河北省定州名校2021-2022学年高三冲刺模拟数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数/（x）=adx-2inx）（a>0）,D=若所有点（s,/（f））,（sje。）所构成的平面区域面积为

e?一1,贝！|。=（）

3x-y-2<0

2.若x，>'满足,且目标函数z=or+2力（a>0,7?>0）的最大值为2,则4"+16〃的最小值为（）

2x+y>0

A.8B.4C.2X/2D.6

2

3.已知E，K是双曲线C:三—y2=］（a>0）的两个焦点，过点£且垂直于X轴的直线与c相交于A,6两点，若

a

|ABI：、/，，则AABg的内切圆半径为（）

、6映百「30n2>/3

3333

4.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有

一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略

不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）

A.10,骼一B.制邛苧］。.［竽

22

5.已知双曲线=-三=1（。>0力>0）的离心率为e,抛物线y2=2px（p>0）的焦点坐标为（1,0）,若e=p,则双曲

ab

线C的渐近线方程为（）

A.y=±\/3xB.y=±2>/2x

C.y=±旦D.y=土与x

2

6.如图，平面四边形ACBD中，AB1BC,AB他,BC=2,AABD为等边三角形,现将△ABZ）沿45翻

折，使点。移动至点P,且PB上BC,则三棱锥P—ABC的外接球的表面积为（）

A.8乃B.6兀C.4万

7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝

才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起

脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走

的路程为（）

A.6里B.12里C.24里D.48里

8.存在点M（Xo，y0）在椭圆三+3=1（。＞方＞0）上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线

誓+瞿=1垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是（

a2b

9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草

每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）

（结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg3*0.4771,lg2a0.3010）

10.在正方体ABC。-A4G。中，点尸、。分别为A3、AD的中点，过点。作平面a使用P〃平面a,A©〃平

MD.

面a若直线平面a=M，则忘的值为（）

11.在各项均为正数的等比数列｛4｝中，若a5a6=3,则Hog?6+bg3a2+…+log36o()

A.l+log35B.6C.4D.5

12.费马素数是法国大数学家费马命名的，形如2"+1(〃eN)的素数(如：22"+1=3)为费马索数，在不超过30的正偶

数中随机选取一数，则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()

2141

A.—B.-C.—D.一

155153

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=lnx+x2,则曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程为.

14.给出以下式子：

@tan250+tan35°+Gtan25°tan35°；

(2)2(sin35ocos250+cos35ocos65°)；

入1+S〃15°

③---------

\-tan\5Q

其中，结果为的式子的序号是.

15.若函数/(x)=sin2x-百cos2x的图像向左平移营个单位得到函数g(x)的图像.则g(x)在区间-£，吁上的

8oO

最小值为.

16.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,5),点8是直线/：y=上位于第一象限内的一点.已知以AB

为直径的圆被直线/所截得的弦长为2番，则点8的坐标.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3

17.(12分)已知椭圆C：靛+后=l(a＞。＞0)过点(1,-)且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为

2G

(1)求椭圆C的标准方程：

(2)设A是椭圆的左顶点，过右焦点尸的直线4,与椭圆交于尸，Q,直线AP,A。与直线4：x=4交于M,N,

线段MN的中点为E.

①求证：EF±PQ.

5

②记VPQE,MME,AONE的面积分别为'、S?、S3,求证:为定值.

S2+S3

18.(12分)设等比数列｛/｝的前〃项和为S〃，若4M=2S,+l(〃eN*)

(I)求数列｛4｝的通项公式；

(U)在知和用之间插入〃个实数，使得这〃+2个数依次组成公差为的等差数列，设数列｛2｝的前"项和为乙,

求证：Tn<2.

jrjr

19.(12分)如图，在AAOB中，已知=NBAO=—,AB=4,。为线段A8的中点，△AOC是由AAaB

26

绕直线AO旋转而成，记二面角8-AO—C的大小为"

(1)当平面CQDJ_平面AOB时，求。的值；

27r

(2)当。=工时，求二面角3-0。一。的余弦值.

