考点06数列2022高考数学（文）模考考前复习指导与抢分集训

专题一核心考点速查练考点06数列核心考点呈现1.数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.理解等差、等比数列的概念；3.了解等差数列与一次函数的关系，等比数列与指数函数的关系；4.等差、等比数列的前n项和公式及性质．5.熟练掌握常考的错位相减法，裂项相消以及分组求和这些基本方法，注意计算的准确性和方法选择的灵活性．6.能运用数列的等差、等比关系解决实际问题.1．在数列中，若，，，则该数列的通项为().A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴数列是等差数列，又，∴，∴．故选A．2．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31．5尺，前九个节气日影长之和为85．5尺，则芒种日影长为（）A．1．5尺 B．2．5尺 C．3．5尺 D．4．5尺【答案】B【解析】设这十二个节气日影长依次成等差数列，是其前项和，则，所以，由题知，所以，所以公差，所以，故选B.3．设等差数列前项和为，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，，因此，.故选：D.4．数列满足,且，则（）A．95 B．190 C．380 D．150【答案】D【解析】，即为，故数列是等差数列，，故选：D.5．设等差数列满足，且为其前n项和，则数列的最大项为()A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，，即，则等差数列单调递减当时，数列取得最大值故选6．在等差数列中，其前项和是，若，，则在中最大的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，

