北京航空航天大学附中2023高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：导数及其应用

第页北京航空航天大学附中2023高三数学一轮高考单元辅导与训练单元检测：导数及其应用本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部．总分值150分．考试时间120分钟．第一卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．e为自然对数的底数，函数e的单调递增区间是()A． B． C． D．【答案】A2．设曲线在点处的切线为，那么直线与坐标轴围成的三角形面积为()A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B3．由抛物线与直线所围成的图形的面积是()A． B．38/3 C．16/3 D．【答案】A4．设函数，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，那么导数的取值范围是()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2]D．[eq\r(2)，2]【答案】D5．函数，那么要得到其导函数的图象，只需将函数的图象()A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】C6．函数在R上可导，且，那么函数的解析式为()A． B． C． D．【答案】B7．设，那么()A． B． C． D．【答案】D8．函数，那么的值为()A． B． C． D．【答案】D9．函数的导函数为，那么的解集为()A． B． C． D．【答案】C10．的值为()A．0B.C.２D.４【答案】C11．设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，那么曲线在原点处的切线方程为()A． B．C． D．【答案】B12．设，函数为奇函数，在点处的切线方程为，那么()A． B． C． D．【答案】B第二卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．函数的最大值记为g(t)，当t在实数范围内变化时g(t)最小值为【答案】1014．曲线在点处的切线方程是.【答案】5x+y-2=015．=。【答案】16．=____________【答案】三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．函数.(1〕假设函数在区间上有极值，求实数的取值范围；(2〕假设关于的方程有实数解，求实数的取值范围；(3〕当，时，求证：.【答案】〔1〕，当时，；当时，；函数在区间〔0，1〕上为增函数；在区间为减函数当时，函数取得极大值，而函数在区间有极值.，解得.(2〕由〔1〕得的极大值为，令，所以当时，函数取得最小值，又因为方程有实数解，那么，即，所以实数的取值范围是：.(另解：，，令，所以，当时，当时，；当时，当时，函数取得极大值为当方程有实数解时，.〕(3〕函数在区间为减函数，而，，即即，而，结论成立.18．函数在处有极大值7．(Ⅰ)求的解析式；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)求在=1处的切线方程．【答案】(Ⅰ)，,(Ⅱ)∵，由得 解得或由得，解得∴的单调增区间为，的单调减区间为．(Ⅲ)∵又∵f(1)=-13∴切线方程为19．(1)假设任意直线过点,且与函数的图象交于两个不同的点A,B，分别过点A,B作C的切线，两切线交于点M，证明：点M的纵坐标是一个定值，并求出这个定值；(2)假设不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)求证：，〔其中为无理数，约为〕.【答案】(1)设，由题意知的斜率必存在设，代入得,，化简得：同理：,解得：(2)令：，令得：所以当，时在上单调递减；所以当，时在上单调递增；在时取得最小值，要恒成立，只要即，解得(3)由(2)得，取有化简得：变形得：即20．设函数。(1〕当k>0时，判断上的单调性；(2〕讨论的极值点。【答案】(Ⅰ〕当时，在恒成立，所以在上单调递增.(Ⅱ〕函数的定义域是.令，得，所以当时，在没有根，没有极值点；当时，在有唯一根，因为在上，在上，所以是唯一的极小值点.21．函数f(x)＝ex－ax，其中a＞0.(1〕假设对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；(2〕在函数f(x)的图象上取定两点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立.【答案】〔1〕f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.当x＜lna时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞lna时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.故当x＝lna时，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.于是对一切x∈R，f(x)≥1恒成立，当且仅当a－alna≥1.①令g(t)＝t－tlnt，那么g′(t)＝－lnt.当0＜t＜1时，g′(t)＞0，g(t)单调递增；当t＞1时，g′(t)＜0，g(t)单调递减.故当t＝1时，g(t)取最大值g〔1〕＝1.因此，当且仅当a＝1时，①式成立.综上所述，a的取值集合为{1}.(2〕由题意知，k＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)＝－a.令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，那么φ(x1)＝－[－(x2－x1)－1]，φ(x2)＝[－(x1－x2)－1].令F(t)＝et－t－1，那么F′(t)＝et－1.当t＜0时，F′(t)＜0，F(t)单调递减；当t＞0时，F′(t)＞0，F(t)单调递增.故当t≠0时，F(t)＞F(0)＝0，即et－t－1＞0.从而－(x2－x1)－1＞0，－(x1－x2)－1＞0，又＞0，＞0，所以φ(x1)＜0，φ(x2)＞0.因为函数y＝φ(x)在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈(x1，x2)，使φ(x0)＝0，即f′(x0)＝k成立.22．函数.(Ⅰ〕假设在处取得极大值，求实数a的值；(Ⅱ〕假设，直线都不是曲线的切线，求的取值范围；(Ⅲ〕假设，求在区间［0，1］上的最大值。【答案】〔Ⅰ〕因为令，所以随的变化情况如下表：所以(由得出，或，在有单调性验证也可以〔标准略〕〕(Ⅱ〕因为因为，直线都不是曲线的切线，所以无实数解只要的最小值大于所以(Ⅲ〕因为，所以，当时，对成立所以当时，取得最大值当时，在时，，单调递增在