20.(12分)已知函数〃力=与，直线>=1为曲线y=〃X)的切线(e为自然对数的底数).

(1)求实数。的值；

(2)用min｛〃z,〃｝表示加,〃中的最小值，设函数g(x)=min卜(力,》一3(%>0),若函数

〃(x)=g(x)-s2为增函数，求实数c的取值范围.

21.(12分)已知等差数列｛4｝和等比数列｛a｝的各项均为整数，它们的前〃项和分别为S“,7；,且伪=2q=2,

b2s3—54,a2+T2=\\.

(1)求数列｛%｝,也｝的通项公式；

(2)求/〃+/仇+。3力3+…+。也；

(3)是否存在正整数加，使得泞M恰好是数列｛%｝或｛2｝中的项？若存在，求出所有满足条件的加的值；若不

存在，说明理由.

22.(10分)如图所示，在三棱柱ABC—4反£中，AABC为等边三角形，ZBAB,=ZBB/,ABir\\B=O,CO1.

平面ABBA，。是线段AG上靠近A的三等分点•

(1)求证：AB1AA］；

(2)求直线8与平面4ACG所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

依题意，可得尸(x)>0,/(x)在1,1上单调递增，于是可得/(x)在上的值域为［a(e+2),e2《］,继而可得

a(e2-e-2)=解之即可.

【详解】

(o\—2)1

解：fr(x)—a/—=—-------->因为,a>0»

e

kX)XL.

所以r(x)>o,在-,i上单调递增，

e

则/(X)在上的值域为［a(e+2),e2〃］,

因为所有点G,/(/))(s,te。)所构成的平面区域面积为e2-l,

,2一2)(T=e-,

所以a

解得a=工，

e-2

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性，理解题意，得到。匕2-0-2)(1-3=62-1是关键，考查运算能力，属于中档题.

e

2.A

【解析】

作出可行域，由Z=Gf+2外(a>0,〃>0),可得>=一二1+_4■.当直线y=—1_x+=过可行域内的点3(1,1)时,

2b2b2b2b

z最大，可得a+2h=2.再由基本不等式可求4"+16〃的最小值.

【详解】

QZ

由z=ax+2/7y(a>0,Z?>。)，可得y=------x+—.

2h2b

n77

平移直线丁=-不■x+w，当直线过可行域内的点8时，得最大，即二最大，最大值为2.

-2b2b2b

3x—y-2-0fx=1,、

解方程组｛,c，得，,.•・8(1,1).

x-y=01y=l

:.a+2b=2(a>0,/?>0).

...4"+16'=4"+42ft>2A/4WX42Z)=2历国=2族=8，

("Cl=\

a=2b

当且仅当4〃=42J即〜7,1时，等号成立.

Q+28=2b=—

iI2

.•・4〃+16〃的最小值为8.

故选：A.

【点睛】

本题考查简单的线性规划，考查基本不等式，属于中档题.

3.B

【解析】

首先由|45|=血求得双曲线的方程，进而求得三角形的面积，再由三角形的面积等于周长乘以内切圆的半径即可求

解.

【详解】

由题意~=1将x=-c代入双曲线。的方程，得y=±，则2===，由

aa

\AF2\-\AF]\=\BF2\-\BFi\=2a=2y[2,^^ABF2的周长为

\AF2\+\BF2\+\AB\=2a+\AFl\+2a+\BF]\+\AB\=4a+2\AB\=6y/2,

设AABF）的内切圆的半径为/,则_1*67^=,'2百'夜.=立，

223

【点睛】

本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查了转化的思想，属于中档题.

4.C

【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定

此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.

【详解】

当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.

此时椭圆长轴长为J122+62=6石，短轴长为6,

275

所以椭圆离心率6=

所以ew

故选：C

【点睛】

本题考查了楠圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.

