高考数学必考重点知识复习宝典

高考数学必考重点知识复习宝典-1-

修1知识网络（）集合中元素的特性：确定性）集合的表示方法：列举法、BB，2

n

BBC.

至少存00BAx/x，ABA,ABBx/xxA，ABB，AB，ABBB)-Card(A)x/xAUA)AA)U，CA))A)UUUUUU)A))UUU-2-

-3-

00110A于A中y与之对B合A到集的一个x,y并于在一

f,yy就f数

a上，xf)(x在a,af(x)(x在a,a是f0a,affa,a

yf，如M（2(x)M是y小值y，如N满足）对意都)；（2(x)N。则Nx)f(x),定f(2)x)(x),D，f对f)T0T为f

（2

个单：yaxfa移yyaxfa移b：xx,yyf)移b：xx,ybyf)x缩短0w1的wxwx(wx)y或缩（01)yy)x2xx2xx(x)2(2xx)yyy2x2xx线x对yx)yyx线yy)2y2yy线对xy1)-4-

1231、x

Z)

ycotx

6、12；34、函数方程法5、6、配方法12；3；4、几何法5、6；1；；；4、几51、若

g均为某

f(x)

2

f(x)

3

f(x)

g

y

g

y4、奇函数在对称区间上-5-

1151一个

x0

f(0)0

yf(x)

0

2、两个奇（偶）函数之34

y

ug复合而成5

为[f(x)f(x)][f(x)，-6-

arssarss零点与根的关系

零点：对于函数(x)0的实叫函yf的点。定理：如果函数f(x)在ab上图象是连续不断的一条曲线，并且f)f)那么，函数f(x)区a,有零。即存c,b得(c)也方(x)0的根（反之不成立）关系：方(x)0实数根

函零点

函y的图象与有交点函数与方程

确区验证)f)0,给定精确度；(2)求区间(,b的中c;函数的应用

计f；二分法求方程的近似解若0,则就是函数的零点；②)f(c)则b零x

(a,b；③f)0,则点

函数模型及其应用

(4)判断是否达到精确度：即若a-,得到零点的近似a或否则重复2。几类不同的增长函数模型用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型根式：a,n为根指数，为被方数nm分数指数幂

指数的运算

s

s

(ar,sQ)指数函数

性质(a)a(aQ)(ab)

b(a0,b0,rQ)指数函数

定义：一般地把函数a(a0且a叫指数函数。性质：见表1对数：xg,a为数，N为数基本初等函数

对数函数

对数的运算

性质

(N)logMN;NMnlogM;(a1M0,

换底公式：

a

b

loglog

cc

ba

(a,c0a,c1,b0)对数函数

定义：一般地把函数yx(a0且a1)做对数函数性质：见表1幂函数

定义一般，函yx叫做幂数x自变，性质见表2

是常。-7-

表1

ya

x

a1

ylogxa0,aa

xR

0,y

(时x(时y(0,1)

)

xy(

(0,1)x(0,y(1,)x，(,0)(1,y(0,-8-

ababbb表pq

xR00111

-9-

-10-

12yyxx1112112yyxx111212高数必2识一直与程（1直的斜x正线向上向轴平行或重合0是0°≤α（2直的率是90°的的倾k表示ktan。0k0；k090时k不k21)21：时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾12P(3)12求（3直方①斜：yy，1111注：当直线为y=y。1因l上每一点的横坐标都等xx=x11②截：kxb，直线斜率，直在b③点：④矩：l

11xy）直x，xyyxx222121xy1abx轴轴交于x距。⑤般：AxC0全0）注：eq\o\ac(○,1)

eq\o\ac(○,2)

yb-11-

yx

（a

AxBAxBC0（5直系程即有一同质直（）行线x000B（C为常数）00（）定的线

A00

为为k的直线系kx,y000l:AxByC0xByC0的交点11112AxByCAxBC0122（6两线行垂

2l:ykbl:ykx时，11122lkk11212121212注：用率断线平与直，注斜的在否（7两直的点lxBC0l:AxByC0相交11112111的AxByC0222；ll1212（8两间离式1122|xy19点到线离公式Pxl:AxBy的距离001d

