（全国通用）2023高考数学大一轮复习阶段检测试题(三)理

PAGEPAGE11阶段检测试题(三)(时间:120分钟总分值:150分)选题明细表知识点、方法题号数列的概念、证明1,20,22等差、等比数列及应用7,15数列求和6,14不等式的性质及解法2,3,4,8,17线性规划问题5,10,11,12根本不等式及应用9,13综合问题16,18,19,21一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分)1.(2022·沧州期末)数列{an}中,a1=3,an+1=2an+1,那么a3等于(C)(A)3 (B)7 (C)15 (D)18解析:因为a1=3,an+1=2an+1,所以a2=2a1+1=2×3+1=7,a3=2a2+1=2×7+1=15.2.(2022·江西鹰潭模拟)假设a<0,b<0,那么p=b2a+(A)p<q (B)p≤q (C)p>q (D)p≥q解析:作差.p-q=b2a+a2b-a-b=(b2a-a)+(因为a<0,b<0,所以(a-b)2≥0,a+b<0,ab>0,所以p-q≤0,选B.3.(2022·齐鲁名校协作体联考)a>b,那么以下不等式中恒成立的是(D)(A)lna>lnb (B)1a<(C)a2>ab (D)a2+b2>2ab解析:只有在a>b>0时,A有意义,所以A错;B选项需要a,b同号,B错;C只有a>0时正确;因为a≠b,所以D正确.4.(2022·天津校级模拟)2a+1<0,关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是(C)(A){x|x>5a或x<-a} (B){x|-a<x<5a}(C){x|x<5a或x>-a} (D){x|5a<x<-a}解析:不等式x2-4ax-5a2>0可化为(x-5a)(x+a)>0;因为方程(x-5a)(x+a)=0的两根为x1=5a,x2=-a,且2a+1<0,所以a<-12所以5a<-a,所以原不等式的解集为{x|x<5a,或x>-a}.5.(2022·马鞍山模拟)设变量x,y满足约束条件y≥(A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8解析:根据题意,画出可行域与目标函数线如下图,由图可知目标函数在点(-2,2)取最小值-8.6.122-1+132-(A)n+12(n+2)(C)34-12(1n+1+1n+2)解析:原式=1(2+1)(2-1)+1(3+1)(3-1)+…+1(n+1+1)(n+1-1)=12[(1-13)+(12-14)+(13-157.(2022·马鞍山模拟)等差数列{an}前n项和为Sn,且S55-S2(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:设等差数列{an}的公差为d,因为S55-所以5a1+化简可得2d-128.0<a<b且a+b=1,那么以下不等式中正确的选项是(C)(A)log2a>0 (B)2a-b(C)log2a+log2b<-2 (D)2b解析:因为a+b=1,0<a<b,所以ab<(a+b所以log2a+log2b<log21即log2a+log2所以选C.9.(2022·天津校级模拟)设M=a+1a-2(2<a<3),N=log12(x2+(A)M>N (B)M=N(C)M<N (D)不能确定解析:因为2<a<3,所以M=a+1a-2N=log12(x2+116)≤10.导学号18702295实数x,y满足y≥(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:显然m>2,作出y≥1,11.O为坐标原点,A(1,2),点P(x,y)满足约束条件x+|y|≤(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2解析:约束条件x+|y|≤1按y≥0和y<0讨论,画出约束条件确定的平面区域.z=(1,2)·(x,y)=x+2y,目标函数可化为y=-12x+z当直线经过M(0,1)时,z取最大值,所以zmax=2.选D.12.导学号18702296某企业拟生产甲、乙两种产品,每件甲产品的利润为3万元,每件乙产品的利润为2万元,且甲、乙两种产品都需要在A,B两种设备上加工,在每台设备A、每台设备B上加工1件甲产品所需工时分别为1h和2h,加工1件乙产品所需工时分别为2h和1h,A设备每天使用时间不超过4h,B设备每天使用时间不超过5h,那么通过合理安排生产方案,该企业在一天内的最大利润是(D)(A)18万元 (B)12万元(C)10万元 (D)8万元解析:设应生产甲、乙两种产品各x,y件,企业获得的利润为z=3x+2y,x,y满足的约束条件为x+2二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分)13.(2022·济南一模)假设实数x,y满足4x+4y=2x+1+2y+1,那么t=2x+2y的取值范围是.

解析:由4x+4y=2x+1+2y+1,得(2x+2y)2-2·2x·2y=2(2x+2y),(2x+2y)2-2(2x+2y)=2·2x·2y,因为0<2x·2y≤(2所以0<(2x+2y)2-2(2x+2y)≤(2即0<t2-2t≤t2所以2<t≤4.答案:(2,4]14.数列{an}的通项公式an=-n2+10n+11,该数列的前项的和最大.

解析:易知a1=20>0,令an≥0,那么-n2+10n+11≥0,所以-1≤n≤11,当n=11时a11=0,故前10或11项和最大.答案:10或1115.(2022·唐山统考)数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),2Sn-nan=n,假设S20=-360,那么a2=.