5.A

【解析】

求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解小〃关系，即可得到双曲线的渐近线方程.

【详解】

抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=2,

又e=p,所以e=£=2,可得,2=4层=/+/,可得：b=£a，所以双曲线的渐近线方程为：产土瓜.

故选：A.

【点睛】

本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用.

6.A

【解析】

将三棱锥ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角

形的外心连线上，在RIAOBE中,计算半径08即可.

【详解】

由ABJ_3C,PB1.BC,可知平面。46.

将三棱锥P-ABC补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同.

由此易知外接球球心。应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,

记△A5P的外心为E，由人钻。为等边三角形，

可得8E=1.又0£=方=1,故在RMOBE中,0B=应,

此即为外接球半径，从而外接球表面积为8乃.

故选：A

【点睛】

本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.

7.C

【解析】

।卬（1-!）

设第一天走田里，则｛%』是以《为首项，以一为公比的等比数列，由题意得S$=----j-=378,求出％=192（里

21--

2

）,由此能求出该人第四天走的路程.

【详解】

设第一天走/里，则｛可｝是以4为首项，以;为公比的等比数列，

由题意得：&=-----台-=378,

1--

2

解得q=192（里），

a4-a｝x（g）'=192x（=24（里）.

故选：C.

【点睛】

本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化

思想、函数与方程思想，是基础题.

8.D

【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.

【详解】

因为过点M椭圆的切线方程为学+等=1，所以切线的斜率为一”，

abayQ

b

由竺1=会<心即82<2。2,所以/一/<2/

%

所吟哼

故选：D

【点睛】

本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.

9.C

【解析】

竺二，解出即可得出.

由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度，进而可得:

2-1

【详解】

xn—\

由题意可得莞草与蒲草第«天的长度分别为4=3x（；

也=1X2"T

7

1

31-

2"2"-1

据题意得：2x△—,解得2"=12,

2-1

1——

2

・“怨=2+粤L

lg2lg2

故选：C.

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

10.B

【解析】

作出图形，设平面e分别交42、G。于点E、F,连接。E、DF、EF,取CD的中点G,连接PG、CQ,

连接AG交与。于点N,推导出反尸〃CQ,由线面平行的性质定理可得出GG〃。/7,可得出点尸为CD的中点,

MD.

同理可得出点E为4。的中点，结合中位线的性质可求得砺1的值.

【详解】

如下图所示:

设平面a分别交42、G。于点£、F,连接DE、DF、EF,取CO的中点G,连接PG、C,G,连接AG交

BQ于点N,

••・四边形ABCO为正方形，P、G分别为AB、CO的中点，则3P//CG且BP=CG,

四边形3CGP为平行四边形，，PG〃BC且PG=BC,

B\C\//BC且BC]=BC,;.PG〃BCi且PG=B,C,,则四边形B}CtGP为平行四边形，

•••4PHC、G,v瓦PH平面a,则存在直线au平面a,使得片PHa,

若GGu平面a,则Ge平面a,又。e平面a，则CDu平面a,

此时，平面a为平面CDQG，直线AQ不可能与平面a平行，

所以，GG<Z平面a,；.GG〃a,，GG〃平面a,

GGu平面CDD©,平面Pl平面a=DF,：.DFUC.G,

■：CXFHDG,所以，四边形GGO尸为平行四边形，可得GE=OG=；CD=；Gn，

八11MD.1

尸为GA的中点，同理可证E为4A的中点，•••42口所=",=5〃N=Z与A，因此，帚=§•

44+I

故选：B.

【点睛】

本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面a与正方体各棱的交点位置，考

查推理能力与计算能力，属于中等题.

11.D

【解析】

由对数运算法则和等比数列的性质计算.

【详解】

由题意log3q+log3«,+•••+log3aIQ=log3(4生

5

=log3(a5616)=51og3(6!5«6)=51og33=5.

故选：D.

