）在点x0处具有二阶导数且f′（x0）=0，f″（x0）≠0，那么（1）f″（x0）＜0时，函数f（x）在x0处取得极大值；（2）f″（x0）＞0时，函数f（x）在x0处取得极小值.根据上面三个定理，如果函数f（x）在所讨论的区间内各点处都具有导数，我们就以下列步骤来求函数f（x）的极值点和极值：（1）求出函数f（x）的定义域；（2）求出函数f（x）的导数f′（x）；二、函数极值的判定和求法第四节函数的极值（3）求出f（x）的全部驻点（即求出方程f′（x）=0在所讨论的区间内的全部实根）或一阶导数不存在的点；（4）用以上所求得的点把函数的定义域划分为若干个部分区间，考察每个部分区间内f′（x）的符号，以确定这些点是否为极值点，如果是极值点，还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值；（5）求出各极值点处的函数值，就得到了函数f（x）的全部极值.一、函数的最大值和最小值的求法第五节函数的最值我们知道，闭区间［a，b］上的连续函数f（x）一定有最大值和最小值存在.显然，这个最大值和最小值只能在区间（a，b）内的极值点或者区间的端点处取得.因此，求闭区间上的连续函数的最大值和最小值时，只要把可能取得极值的点（驻点和不可导的点）与区间端点的函数值比较大小，最大的就是f（x）在［a，b］上的最大值，最小的就是f（x）在［a，b］上的最小值.二、最大值和最小值的应用问题第五节函数的最值在实际问题中，常要遇到在一定条件下，怎样使产量最多.用料最省.成本最低等问题，这类问题常可归结为求函数的最大值或最小值问题.一、曲线的凹凸性及其判别法第六节曲线的凹凸性与拐点定义1：若在开区间（a，b）内，曲线y=f（x）的各点处切线都位于曲线的下方，则称此曲线在（a，b）内是凹的；若曲线y=f（x）的各点处切线都位于曲线的上方，则称此曲线在（a，b）内是凸的.如图所示，曲线y=f（x）在区间（a，c）内是凸的，在区间（c，b）内是凹的.再观察曲线段上各点处的斜率的变化我们会发现，曲线y=f（x）在区间（a，c）内从左至右切线的斜率是递减的；在区间（c，b）内从左至右切线的斜率是递增的.联系函数增减性的判别方法，我们便有如下的曲线凹凸性的判别定理.一、曲线的凹凸性及其判别法第六节曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性及其判别法第六节曲线的凹凸性与拐点定理设函数y=f（x）在开区间（a，b）内具有二阶导数，则（1）若果在区间（a，b）内f″（x）＞0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是凹的；（2）若在区间（a，b）内f″（x）＜0，则曲线y=f（x）在（a，b）内是凸的.二、曲线的拐点第六节曲线的凹凸性与拐点定义2：若连续曲线y=f（x）上的一点是凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点，则称该点是曲线y=f（x）的拐点.因为拐点是曲线凹凸的分界点，所以拐点左右两侧近旁f″（x）的符号必然异号.因此曲线y=f（x）拐点的横坐标x0只可能是使f″（x）=0或f″（x）不存在的点.下面我们介绍判定曲线的拐点的步骤.二、曲线的拐点第六节曲线的凹凸性与拐点（1）确定函数y=f（x）的定义域；（2）求出二阶导数f″（x），令f″（x）=0，求出定义域