高考数学 《空间向量及其运算备考策略》

1211222312123121122231212321663空间向及其运算

备策主标题：空间向量及其运备策略副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。关键词：空间向量，坐标运算，数量积，备考策略难度：重要程度：内容考点一

空间向量的线性运算【例1图所示，已知空间四边形，其对角线为，，，分别→→→→→→为中点在线段MN上2＝＋，则x，y，的值分别为→→→→→解析∵＝MG＝OAMN→→→→→→＝＋ONOM＝＋－OM→→→→＝＋×OBOC－×→→→＝＋OB→→→→又＝＋yOBzOC，1根据空间向量的基本定理，x，＝＝.11答案，，63【

备考策略

】(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的

23232221321123232221321122→→→→向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例，，表示CN，→MC等另外解题时应结合已知所求观察图形联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量．(2)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．所以在求若干向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和．【训练】如图所示，在长方体ABCD－AD中，为AC的中点．设111→→→→→→是棱DD上的点，且DE＝DD，试用A，，AA表示.1→→→解＝ED＋DO→→→→→＝DD＋＝DD＋(DA＋)1→→→＝A＋DA1→→→＝AB－AD－AA1考点二

共线定理、共面定理的应用【例2已知，F，，H分别是空间四边形的边AB，，，的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，四点共面；(2)BD∥平面EFGH.

1211112111证明→

→→→→→→→→→→(1)连接BG，＝EB＋＝EB＋(＋＝BF＋EH＝＋EH，由共面向量定理知：E，F，G，四点共面．→→→→→→→→(2)因为EH＝AH－AE＝AD－AB＝AD－AB＝BD因为，H，，D四点2不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGHBD平面EFGH，所以BD∥平面EFGH【备考策略

】证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，，B，→→→→→→C四点共面，只要能证明A＝＋或空间任一点，OA＝OP＋xPB＋→→→→→或＝xOA＋＋zOC(x＋y＋＝即可共面向量定理实上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．【训练】已知，，C三点不共线，对平面外的任一点，点满→→→→足MOA＋OB＋)．3→→→(1)判断AMB，MC三个向量是否共面；(2)判断点是否在平面ABC内．→→→→解(1)由已知OA＋OC＝3OM，→→→→→→∴－OM＝(OM－)＋(OMOC，→→→→→即M＝BM＋＝－MB－MC，→→→∴MA，MB，MC共面．→→→(2)由(1)知，，MB，共面且基线过同一点M，∴四点，，B，共面，从而点M在平面内考点三

空间向量的数量积及其应用【例3如，在平行四边形中，＝＝1，∠ACD＝90°，把△ADC

BD22222，2BD22222，2沿对角线折起，使与CD成角，求BD的长．思路由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系→→→→→后用，，CD示，根据|BD＝→→

→

求解．解∵AB与CD成60°角，∴<BA，>＝或，又∵＝＝CD1，⊥CD，⊥，→∴BD＝

→BD

＝

→→→＋CD＝＝＝

→→→→→→→→→＋AC＋CD＋2AC＋2ACCD＋·CD→→1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos<，>→→3＋2cos<BA，CD>→∴BD＝或2.∴BD的长为22.【考策略】(1)利用数量积解决问题的两