【点睛】

本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则.掌握等比数列的性质是解题关键.

12.B

【解析】

基本事件总数〃=15,能表示为两个不同费马素数的和只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个，根据古

典概型求出概率.

【详解】

在不超过3()的正偶数中随机选取一数，基本事件总数77=15

能表示为两个不同费马素数的和的只有8=3+5,20=3+17,22=5+17,共有3个

31

则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是p=言=不

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查概率的求法，考查列举法解决古典概型问题，是基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3%—y—2=0

【解析】

根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.

【详解】

因为f(-^)=—+2%,

x

所以左=/(1)=3,

又/⑴=1,

故切线方程为y—l=3(x—l),

整理为3x—y—2=(),

故答案为：3x-y-2=0

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于容易题.

14.(D@③

【解析】

由已知分别结合和差角的正切及正弦余弦公式进行化简即可求解.

【详解】

/、tari250+tariS50rr

①•tan60°=tan(25°+35°)=---------------=<3,

l-tan25°tan35°

tan250+tan35°+也tan25°tan35°；

=g(1—tan250tan35°^+6tan25°tan35°,

=6,

(2)2(sin350cos25°+cos350cos65°)=2(sin350cos25°+cos350sin25°),

=2sin60°=6；

1+tan\5°fa〃45°+tanl50

③=tan(45°+15°)=tan6(『=#;

\-tan\5°1-tan45°tan45°

故答案为：①②③

【点睛】

本题主要考查了两角和与差的三角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题.

15.-73

【解析】

nn

注意平移是针对自变量X,所以+再利用整体换元法求值域(最值)即可.

812

【详解】

由已知,f(x)=sin2x-上cos2x=2sin(2x-—),g(x)=f(x+—)=

38

c.rc/乃、4ic•/c71、「万3"上c71r712乃1

2sin[2(x+-)--]=2sm(2x--),又XE一丁丁,故2工-7^£[一不丁]，

oj121_8壬」1233

2sin（2x-^1）e[—6,2],所以g（x）的最小值为一百.

故答案为：$

【点睛】

本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.

16.（6,3）

【解析】

依题意画图，设根据圆的直径所对的圆周角为直角，可得AC=2后，

通过勾股定理得AB=yjAC2+CB2，再利用两点间的距离公式即可求出与=6，进而得出B点坐标.

【详解】

解:依题意画图，设《%1七），%〉0

以A3为直径的圆被直线/所截得的弦长为BC,

且BC=2瓜

又因为A3为圆的直径，则AB所对的圆周角NAC8=90',

则ACJ_C6,则AC为点A（0,5）到直线/：y=的距离.

_|0xl-5x2|

=2A/5

所以AC-/二

"+(-2)2

则AB=y/AC2+CB2=J(2扃+(2扃=2M.

又因为点B在直线/：y=-x±.,

2

解得x0=6,则3（6,3）.

故答案为：（6,3）

本题考查了直线与圆的位置关系，考查了两点间的距离公式,点到直线的距离公式，是基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17.(1)土+匕=1；(2)①证明见解析；②证明见解析

43

【解析】

-19,

---1----=1

a24b2

(1)解方程，bc=6即可；

a2=/72+。2

(2)①设直线4：x=，町+1,P(±,y),。(々，%)，将E点的坐标用机表示，证明底FMP°=T即可；②分别用

加表示VPQE,APME,AONE的面积即可.

【详解】

19,

---1----=1

a24b2

(1)<be=6

a1=h2+c2

解之得：a2=4,/?2=3,c2=1

22

的标准方程为：—+^=1

43

(2)①A(—2,0),F(l,0),

设直线4：x=my+1

代入椭圆方程：3（my+1）2+4/=12=>（3/n2+4）y2+-9=0

设尸&,凹），。（孙必），

-6m-9

+必=22"「彳/

Y3m+4"2=3m+4

直线AP:y=^4；（x+2）,直线AQ:y=-^^（x+2）

%+2x24-2

%+2马+2

人二5（%+如）=5=3,x+

2zlkXj+zX2+2JImy{+3my2+3）

2—9—18/77

=3x2〃ZV]）3+3（V]+）3）=3x3M+43M+4

加必必+3"（X+%）+9~~9m?+-18/%2+

3m2+43疗+4

r-36m.

