2006年高考第一轮复习数学105二项式定理

10.5二项式定理●知识梳理1.二项睁开式的通项公式是解决与二项式定理相关问题的基础.2.二项睁开式的性质是解题的重点.3.利用二项式睁开式能够证明整除性问题，议论项的相关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2++a9x9，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜等于A.29B.49C.39D.1分析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜++｜a9｜=a0－a1+a2－a3+－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的睁开式中x3的系数是A.6B.12C.24D.48分析：（2x+x）4=x2（1+2x）4，在（1+2x）4中，x的系数为C42·22=24.答案：C3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－1）7的睁开式中常数项是xA.14B.－14C.42D.－42分析：设（2x3－1）7的睁开式中的第r+1项是Trr7r1rr27r·x1=C7（2x3）（－x）=C7r3(7x)（－1）r·x2，当－r+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C76（－1）6·21=14.2答案：A314.（2004年湖北，文14）已知（x2+x3）n的睁开式中各项系数的和是128，则睁开式中x5的系数是_____________.（以数字作答）31分析：∵（x2+x3）n的睁开式中各项系数和为128，∴令x=1，即得全部项系数和为2n=128.316311r∴n=7.设该二项睁开式中的r+1项为Tr1=C7r（x2）7r·（x3）r=C7r·x6，令6311r=5即r=3时，x5项的系数为C73=35.6答案：355.若（x+1）n=xn++ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.分析：a∶b=C3n∶C2n=3∶1，n=11.答案：11●典例分析【例1】假如在（x+1）n的睁开式中，前三项系数成等差数列，求睁开式中的24x有理项.解：睁开式中前三项的系数分别为1，n，n(n1)，28由题意得2×n=1+n(n1)，得n=8.281163r设第r+1项为有理项，r··x4Tr1=C82r

，则r是4的倍数，因此r=0，4，8.有理项为T1=x4，T5=3518x，T9=256x2.评论：求睁开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确立r.【例2】求式子（｜x｜+1－2）3的睁开式中的常数项.|x|解法一：（｜x｜+1－2）3=（｜x｜+1－2）（｜x｜+1－2）（｜x｜+1－2）得|x||x||x||x|到常数项的状况有：①三个括号中全取－2，得（－2）3；②一个括号取｜x｜，一个括号取1，一个括号取－2，得C13C12（－2）=－12，|x|∴常数项为（－2）3+（－12）=－20.解法二：（|x|+1－2）3=（|x|－1）6.|x||x|设第r+1项为常数项，则Tr1=C6r·（－1）r·（1）r·|x|6r=（－1）6·C6r·|x|62r，得6－2r=0，r=3.|x|T3+1=（－1）3·C36=－20.思虑议论1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的睁开式中x4的系数；2）求（x+4－4）4的睁开式中的常数项；x（3）求（1+x）3+（1+x）4++（1+x）50的睁开式中x3的系数.解：（1）原式=1x4（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，睁开式中x4的系数为（－1）4C641x－1=14.44(x24x4)4(2x)8444（2）（x+=，睁开式中的常数项为C82x－4）=x4x4·（－1）=1120.（3）方法一：原式=(1x)3[(1x)481]=(1x)51(1x)3.(1x)1x睁开式中x3的系数为C451.方法二：原睁开式中x3的系数为C33+C34+C35++C350=C44+C34++C350=C45+C35++C350==C451.评论：把所给式子转变为二项睁开式形式是解决此类问题的重点.【例3】设an2n1（n∈N*，q≠±1），An1122nn=1+q+q++q=Cna+Cna++Cna.（1）用q和n表示An；（2）（理）当－3<q<1时，求limnAn.2n解：（1）由于q≠1，因此an=1+q+q2++qn1=1qn.1q1q11q221qnn于是An=Cn+Cn++Cn1q1q1q1=q1=q1=q2）

［（C1n+C2n++Cnn）－（C1nq+C2nq2++Cnnqn）］{（2n－1）－［（1+q）n－1］}2n－（1+q）n］.An=11［1－（1q）n］.2nq2由于－3<q<1，且q≠－1，因此1q0<|2|<1.limAn1因此n=.2n1q●闯关训练夯实基础1.一串装修彩灯由灯泡串连而成，每串有

20个灯泡，只需有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡破坏以致一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20

