(完整word版)高考数学专题复习：分类讨论思想

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高考冲刺：分类讨论思想

编稿：林景飞审稿：张扬责编：辛文升

热点分析

高考动向

分类讨论是一种重要的逻辑办法，也是中学数学中经常使用的数学思想办法之一.突出考查学生思维的严谨性和精密性，以及认识咨询题的全面性和深刻性，提高学生分析咨询题，解决咨询题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.所以分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一具难点.

数学中的分类讨论贯通教材的各个部分，它别仅形式多样，而且具有非常强的综合性和逻辑性.

知识升华

1．分类讨论的常见情形

（1）由数学概念引起的分类讨论：要紧是指有的概念本身是分类的，在别同条件下有别同结论，则必

须举行分类讨论求解，如绝对值、直线歪率、指数函数、对数函数等.

（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在别同条件下

结论别一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向别确定，等比数列前n项

和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式别确定等.

（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，

a＜0，a＞0解法是别同的.

（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的

位置关系等.

（5）由实际意义引起的讨论：此类咨询题在应用题中常见.

（6）由参数变化引起的讨论：所解咨询题含有参数时，必须对参数的别同取值举行分类讨论；含有参数

的数学咨询题中，参变量的别同取值，使得变形受限导致别同的结果.

2．分类的原则

（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；

分类讨论咨询题的难点在于啥时候开始讨论，即认识为啥要分类讨论，又从几方面开始讨论，惟独明确了讨论缘故，才干准确、恰当地举行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，思考咨询题要全面.函数咨询题中的定义域，方程咨询题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判不式等等，常常是分类讨论划分的依据.

（2）每次分类的对象别遗漏、别重复、分层次、别越级讨论.

当咨询题中浮现多个别确定因素时，要以起主导作用的因素举行划分，做到别重别漏，然后对划分的每一类分不求解，再整合后得到一具完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要办法.

3．分类讨论的普通步骤

第一，明确讨论对象，确定对象的范围；

第二，确定分类标准，举行合理分类，做到别重别漏；

第三，逐类讨论，获得时期性结果；

第四，归纳总结，得出结论.

4.分类讨论应注意的咨询题

第一，按主元分类的结果应求并集.

第二，按参数分类的结果要分类给出.

第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的办法有时比较繁杂，若有也许，应尽可能避

免分类.

经典例题透析

类型一：别等式中的字母讨论

1、（2010·山东）若关于任意，恒成立，则a的取值范围是

________.

思路点拨：依据式子的特点，举行整理，分子分母同除以x.

解析：对一切恒成立，

在R+上的最大值.

而.

当且仅当即x=1时等取号.

∴.

举一反三：

【变式1】解对于的别等式:（）.

解析：原别等式可分解因式为:，

（下面按两个根与的大小关系分类）

（1）当，即或时，别等式为或，别等式的解集

为：；

（1）当，即时，别等式的解集为：；

（2）当，即或时，别等式的解集为：；

综上所述，原别等式的解集为：

当或时，；

当时，；

当或时，.

【变式2】解对于的别等式:.

解析：

（1）当时，别等式为,解集为；

（2）当时，需要对方程的根的事情举行讨论：

①

即时，方程有两根

.

则原别等式的解为.

②

即时，方程没有实根，

此刻为开口向上的抛物线，故原别等式的解为.

③

即时，方程有两相等实根为，

则原别等式的解为.

（3）当时，恒成立，

即时，方程有两根

.

此刻，为开口向下的抛物线，

故原别等式的解集为.

综上所述，原别等式的解集为：

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为；

当时，解集为.

类型二：函数中的分类讨论

2、设为实数，记函数的最大值为，

（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）试求满脚的所有实数.

解析：

（I）∵，

∴要使故意义，必须且，即

∵，且……①

∴的取值范围是，

由①得：，

∴，，

（II）由题意知即为函数，的最大值，

∵时，直线是抛物线的对称轴，

∴可分以下几种事情举行讨论：

（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

（2）当时，，，有=2；

（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，，

综上所述，有=

（III）当时，；

当时，，，∴，

∴，

故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此刻，，

综上所述，满脚的所有实数为：或.

举一反三：

【变式1】函数的图象通过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒有f(x)3，别满脚题意；

(2)当，则，此刻，x∈(-1，+∞)时，

即f(x)0，ax1·x2>0

∴当00，

即f(x2)>f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增.（2）因为01，即0综上，所求的函数y=g(a)＝.

【变式2】求函数在上的值域.

解析：

令，则

(1)当0＜a≤1时，

∵0≤x≤a，∴f′(x)≥0(惟独a=1且x=1时f′(x)=0)

∴f(x)在[0,a]上单增，从而，值域为；

(2)当a>1时，

∵0≤x≤a，∴f(x)在单增，在上单减，

同时，∴，值域为；

(3)当-1≤a0

①q=1时，Sn=S1=a1

当n=1时，，a2=0，∴，即

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，，即

(2)q≠1时，Sn=S1·qn-1=a1·qn-1

当n=1时，

∴，即.

当n≥2时，

an=Sn-Sn-1=a1·qn-1-a1·qn-2=a1·qn-2(q-1)

此刻

∴q>1时，，

0<q<1时，.

总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q≠1两种事情举行讨论.

举一反三：

【