=3x----=-3m

36

—3/M1

£（4,一3根）,k-——=-m,k=—,k-k--1,EF±PC.

EF3P0mEFPQ

②|PQ|=—幽>36（3而+4）」2（疗+1）,।阳=3昕

3m-+43m~+4

18（m2+l）7/n2+l

百=；|「。||族|=

3m2+4

）

S2+S3=^ME4-%1+^NE4-X2=；|MN|（8—X]—X2

6m2

=一y~|（6一/〃（必+%））

3/n2+4

=108「一宁——x二二

tn^yiy2+3/%（必+%）+9+4

36/T72S6-

-------7H---z---I____

2

\（3〃/+4）3机+4m+j36，?/+1（〃/+1）

=108x-----------------x-----=-------：-------

363m'+43m~+4

3m2+4

所以---=1=e

S2+S32-

【点睛】

本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关

系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.

18.(I)%=3"，(II)详见解析.

【解析】

两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出.

(I)an+l=2S„+\,+1(〃..2),

,1〃+1n+\

(II)由题设可得%”=%+(〃+1)4,可得了=-------=7布，利用错位相减法即可得出.

【详解】

解：(I)因为%=2S.+1,故%=2s“t+1(〃22),两式相减可得，

a一故

4+1-,,=2(S“S,T)=2an(«>2),%=3an(»>2),

因为他“｝是等比数列，，4=34,又％=24+1,所以3q=2q+l,

故4=1,所以4=3"所

1〃+1〃+1

(II)由题设可得。“+|=%+(〃+1)4，所以T=----------=*T，

<2-3

34〃+1

所以=1+7777+2T-----①

2-32-32

则】=13n〃+1

—I-+•••d--------H-------

32-322・3"T2-3"

2111n+1

①一②得：_(=1H-------1-----7•••4---------------

3〃2-32-322・3"T2^3"

-J—(1—?—)

2.33”Tn+1

1+

2-3"

所以演奏＜2,得证.

O8O8,・J3"TO

【点睛】

本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

19.(1)e=g；(2)—好.

25

【解析】

(1)平面COD,平面AOB,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.

【详解】

(1)如图，以。为原点，在平面08。内垂直于03的直线为x轴,。氏。4所在的直线分别为)，轴,z轴，建立空间直角

坐标系O-xyz,则A(0,0,2百),5(0,2,0),£>(0,1,6),C(2sin0,2cos0,0)

履而=0xsin6+ycose=0

,设“=(x,y,z)为平面COO的一个法向量，由，3=0得|y+Gz=0

A-

，取z=sin。,则用=(A/3COS0,-y/3sin0,sin&)

因为平面AO3的一个法向量为后=(1,0,0)由平面COD,平面AOB,得雇后=0所以石cos6=0即。='.

27

(2)设二面角B—QD—C的大小为a,当。=石,平面C。。的一个法向量为

--也)〔

n=(73cos--V3sin—sin-)=(--cosa=Qi.।2_—世

,"3，"3'3)(2'2'2)同㈤3十9+35

V444

综上,二面角B-OD—C的余弦值为-且.

5

【点睛】

本题考查用空间向量求平面间的夹角，平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，难度一般.

20.(1)a=x0=l；(2)］一℃,一

【解析】

试题分析：(1)先求导，然后利用导数等于■1■求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得。=%=1；

（]x--,O<x<xo

⑵设与x-L交点的横坐标为利用导数求得g（x）=min〃x）,x--={]，从而

X[xJ元

下，8〉与

1，c/

X-------CX,0<X<xo/1

〃(x)=g(x)—c/=｛：，然后利用〃'(x)2()求得C的取值范围为一叫一J.

