2022届高考数学新题型归纳-数列部分

第第#页共51页分析】若选择条件①：先求a二3n，再求b二2n^6，接着判断当n>4时,nn3n｛b｝单调递减，最后求最大值为b二？；若选择条件②：先求n481TOC\o"1-5"\h\za二E-3，再求b二2n-6，接着判断当n>4时，｛b｝单调递减,nn2n+1—3n最后求最大值为b二—.429【详解】【解】本题考查数列的性质及数列的最大项．若选择条件①，•・•2S二3n+i—3，•:2S=3n+2—3，nn+1则2S—2S=3n+2—3n+1，^得2a=3-3n+1—3n+1=2-3n+1，n+1nn+1则a=3n+i，a=3n，n+1n故当n=1时，2S=3i+i—3即a=S=3，满足a=3n，111n2n—62n—6b二二na3nn令2n—6>0，得n>3，b>0，n^令2n—6<0，^又ngN*，…0<n<3，b<0•n当n=3时，b=0;3当"=当"=4时，b4=I当n=5时，b=-=三<b,53534X34当n当n>4时，2n—66n—18b==n3n3X3n2(n+1)—62n—4TOC\o"1-5"\h\zb==n+13n+13X3n2n—46n—1814—4nb—b=—=—n+1n3X3n3X3n3X3n

当n>4时，b-b=14_—<0，即b<bn+1n・••当n>4时，｛b｝单调递减，n则当n=4时，数列｛b｝的项最大，最大值为b二—二—.TOC\o"1-5"\h\zn43481若选择条件②，丁a=2a+3，•:a+3=2a+6=2(a+3).n+1nn+1nn・・・a=1,・a+3=4,・••数列｛a+3｝是以4为首项，2为公比的等11n比数列,2n-62n-6・a+3=2n+1,na=2・a+3=2n+1,nnna2n+1-3令2n-6>0，得n>3,b>0,n^令2n—6<0,^又neN*，当n=3时，b=0;3当n=4当n=4时，225—3当n=5时，426—3当n>当n>4时，2n—62n—62(n—3)b===na2n+1—32n+1—3n2(n—3)+2b=厂n+12(2n+1-3)，2③b—bnn③b—bnn+12(n—3)2n+1—3—2(n—3)+22x2n+i—3>0,即b>bnn+1当n>4时,｛b｝单调递减,n则当n=4时，数列｛b｝的项最大，最大值为b=-=—n425—329点睛】

本题考查借S与a的关系求a，递推关系构造新数列求a，借数nnna=a=aC>0,aeN*),S=pa1nn+122•已知数列｛a｝的前n项和为Sn（p丰0p工-1,neN*）•（1）求数列｛a｝的通项公式;n（2）（2）在①a,a,a,k+1k+3k+2个，补充在下面的问题中a，a这两个条件中任选一k+1k+3要使问题成立：对任意的正整数k，若将a成等差数列，，a对任意的正整数k，若将a成等差数列，，a，a按k+1k+2k+3且公差为d，求p的值及对应的d・kk的顺序排列后构答案】（1）a(n=1)a(p+1丫_2、PIP丿（n.2）；（2）见解析解析】分析】(1)由S(n三2),=pa再写式子S=pa(n>2),两式作差得到，卄=—n+1n(1)由S(n三2),n所以数列⑺｝从第二项起是公比为山的等比数列，又np当n=1时a2=学，从而可得通项公式;（2）由（1）分别写出a，a，a，若选①，则a+a=2a，k+1k+2k+3k+1k+2k+3解出p值，即可求得d;同理若选②，则a+a=2a，解出pkk+2k+3k+1值，求得d.k

详解】(1)因为S=pa，当n>2时，S=pa，nn+1n-1n两式相减，得績a两式相减，得績an=号（n>2），故数列｛a｝从第二项起是公比为弓的等比数列'又当n=1时,a-pa=0，又当n=1时,121a(n=1)所以a2=+从而an-2(n>2)2）由（1）得ak所以a2=+从而an-2(n>2)2）由（1）得ak+1k-1k+1ak+3若选①，则ak+1+ak+2=2a，k+3得p=-r所以ak+13a(3a(a=k+31\k+1—,所以d=ak-ak+39a:=——Xk+18k-11或圧1或圧=-2,得p=-rTOC\o"1-5"\h\z若选②，则a+a=2a，k+2k+3k+1所以a=-3a(-