小波变换的实现技术

小波变换的实现技术第一页，共四十五页，2022年，8月28日Mallat算法卷积法实现小波变换在实际中具有广泛的应用。实际应用中的边界处理问题：边界延拓方法

零延拓

周期延拓

周期对称延拓法

光滑常数延拓法

第二页，共四十五页，2022年，8月28日Mallat算法的Matlab实现dwt()

[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D,'mode',MODE)X的长度为,滤波器的长度为对于周期延拓方式，cA，cD的长度均为对于其他延拓方式，cA，cD的长度均为idwt()

X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R)X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R，'mode',MODE)对于周期延拓方法，

对于其他延拓方式，特点:能够实现重构.难以用于数据压缩应用第三页，共四十五页，2022年，8月28日具有延拓功能的二带分析/综合系统

问题:

在什么情况下,能够确保完全重构?第四页，共四十五页，2022年，8月28日用小波处理函数/信号的基本步骤

和已知是正交尺度函数与小波,则用小波处理函数的基本过程包括:

初始化设信号在最高初始分辨率级下的光滑逼近为

记，则有。其中，

小波分解第五页，共四十五页，2022年，8月28日用小波处理函数/信号的基本步骤

小波系数处理

小波重构第六页，共四十五页，2022年，8月28日用小波处理离散信号的基本步骤

其采样间距为，

使得做小波分解、对小波系数处理以及对处理后的系数进行小波重构等

对说明:1)对做小波分解,如何?2)若的采样间距为1,如何?第七页，共四十五页，2022年，8月28日Mallat算法应用举例

将该信号离散化为个采样值，相应的逼近信号记为。

的图形。

用Haar小波进行分解，画出若记,而的三级多分辨逼近信号为,,则容易算出。第八页，共四十五页，2022年，8月28日第九页，共四十五页，2022年，8月28日第十页，共四十五页，2022年，8月28日Mallat算法应用举例对同一个离散信号应用不同的小波变换以及FFT变换进行压缩的处理效果与分析。已知上例中的离散信号问题：1）用Haar尺度函数和小波分解信号；2）用D4尺度函数和小波分解信号；3）用FFT变换分解信号。令绝对值最小的80%和90%系数为0对信号进行小波压缩，画出相应的重构信号的图形，并求出相应的相对误差。

对各种变换的效果进行对比分析。第十一页，共四十五页，2022年，8月28日Mallat算法应用举例Haar小波均方差：0.79912.9559

相对误差：0.0050

0.0185

取0比例：80%90%D4小波均方差：0.02770.2159

相对误差：0.00017

0.0014取0比例：80%90%FFT变换均方差：0.0012

0.0025

相对误差：7.34×10-6

1.59×10-5

取0比例：80%90%第十二页，共四十五页，2022年，8月28日多孔算法

应用Mallat算法分析信号时存在的不足第十三页，共四十五页，2022年，8月28日多孔算法二通道Mallat算法z变换的滤波器形式第十四页，共四十五页，2022年，8月28日多孔算法二通道Mallat算法z变换的滤波器形式z变换的等效易位性质第十五页，共四十五页，2022年，8月28日多孔算法说明:为什么称为多孔算法（a’trousalgorithm）?与二通道Mallat算法之间的关系其它叫法:非抽取小波变换(UndecimatedWaveletTransform),平稳小波变换(StationaryWaveletTransform)记

,则分解算法为：第十六页，共四十五页，2022年，8月28日多孔算法的实现While

EndofWhile

While

EndofWhile

分解算法重构算法注:为的相邻两项之间插入个零后得到的滤波器。

在Matlab小波工具箱中对应的函数:swt(),iswt()第十七页，共四十五页，2022年，8月28日小波变换的提升实现

概述

1)能够用于构造第一代小波，用户可根据需要来设计小波基。2)能够改进第一代小波变换算法。

3)可用于构造第二代小波。

第十八页，共四十五页，2022年，8月28日小波分解与重构的多相位表示

滤波器的多相位表示

滤波器的多相位表示为：第十九页，共四十五页，2022年，8月28日小波分解与重构的多相位表示

滤波器的多相位矩阵

滤波器的多相位矩阵为：和滤波器的对偶多相位矩阵为：和则小波滤波器的完全重构条件等价于：

小波分解与重构的多相位表示

第二十页，共四十五页，2022年，8月28日

Laurent多项式的Euclidean算法

=

的次数两个Laurent多项式的带余除法可表述为：

或两个Laurent多项式的欧几里德算法如下：

从开始进行如下的递归运算：

则，且是一个Laurent多项式，其中为使的最小数。第二十一页，共四十五页，2022年，8月28日

Laurent多项式的Euclidean算法

如果an(z)是一个单项式，则a(z)和b(z)是互素的。注意与多项式带余除法和欧几里德算法的异同之处.第二十二页，共四十五页，2022年，8月28日多相位矩阵的因子分解若，则总存在Laurent多项式和以及非零常数，使得其中。第二十三页，共四十五页，2022年，8月28日有限滤波器多相位矩阵的提升分解算法