B.219

C.220

D.220－1分析：C120+C220++C2020=220－1.答案：D2.（2004年福建，文

9）已知（

x－

a

）8睁开式中常数项为

1120，此中实数

a是常数，x则睁开式中各项系数的和是A.28

B.38

C.1或

38

D.1

或28分析：Tr1=Cr8·x8－r·（－ax－1）r=（－a）rC8r·x8－2r.令8－2r=0，∴r=4.∴（－a）4C4=1120.∴a=±2.8当a=2时，令x=1，则（1－2）8=1.当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）8=38.答案：C3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－1）8睁开式中x5的系数为_____________.x1=C8rx8－r·（－1）r=（－1）rC8r83r分析：设睁开式的第r+1项为Trx2.x令8－3r=5得r=2时，x5的系数为（－1）2·C28=28.2答案：284（.31n84，则n=_____________.2004年湖南，理15）若（x+）的睁开式中的常数项为xx33n9分析：Tr1=Cnr（x3）n－r·（x2）r=Cnrr·x2.9令3n－r=0，∴2n=3r.2∴n必为3的倍数，r为偶数.试验可知n=9，r=6时，Crn=C69=84.答案：95.已知（xlgxn22，二项式系数最大项为20000，+1）睁开式中，末三项的二项式系数和等于求x的值.解：由题意Cnn2＋Cnn1＋Cnn=22，即C2n＋C1n＋C0n=22，∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.C36（xlgx）3=20000，即x3lgx=1000.x=10或x=1.10培育能力6.若（1+x）6（1－2x）5=a0+a1x+a2x2++a11x11.求：（1）a1+a2+a3++a11；（2）a0+a2+a4++a10.解：（1）（1+x）6（1－2x）501221111，得=a+ax+ax++ax.令x=1a0+a1+a2++a11=－26，①又a0=1，因此a1+a2++a11=－26－1=－65.（2）再令x=－1，得a0－a1+a2－a3+－a11=0.②+②得a0+a2++a10=1（－26+0）=－32.2评论：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令此中的字母等于1或－1.7.在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，假如它的睁开式里最大系数项正是常数项.1）求它是第几项；（2）求a的范围.br（axm）12－r·（bxn）rr－（－）+nr为常数项，则有m（12解：（1）设Tr1=C12=C12a12rbrxm12rr）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.2）∵第5项又是系数最大的项，C124a8b4≥C123a9b3，①∴有C124a8b4≥C125a7b5.②由①得12111098412111093432ab≥32ab，∵a＞0，b＞0，∴9b≥a，即a≤9.4b4由②得a≥8，∴8≤a≤9.b55b48.在二项式（x+1）n的睁开式中，前三项的系数成等差数列，求睁开式中的有理项.42x分析：依据题意列出前三项系数关系式，先确立n，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为Cn0，1C1n，1Cn2，由已知C1n=Cn0+1Cn2，即n2－9n+8=0，244解得n=8或n=1（舍去）.Tr1=C8r（x）8－r（24x）－r=C8r·13r4·x4.2r4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，4∴r=0，r=4，r=8.∴睁开式中x的有理项为T14，T53591－2=x=8x，T=256x.评论：睁开式中有理项的特色是字母x的指数4－3r∈Z即可，而不需要指数4－3r∈44N.研究创新9.有点难度哟！求证：2<（1+1）n<3（n≥2，n∈N*）.n证明：（1+1）n=Cn0+C1n×1+Cn2（1）2++Cnn（1）n=1+1+Cn2×1+Cn3×1+nnnnn2n3+Cn×1=2+1×n(n1)1×n(n1)(n2)+1×nnn2!n2+n3+3!n!n(n1)2111nn<2+2!+3!1111+111[1(1)n1]1）n1<3.明显（1+1）n=1+1+Cn2+++<2++++=2+22=3－（4!n!222232n112n12×1+Cn3×1++Cnn×1>2.因此2<（1+1）n<3.n2n3nnn●思悟小结1.在使用通项公式Tr1=Cnranrbr时，要注意：（1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）睁开式中第r+1项的二项式系数Cnr与第r+1项的系数不一样.（3）通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只需知道此中的四个元素，就能够求出第五个元素.在相关二项式定理的问题中，经常碰到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这种问题一般是利用通项公式，把问题概括为解方程（或方程组）.这里一定注意n是正整数，r是非负整数且r≤n.2.证明组合恒等式常用赋值法.●教师下载中心教课点睛1.要正确理解二项式定理，正确地写出二项式的睁开式.2.要注意划分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要娴熟掌握.拓展题例