【数学】2023届高考文科一轮专题复习之高效测试33：基本不等式及其应用

第页高效测试33：根本不等式及其应用一、选择题1.设a＞0，b＞0.假设eq\r(3)是3a与3b的等比中项，那么eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A.8B．4C．1D.eq\f(1,4)解析：由题意有(eq\r(3))2＝3a·3b⇒a＋b＝1，又a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))(a＋b)＝1＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＋1≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为4.答案：B2.假设函数f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x＞2)在x＝a处取最小值，那么a＝()A.1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C.3D．4解析：当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq\f(1,x－2)(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.答案：C3.设x，y∈R，a＞1，b＞1.假设ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，那么eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为()A.2B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(1,2)解析：由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3(ab)≤log3(eq\f(a＋b,2))2＝1，应选C.答案：C4.当x＞2时，不等式x＋eq\f(4,x－2)≥a恒成立，那么实数a的()A.最小值是8B．最小值是6C.最大值是8D．最大值是6解析：x＋eq\f(4,x－2)＝(x－2)＋eq\f(4,x－2)＋2≥4＋2＝6，又x＋eq\f(4,x－2)≥a恒成立，故a≤6，所以a的最大值为6答案：D5.x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，假设x＋2y＞m2＋2m恒成立，那么实数m的取值范围是()A.m≥4，或m≤－2B．m≥2，或m≤－4C.－2＜m＜4D．－4＜m＜2解析：∵x＞0，y＞0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)(eq\f(2,x)＋eq\f(1,y))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即4y2＝x2，x＝2y时取等号，又eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，此时x＝4，y＝2.∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y＞m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min＞m2＋2m成立，即8＞m2＋2m，解得－4＜m＜2.答案：D6.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．假设每批生产x件，那么平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件B．80件C.100件D．120件解析：假设每批生产x件产品，那么每件产品的生产准备费用是eq\f(800,x)，存储费用是eq\f(x,8)，总的费用是eq\f(800,x)＋eq\f(x,8)≥2eq\r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，当且仅当eq\f(800,x)＝eq\f(x,8)时取等号，即x＝80.答案：B二、填空题7.log2a＋log2b≥1，那么3a＋9b的最小值为__________．解析：log2a＋log2b＝log2(ab)．∵log2a＋log2b≥1，∴ab≥2且a＞0，b＞0.3a＋9b＝3a＋32b≥2eq\r(3a·32b)＝2eq\r(3a＋2b)≥2eq\r(32\r(2ab))≥2eq\r(32×2)＝18，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立．∴3a＋9b的最小值为18.答案：188.假设实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，那么x＋y的最大值是__________．解析：∵xy≤eq\f(1,4)(x＋y)2，∴1＝x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－eq\f(1,4)(x＋y)2＝eq\f(3,4)(x＋y)2，∴(x＋y)2≤eq\f(4,3)，∴－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3)，当x＝y＝eq\f(\r(3),3)时，x＋y取得最大值eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)9.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝eq\f(2,x)的图象交于P，Q两点，那么线段PQ长的最小值是__________．解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，那么m＞0，n＞0，n＝eq\f(2,m)，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋eq\f(4,m2))≥16(当且仅当m2＝eq\f(4,m2))，即m＝eq\r(2)时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.答案：4三、解答题10.设eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(a，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，假设A、B、C三点共线，求eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值．解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(a－1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－b－1,2)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.∵a＞0，b＞0，∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(2,b))(2a＋b)＝4＋eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥4＋4＝8，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)，即b＝2a时等号成立．∴eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值为8.11.如下图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影局部)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)能使矩形广告面积最小？解析：方法一：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，那么ab＝9000.①广告的高为a＋20，宽为2b＋25，其中a＞0，b＞0.广告的面积S＝(a＋20)(2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2eq\r(25a·40b)＝18500＋2eq\r(1000ab)＝24500.当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b＝eq\f(5,8)a，代入①式得a＝120，从而b＝75，即当a＝120，b＝75时，S取得最小值24500，故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．方法二：设广告的高和宽分别为xcm，ycm，那么每栏的高和宽分别为x－20，eq\f(y－25,2).其中x＞20，y＞25.两栏面积之和为2(x－20)eq\f(y－25,2)＝18000，由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，广告的面积S＝xy＝x(eq\f(18000,x－20)＋25)＝eq\f(18000x,x－20)＋25x，整理得S＝eq\f(360000,x－20)＋25(x－20)＋18500.因为x－20＞0，所以S≥2eq\r(\f(360000,x－20)×25x－20)＋18500＝24500.当且仅当eq\f(360000,x－20)＝25(x－20)时等号成立，此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x＝140，代入y＝eq\f(18000,x－20)＋25，得y＝175.即当x＝140，y＝175时，S取得最小值24500，故当广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小.12.在锐角△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝(2sin(A＋C)，eq\r(3))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos2B，2cos2\f(B,2)－1))，且向量m、n共线．(1)求角B的大小；(2)如果b＝1，求△ABC的面积S△ABC的最大值．解析：(1)∵m∥n，∴2sin(A＋C)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2cos2\f(B,2)－1))－eq\r(3)cos2B＝0.又∵A＋C＝π－B，∴2sinBcosB＝eq\r(3)cos2B，[z+zs+]即sin2B＝eq\r(3)cos2B.∴tan2B＝eq\r(3)，又∵△ABC是锐角三角形，∴0＜B＜eq\f(π,2)，∴0＜2B＜π，∴2B＝eq\f(π,3)，故B＝eq\f(π,6).(2)由(1)知：B＝eq\f(π,6)，且b＝1，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，