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10.1刚体绕定轴转动的动力学基本方程

10.2转动惯量

10.3刚体转动动力学基本方程的应用第10章刚体绕定轴转动的基本方程10.1刚体绕定轴转动的动力学基本方程工程中，常需计算作定轴转动的刚体动力学问题。刚体绕定轴转动时对转轴的动力学问题可用定轴转动的动力学基本方程表示

引入，称为刚体对z轴的转动惯量，它表明了刚绕定轴z转动时的惯性大小。

质点刚体刚体转动的微分方程为

结论：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。因为飞轮转动时制动

从转动惯量的公式可见，影响其大小的有两个因素，一是它的质量大小，另一个因素具体反映在刚体的形状及其与转轴的相对位置。转动惯量的单位为kg•m2。

10.2

转动惯量若刚体的质量是连续分布的，则转动惯量公式又可改写成如下形式利用上式可将几种常见的形状规则、质量均匀刚体的转动惯量计算出来。(1)长为l，质量为m的均质直杆均质直杆对过端点O的z轴的转动惯量为

一、转动惯量均质直杆对过中点O的z轴的转动惯量为

(2)

半径为r，质量为m的均质薄圆环对中心轴的转动惯量为

(3)

半径为R，质量为m的均质圆板对中心轴的转动惯量为

二、回转半径

在工程实际中有时也把转动惯量写成刚体的总质量m与当量长度ρz的平方的乘积形式，即上式中，ρz为刚体对于z轴的回转半径，又称惯性半径。于是

三、平行移轴公式

刚体对于任一轴z1的转动惯量，等于刚体对与此轴平行的质心轴的转动惯量JzC，加上刚体的质量与z1轴到质心轴zC的距离d平方的乘积。表1简单形状均质物体的转动惯量工程中几种常用简单形状均质物体的转动惯量的计算可查下表。【例10-1】钟摆简化如图所示。已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长为l，圆盘直径为d。求钟摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量。解：分别计算杆和圆盘对于水平轴O的转动惯量

钟摆对于通过悬挂点O的水平轴的转动惯量为10-3刚体转动动力学基本方程的应用10.3.1巳知转动情况求力矩（或力）【例10-2】

在铰车的鼓轮上作用一个常力偶，其矩为M，鼓轮半径为r,重量为P,如图10.7a所示。绕在鼓轮上的钢绳的一端A系一重为Q的重物，沿着与水平倾角为α，的斜面上升。试求铰车以加速度上升时，需施加在鼓轮上的驱动力矩M。重物与斜面间的滑动摩擦系数为f，钢绳重量不计，鼓轮可视为均质圆柱体，系统初始静止。解：（1）先选择重物A为研究对象，分析受力和运动如图由由解得（2）再以鼓轮为研究对象，分析受力和运动如图由

得

驱动力矩为

【例10-3】均质直杆AB和OD,长度都是l，质量均为m，垂直地固接成丁字形,且D为AB的中点，如图所示。此丁字杆可绕过点O的固定轴转动，开始时OD段静止于水平位置。求杆转过

角时的角速度和角加速度。

解：选丁字杆为研究对象，进行受力分析。当杆OD与水平直线的夹角为时,丁字杆转动的角速度为ω，如图所示。应用刚体定轴转动微分方程，有

由平行移轴定理，有

10.3.2已知力矩(或力)求转动情况通过计算，可知质心C到转轴O的距离为OC=3l/4。故有将以上两式代入

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