解析:因为2Sn-nan=n,①所以当n≥2时,2Sn-1-(n-1)an-1=n-1,②所以①-②得,(2-n)an+(n-1)an-1=1,③所以(1-n)an+1+nan=1,④所以③-④得,2an=an-1+an+1(n≥2),所以数列{an}为等差数列,因为当n=1时,2S1-a1=1,所以a1=1,因为S20=20+20×所以d=-2.所以a2=1-2=-1.答案:-116.导学号18702297首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态〞为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理本钱y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2(1)该单位每月处理量为吨时,才能使每吨的平均处理本钱最低?

(2)假设该单位每月能获利,那么最大利润是.

解析:(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理本钱为yx=12x+45000x当且仅当12x=45故该单位月处理量为300吨时,才能使每吨的平均处理本钱最低,最低本钱为100元.(2)设该单位每月获利为S元,那么S=200x-y=-12x2+400x-45000=-12(x-400)令S>0,那么x∈(400-1007,400+1007),又因为x∈[300,600],所以S∈[15000,35000].故该单位每月获利,最大利润为35000元.答案:(1)300(2)35000元三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题总分值10分)导学号18702298不等式kx2-x+4k<0(k≠0).(1)假设不等式的解集为{x|x<-4或x>-1},求实数k的值;(2)假设不等式的解集为⌀,求实数k的取值范围.解:(1)因为不等式的解集为{x|x<-4或x>-1},所以-1和-4是方程kx2-x+4k=0的两个实根,由韦达定理得x1+x2=1k,解得k=-1(2)不等式kx2-x+4k<0的解集为⌀,所以k>0且Δ=1-16k2≤0,解得k≥1418.(本小题总分值12分)数列{an}的前n项和Sn=-12n2+kn(其中k∈N+),且Sn(1)确定常数k,并求an;(2)求数列{9-2an解:(1)当n=k∈N+时,Sn=-12n2+kn取最大值8,即8=Sk=-12k2+k2=12故k2=16,因此k=4,从而an=Sn-Sn-1=92-n(n≥又a1=S1=72所以an=92(2)设bn=9-2aTn=b1+b2+…+bn=1+22+322+…+n所以Tn=2Tn-Tn=2+1+12+…+12=4-12n-2-19.(本小题总分值12分)导学号18702299(1)解不等式4x-(2)求函数y=2x+91-2x(x∈解:(1)4x-1≤x-1⇔4-(x-1)2x-1≤0所以此不等式的解集为{x|x≥3或-1≤x<1}.(2)因为x∈(0,12)所以y=42x+91-2x=(42x+9120.(本小题总分值12分)(2022·衡水高三期中考试)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+12)2(n∈(1)证明数列{an}为等差数列并求其通项公式;(2)设cn=1anan+1,数列{cn}的前n项和为Tn,证明:13(1)解:由题意得,4Sn=(an+1)2,4Sn-1=(an-1+1)2,作差得an2-an-1即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.由正项数列知an+an-1>0,所以an-an-1=2.所以数列{an}是等差数列,其中a1=1,所以an=2n-1.(2)证明:因为cn=1(2n-1)(2n所以Tn=12(1-12n+1又因为{Tn}是单调递增数列,所以Tn≥T1=13,所以13≤Tn<21.(本小题总分值12分)导学号18702300数列{an}满足a1=1,a2=12,{anan+1}是公比为1数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=3a2n+2n-7,Sn是数列{bn}的前n项和,求Sn以及Sn的最小值.解:(1)由{anan+1}是公比为12的等比数列,得an+1an+2a所以a1,a3,a5,a7,…,a2k-1,…是公比为q=12a2,a4,a6,a8,…,a2k,…是公比为q=12当n为奇数时,设n=2k-1(k∈N*),an=a2k-1=a1qk-1=(12)=(12)

n+12-1当n为偶数时,设n=2k(k∈N*),an=a2k=a2qk-1=(12)k=(12)综上,an=((2)bn=3a2n+2n-7=3·(12)

2nSn=b1+b2+b3+…+bn=(32+322+323+…=3·12-12n·1Sn=(n-3)2-6-32当n≥3时,Sn是关于n的增函数,即S3<S4<S5<….因为S1=-72=-288,S2=-234=-468,S3=-518,所以S1于是(Sn)min=S3=-51822.(本小题总分值12分)导学号18702301正项数列{an},{bn}满足:对任意n∈N*,都有an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成等比数列,且a1=10,a2=15.(1)求证:数列{bn(2)求数列{an},{bn}的通项公式;(3)设Sn=1a1+1a2+…+1an,如果对任意n∈N(1)证明:由,2bn=an+an+1,①an+12=bnbn+1由②可得,an+1=bnbn将③代入①得,对任意n∈N*,n≥2,有2bn=bn-1即2bn=bn-所以{bn解:(2)设数列{bn}的公差为d,由a1=10,a2=15,得