第1步，使用欧几里德算法得到：第2步，计算=第3步，计算

第二十四页，共四十五页，2022年，8月28日基于提升的正向小波变换流程图

第二十五页，共四十五页，2022年，8月28日时小波变换的提升实现算法若分别是序列的z变换，且

第二十六页，共四十五页，2022年，8月28日正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由奇序列预测偶序列开始）Step1.懒小波变换

Step2.提升与对偶提升Fori=1tom

Step3.比例变换For

第二十七页，共四十五页，2022年，8月28日时逆向小波变换的提升实现算法Step1.比例变换

Step2.提升与对偶提升Fori=mto1Step3.逆懒小波变换For

第二十八页，共四十五页，2022年，8月28日

时提升算法的实现

第二十九页，共四十五页，2022年，8月28日时正向小波变换的提升实现算法（预测步骤由偶序列预测奇序列开始）

Step1.懒小波变换

Step2.提升与对偶提升Fori=1ton

Step3.比例变换For

第三十页，共四十五页，2022年，8月28日两点说明1.本质上我们可以根据它们的任一分解式写出小波变换的提升算法

如果在实际计算时已知的因子分解，设

则2.尚未完全解决的问题

多相位矩阵分解存在极大的不唯一性，到底存在多少种分解方法？如何求出所有的分解？如何根据具体的应用，选择一种‘好’的分解方法?第三十一页，共四十五页，2022年，8月28日（5-3）小波变换的提升实现，

，

，正变换逆变换第三十二页，共四十五页，2022年，8月28日整数小波变换

提升算法的一大优点是，它存在整数提升算法，即在忽略归一化因子的情况下，将算子

提升步骤中的算子

作用于每个和换的整数提升算法。

，即可得到小波变如（5-3）小波变换的整数版本如下：

特点：非线性变换第三十三页，共四十五页，2022年，8月28日D4小波变换的提升实现

其中第三十四页，共四十五页，2022年，8月28日D4小波变换的提升实现

第一种实现方法第二种实现方法，

第三十五页，共四十五页，2022年，8月28日（9-7）小波变换的提升实现

其中，，，，，

，，说明:JPEG2000中C语言实现模块中尺度变换是：

=1.62578613134411

Lena图像实验:

1.8422.938第三十六页，共四十五页，2022年，8月28日（9-7）小波变换的提升实现

第三十七页，共四十五页，2022年，8月28日小波变换提升算法的实现技巧

任意长度信号小波变换的提升实现

（9-7）小波变换的提升实现如下：

：

：

第三十八页，共四十五页，2022年，8月28日小波变换提升算法的实现技巧

利用少量辅助内存实现多尺度小波变换

必要性:算法过程由以下三步组成：

第1步，申请一个大小为的数组buffer存放高频系数，然后，在原空间中调整信号的低频系数的位置，使变为第2步，调整中的高频系数的位置使变为第3步，将buffer中暂存的高频系数调整到占用的位置，使变为第三十九页，共四十五页，2022年，8月28日边界处理

对于（5-3）和（9-7）这些具有线性相位的滤波器，采用对称周期延拓则不仅可实现小波变换的完全重构，同时又不增加变换后的数据量。因此，在实现时我们可采用对称周期延拓的方法。第四十页，共四十五页，2022年，8月28日双正交小波变换的对称提升实现

多相位矩阵的对称因子分解对称提升实现第四十一页，共四十五页，2022年，8月28日多相位矩阵的对称因子分解一个Laurent多项式称为对称的，如果=。记（为非负整数），则对称Laurent多项式都可表示为的形式。

若，则存在惟一的Laurent多项式和以及非零常数，使得其中。其中和是对称Laurent多项式.第四十二页，共四十五页，2022年，8月28日计算对称提升因子的快速算法

基本思想:根据和理，有效地避免了传统提升因子算法中求解的复杂计算，因而的不同大小关系，分以下两种情况处更加实用。

（1）当时记=，==。

令=，=，对和应用多项式的欧几里德算