学案空间中的垂直关系

学案空间中的垂直关系第一页，共二十九页，2022年，8月28日空间中的垂直关系以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.第二页，共二十九页，2022年，8月28日1.在客观题、解答题中以特殊几何体为载体考查线面垂直、面面垂直关系以及逻辑推理能力.2.考查线面角、面面角的方法，考查作图、证明、计算空间想像能力和推理论证能力。3.近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究.立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个热点考向.第三页，共二十九页，2022年，8月28日

1.直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作

.直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.根据定义，过一点

直线与已知平面垂直；过一点

与已知直线垂直.l⊥α有且只有一条有且只有一个平面第四页，共二十九页，2022年，8月28日2.判定定理和性质定理（1）判定定理：

，则该直线与此平面垂直.（2）性质定理：

.

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直垂直于同一个平面的两条直线平行第五页，共二十九页，2022年，8月28日判定性质图形条件(b为a内的任一条直线)结论第六页，共二十九页，2022年，8月28日如图,AB为圆O的直径,C为圆周上异于AB的任一点,PA⊥面ABC,问:图中共有多少个Rt△?【分析】找出直角三角形,也就是找出图中的线线垂直.考点1线线垂直问题第七页，共二十九页，2022年，8月28日【解析】∵PA⊥面ABC,∴PA⊥AC,PA⊥BC,PA⊥AB.∵AB为圆O的直径,∴AC⊥BC.又∵AC⊥BC,PA⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥面PAC.∵PC平面PAC,∴BC⊥PC.故图中有四个直角三角形:△PAC,△PBC,△PAB,△ABC.第八页，共二十九页，2022年，8月28日

【评析】线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.第九页，共二十九页，2022年，8月28日如图,已知矩形ABCD,过A作SA⊥平面AC,再过A作AE⊥SB交SB于E,过E作EF⊥SC交SC于F.(1)求证:AF⊥SC;(2)若平面AEF交SD于G,求证:AG⊥SD.第十页，共二十九页，2022年，8月28日证明:(1)∵SA⊥平面AC,BC平面AC,∴SA⊥BC,∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥BC,∴BC⊥平面SAB,∴BC⊥AE,又SB⊥AE,∴AE⊥平面SBC,∴AE⊥SC,又EF⊥SC,∴SC⊥平面AEF,∴AF⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC,∴SA⊥DC,又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD,∴DC⊥AG,又由(1)有SC⊥平面AEF,AG平面AEF,∴SC⊥AG,∴AG⊥平面SDC,∴AG⊥SD.第十一页，共二十九页，2022年，8月28日如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=，求证：MN⊥平面PCD.考点2线面垂直【分析】（1）因M为AB中点，只要证△ANB为等腰三角形，则利用等腰三角形的性质可得MN⊥AB.（2）已知MN⊥CD，只需再证MN⊥PC，易看出△PMC为等腰三角形，利用N为PC的中点，可得MN⊥PC.第十二页，共二十九页，2022年，8月28日【证明】(1)如图,连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.第十三页，共二十九页，2022年，8月28日(2)连接PM,CM，∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.第十四页，共二十九页，2022年，8月28日

【评析】垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来.第十五页，共二十九页，2022年，8月28日如图所示,Rt△ABC的斜边为AB，过A作AP⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：PB⊥平面AEF.第十六页，共二十九页，2022年，8月28日证明：AP⊥平面ABCAP⊥BCBC⊥ACAP∩CA=AAF⊥PCAE⊥PBBC⊥AFAF⊥面PBCAF⊥PBBC∩PC=CAF∩AE=ABC⊥面APCAF面APCPB⊥面AEF.第十七页，共二十九页，2022年，8月28日考点3面面垂直如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，图AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点.（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1;（2）证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.第十八页，共二十九页，2022年，8月28日【证明】（1）证法一：取A1B1的中点为F1.连结FF1,C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1,所以F1∈平面FCC1,因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连结A1D,F1C,由于A1F1D1C1CD,所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C.而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.【分析】证明线面平行，可转化为证线线平行或面面平行，故由条件寻求转化的关系；而证明面面垂直，一般用判定定理证明.第十九页，共二十九页，2022年，8月28日证法二：因为F为AB的中点，CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CDAF，因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC平面FCC1,CC1平面FCC1,AD∩DD1=D,AD平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.故平面D1AC⊥平面BB1C1C.第二十页，共二十九页，2022年，8月28日(2)连结AC，在△FBC中，FC=BC=FB,又F为AB的中点，所以AF=FC=FB.因此∠ACB=90°,即AC⊥BC.又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C,所以AC⊥平面BB1C1C.而AC平面D1AC,故平面D1AC⊥平面BB1C1C.第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日

【评析】证明线面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线与添加辅助线解决.第二十二页，共二十九页，2022年，8月28日第二十三页，共二十九页，2022年，8月28日第二十四页，共二十九页，2022年，8月28日第二十五页，共二十九页，2022年，8月28日第二十六页，共二十九页，2022年，8月28日1.一条直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线不一定垂直于这个平面.

2.直线和平面垂直判定定理中“平面内的两条相交直线”是不能转换为“平面内的无数条直线”之类的条件的.

3.两个平面垂直是通过这两个平面所成的二面角的度数来定义的，同时也给我们提供了一种证明方法：求二面角法.第二十七页，共二十九页，2