------CX^,X>/

短0

试题解析:

2xe'-x2Tsxx(2—x)

(1)对〃x)求导得:(x)="・

2--

设直线y=%与曲线y=“X）切于点P（%o,%）,则

1axr.

一工。=甘

，J、，解得a=Xo=1，

I

=a-——----------

eex°

所以。的值为1.

/1

(2)记函数F(x)=/(x)—--x+-,x>0,下面考察函数y=b(x)的符号,

ex

对函数>=尸（力求导得F（X）=X（2；X）_J+，x>o.

当x22时，尸（x）<0恒成立.

2

尤+(2—%)

当0cxv2时，x(2-x)<=19

2

从而尸=二二<]_]——」<0.

e'xexxxx-

/.广（x）<0在（0,+e）上恒成立，故y=F（x）在（0,+力）上单调递减.

143

F(l)=->0,F(2)=---<0,/.F(l)F(2)<0,

ee2

又曲线y=F（x）在[1,2]上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知三唯一的事£（1,2）,使

尸㈤=。・

:.xe(O,xo),F(x)>0；x£(Xo,4w),F(x)<0,

f]X——,0<x<x0

g(x)=min[/(x),x—([={；

丁)>/

2

x------ex,0<X<x0

从而/z(x)=g(x)-c/={:

X2

-■—ex,X>XQ

1H—2—2cx,0<X<XQ

：.h'(x\={.X.

x(2-x)

——----2cx,x>x0

由函数〃(x)=g(x)-er2为增函数，且曲线y=〃(x)在(0,+力)上连续不断知〃'(x)zo在(0,%),优,一)上恒成

立.

①当X＞X0时，2cxz0在上恒成立，即在(玉,中»)上恒成立,

ee

2-x,X>X,贝！J/(x)=^7^,x>后,

记“(x)=O

e

当X变化时，”'(x),"(x)变化情况列表如下:

X(x°,3)3(3,+oo)

u(x\—0+

"(x)极小值

•••"(%号=〃(叽小=43)=-，，

故"2c＜与；在(玉,+«0上恒成立"只需2c«w(x).

mn-r，即C4-------r.

e32e3

②当0＜无＜不时，h\x)=\+^-2cx,当CW0时，//(》)＞0在(0,而)上恒成立,

综合①②知，当时，函数//(%)=g(x)-cx2为增函数.

故实数C的取值范围是(—00,一^"^]

考点：函数导数与不等式.

【方法点晴】

函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数

图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先

求得g(x)=min{7(x)，了x>0)的表达式，然后再求得A(x)的表达式,我们就可以利用导数这个工具来求c的

取值范围了.

21.(1)%=2〃-1也=23*(2)Mn=2(«-1)-3"+2；(3)存在，1.

【解析】

(1)利用基本量法直接计算即可；

(2)利用错位相减法计算；

(3)•¥&='〃PFwN*,令生=可得(L-D(〃/-1)=(3-乙)3”,U3,讨论即可.

Sm+Tmm—1+3”-1+3

【详解】

(1)设数列｛《,｝的公差为d,数列抄“｝的公比为夕，

因为仇=24]=2,b2s3=54M2+4=11,

3

2q(3+3d)=54q(l+d)=9q=3q=—

所以《即＜，解得或J2(舍去).

\+d+2+2q=\\.d+2q=8d=2

d=5

所以a,=2〃-1也=2-3"T.

21

(2)M“=。占+a2b2+%4H---Fanbn=1X2+3X2X3+5X2X3H---n(2n-l)x2x3"',

3M“=lx2x3+3x2x32+…+(2〃-3)X2X3"T+(2〃-1)X2X3”,

所以—2M“=2+4(3+32+…+3"T)_(2“—1)X2X3”,

=2+4X^^^—(