所以可得．

这样，

而>0，，

所以在中最大的是．

故选C．7．等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：①若，且，则和都是中的最大项；②给定，对一切，都有；③若，则中一定有最小项；④存在，使得和同号.其中正确命题的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】对于①若，，可得，即，所以和都是中的最大项，①正确；②根据等差中项性质可知，所以②是正确的；③根据等差数列求和公式可知，，当时，是最小值；当，或时取最大值；④和，因为，所以和异号，故④是错误的.8．设各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且S10＝0，则使不等式成立的正整数n的最小值是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】在等差数列{an}中，由S10＝0，得，则．又∵，可知数列{an}为递增数列，则．又．∴当n＝10时，0，当n＝11时，，∴使不等式成立的正整数n的最小值是11．故选：C．9．在等比数列中，，，且前项和，则此数列的项数等于（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质可得：又和是方程的两根，解方程得或若等比数列递增，则，，解得，解得若等比数列递减，则，，解得，解得则此数列的项数等于故选10．我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个键到下一个键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰好构成一个等比数列的原理，高音的频率正好是中音的2倍．已知标准音的频率为，那么频率为的音名是（）A．d B．f C．e D．#d【答案】D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为由，解得，频率为的音名是，故选D.11．设an是等差数列，bn是等比数列，且A．a1008>C．∀n∈N*,1<n<2017,a【答案】．C【解析】A项,{an}是等差数列,a1=1，a2017=2017，所以数列单调递增,错误;因为等差数列的图象为一次函数上孤立的点,而等比数列为指数函数上孤立的点,且由题意两个函数分别单调递增,故画出相对应的函数图象,一条直线与一条下凸的曲线,在自变量n取1和2022时有交点,因此在1<n<201712．已知，成等差数列，成等比数列，则的最小值是A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D解析∵x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列根据等差数列和等比数列的性质可知：a+b=x+y，cd=xy，当且仅当x=y时取“=”，故选D13．设等比数列的公比为,其前项的积为,并且满足条件：；给出下列论:①；②；③值是中最大值；④使成立的最大自然数等于198.其中正确的结论是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】．B【解析】由可得又即由，即,结合，所以，，即，，即，即①正确；又，所以，即，即②错误；因为，即值是中最大值，即③错误；由，即，即，又，即，即④正确，综上可得正确的结论是①④，故选：B.14．记为数列的前项和，且满足，，若数列为递增数列，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．或【答案】．B【解析】由，及，作差可得：，即，因为，所以，所以为等比数列.若数列为递增数列，则.解得.故选：B.15．已知等比数列的前项和为，则下列判断一定正确是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】利用排除法：考查等比数列：，，，，满足，但是，选项A错误；考查等比数列：，，，，满足，但是，选项B错误；该数列满足，但是，选项C错误；本题选择D选项.16．已知数列的前n项和，那么下述结论正确的是（）A．为任意实数时，是等比数列B．=－1时，是等比数列C．=0时，是等比数列D．不可能是等比数列【答案】B【解析】因为，所以当时，当时，若是等比数列，则若=－1，则是等比数列.因此选B.17．关于数列,给出下列命题：①数列满足,则数列为公比为2的等比数列；②“,的等比中项为”是“”的充分不必要条件：③数列是公比为的等比数列,则其前项和；④等比数列的前项和为,则，，成等比数列,其中假命题的序号是（）A．② B．②④ C．①②④ D．①③④【答案】D【解析】命题①：当数列各项是零时,显然满足,显然数列不是等比数列；命题②：根据等比中项的定义一定由,的等比中项为可以推出,但由不一定能推出,的等比中项为,因为如果,显然成立,但是,没有等比中项;命题③：没有考虑公比为1这一情况,这个公式只能用于公比不为1的情况；命题④：没有考虑公比为1这一情况,当公比为1时,，，这三个数为零,不能构成等比数列.故选：D18．已知数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项是，第二项是1，接着两项为，，接着下一项是2，接着三项是，，，接着下一项是3，依此类推.记该数列的前项和为，则满足的最小的正整数的值为（）A．65 B．67 C．75 D．77【答案】C【解析】由题将数列分成如下的组（1，1），（1，2，2），（1，2，4，3），（1，2，4，8，4），（1，2，4，8，16，5）…，则第t组的和为，数列共有项，当时，,随增大而增大，时，，，时，，，第65项后的项依次为，，，…，，11，，，…，又，，，，，∴满足条件的最小的值为.故选：C19．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设表示数列的前项之和，则使不等式成立的最大正整数的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】,,而,,即,即,故选A20．若，且，，，和，，，，各自都成等差数列，则______.【答案】【解析】设数列，，，的公差为，数列，，，，的公差为，则，，∴。故答案为：。21．已知函数,且)，若数列满足,且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.【答案】．【解析】依题意（）.注意到的对称轴为，所以当时，单调递增.由于数列是递增数列，所以，即，解得.所以的取值范围是.故答案为：22．已知数列的前项和.若是中的最大值，则实数的取值范围是_____．【答案】【解析】因为，所以当时，；当时，也满足上式；当时，，当时，，综上，；因为是中的最大值，所以有且，解得.故答案为23．记首项为，公差为的等差数列的前项和为，若，且，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由，得.因为，所以，.所以当时，，当时，.（1）当时，由得.因为，所以.（2）当时，由得.因为，所以.综上所述，的取值范围是.24．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是__________．【答案】【解析】当时，，因为，所以，当时，令时，，和已知两式相减得①，即②，①-②得，，所以数列的偶数项成等差数列，奇数项从第三项起是等差数列，，，若对，恒成立，即当时，，时，，当时，，即，解得：，所以的取值范围是.25．若数列满足，则称数列为调和数列.已知数列为调和数列，且，则_________.【答案】20.【解析】由题意知：∵数列为调和数列，∴，∴是等差数列，又∵，∴，又∵，∴，故答案为．26．已知等差数列中公差，若成等比数列，且成等比数列，若对任意，恒有，则_________．【答案】1或2【解析】设等差数列的公差为，由题意可得：，即：，结合整理可得：，由可得：，数列的通项公式：，则：，即数列是首项为公比为的等比数列，则：，据此可得：，结合数列的单调性可得或.27．已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题：①；②；③;④数列中的最大项为.其中正确命题的序号是__________．【答案】①②【解析】∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S6＞S7＞S5，∴a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0；∴d=a7﹣a6＜0，故①正确；S11===11a6＞0，故②正确；同理可得，S12=6（a6+a7）＞0，故③错误；由以上分析可知，公差d＜0，a6＞0，a7＜0，故数列{Sn}中的最大项为S6，非S11，故④错误；综上所述，正确的命题是①②．故答案为：①②．28．已知数列的前n项和为,且,,数列满足，.(1)求和的通项公式；(2)求数列{}的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵，∴当时，.当时，.∵时，满足上式，∴.又∵，∴，解得：.故，，.（2）∵，，∴①②由①-②得：∴，.29．已知数列和中，数列的前n项和为,若点在函数的图象上，点在函数的图象上．设数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求数列的最大值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由已知得：，∵当时，，又当时，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即为最大，故最大值为.30．已知是由正数组成的数列，其前项和与之间满足：．（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）;（2）.【解析】（1）两式相减有,化简有，（2）31．设数列的前项和为，已知（Ⅰ）求证：数列为等差数列，并写出关于的表达式；（Ⅱ）若数列前项和为，问满足的最小正整数是多少?【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）满足的最小正整数为12.【解析】（Ⅰ）当时，，得.所以数列是以为首项，2为公差的等差数列.……5分所以……6分（Ⅱ）……………10分由，得，满足的最小正整数为12.…12分32．已知数列为等差数列，且满足，，数列的前项和为，且，.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴，又，也成立，∴是以1为首项，3为公比的等比数列，∴.（Ⅱ），∴对恒成立，即对恒成立，令，，当时，，当时，，∴，故，即的取值范围为.33．设等比数列的前n项和为，且．求的通项公式；若，求的前n项和．【答案】(1)．(2)．【解析】等比数列的前n项和为，且当时，解得．当时得，所以常数，故．由于，所以，所以．34．已知正项等比数列满足，，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）若，且对所有的正整数都有成立，求的取值范围.【答案】（1）,；（2）；（3）.【解析】（1）设等比数列的公比为，则，由可得，，，即，，解得，.；（2）由（1）可得，，可得，上式下式，得，因此，；（3），，，，即，则有.所以，数列是单调递减数列，则数列的最大项为.由题意可知，关于的不等式对任意的恒成立，.由基本不等式可得，当且