Ax

By

CAB两行线离式二圆方1圆定：2圆方（1标方

xa

2

y

2

r

2

为（2一方程xy2F

2

E

2

4F0

，示圆，此时圆心

半径为24FDE4F0

D

E

4F0

（3求方的法-12-

00002222200200x00002222200200xaxa222111一都用定数：设求。确，b；D另要意利圆几性：弦中线经原，此确圆的置3直与的置系（1

:Ax

Ca

yb

r

C

的距AaBbC，则d

drC；drC相；drC相A2B2（2l:AxByC0，:xa2yb2r2，则有相；00C相交xxyyr2，表过上点切方：

x+y=r

2

上一(此点00

xxyy00

2(x，y)题的推4圆圆位关：通d2222与dRr时两圆外离，此时有公切线四条；d

Rrd时两时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；Rd0时三立几初1柱锥台球结特（1）柱定义分表ABCDE'

AD

'几特-13-

（2棱定分表

PA

B

E

'几特（3棱：义分表PA几特③侧（4圆定以转余几特（5圆定以几特（6圆：义：几特：（7球：义：几特：①球的2空几体三图正视从-14-

''3空几体直图—二画斜测法点x轴平行的线段仍然x平行且长度不变；y4柱、体台的面与积（1几体表积几体个的积和（2）殊何表积（c为面长h高

为高，为母线S

直棱柱侧面积

ch

圆柱侧

rh

S

1正棱锥侧面

ch'

S圆锥侧面积

rl1SRSc圆台侧面积2正棱台侧面积2S2rrlSrrl圆柱表圆锥表（3柱、体台的积式

S圆台表

r

2

rlRlR

2V

柱

Sh

V

圆柱

Sh

2

rh

V

锥

13

Sh

V

圆

13

r

h

V

圆台

13

'

S

13

2R（4球的面和积式V4空点直、面位关

3

S

=

4R

2（1平①平的念②平的示：αβ、γ表示，如平③点平的系AAA不在内，

A点直的系A线AA在l外A-15-

直与面关l在面α内，记ll不面α作lα。（2公应：判用号言示理1Al（3公理2推相平公2及推作：①它（4）理么它们有符：面α和β相交，交线，记β符语：公的用

PAB（5公理4（6空直与线间位关①异直定：②异直性③异直判：④异直所角aO，分别a线b所成，若两异直互垂。说（2O是任取的OA、利B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角（7等定：果个的边另个的边别行那这角等互。（8空直与面间位关-16-

内—三位关的号示a∥α（9平与面间位关：平行；α。αβ＝b5空中平问（1直与面行判及性线平的定理：平面外一该直线平的质理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面（2平与面行判及性两平平的定理（1（2（3两平平的质理（1果两7空中垂问（1线、面线垂的义（2垂关的定性定①面直定理性定-17-

00②面直判定和质理9空角题（1直与线成角O，分别作与两条异面直ab平行的直a,，形成两条（2直和面成角090。，二证，三计意挖点到面的（3二角二角平角内分别作垂于棱的两7空直坐系（1定OBCDD,A,是单位正方.A为原以,OB的x轴y轴轴。1叫2，轴，z轴叫轴.3（2右表法令xyz-18-

（3）意坐表：空间一点M的坐标可以用有序实数来M在此空间直角坐标系中的坐标，记作点M的横坐yM的纵，叫做点M的竖坐标）（4空两距坐公：

d

(x

2

x)1

2

y)21

2

z)21高数必3公总以例-19-

§1算初秦韶法通一式反计逐得高多式值对一个多式只作n乘和n次法可表式下axn

n

a

n1

x

n1

1

axan

n1

xa

n

xaxa21例

题：

秦

九

韶

算

法

计

算

多

项

式3x

6

4x

5

5x

4

6x

3

7x

2

8x,x,需要做几次加法和乘法算?

66:3x4567x8x1理算的义：一…)1.2.-20-

构顺序结构，选择结构，循环结构流图（flowchart注：1.画流程图的时候一定要清晰，用铅笔和直尺画，要养成有开始2.3.A算结：顺

ANp

pA

pY

Y

N

YB

AB

Ⅰ.序构是一种最-21-

择构：或者,BⅢ.环(见上图。当基算语伪码codeBASIC也

y

;

“*Ⅰ.赋语（

如

y

将y给x中x是一y与x同类型.一格

变量

表达式

“

“=-22-

注1.”具有计3=a,b+6=a,而=–1,a=2a+3。2.：a=b=c=2,a,b,c都=3是的.例：x和y的值交换pxxyyp

,量x,y,z的值:

pxxyyzzpⅡ.输语（inputstatement）:Reada,b示入数次给a,b输语（outstatementx,y结,y

表一输运注1.支持多用逗号隔开2.语句中用“=.5.“.例：x等于5时，Print”;xx=5Ⅲ.件句1.行If句:IfAThenB

注End2.块If语句：

注EndIf语-23-

，If②.ElseIfElseIf有EndIf

即某AThenIf

AThenCThenIf例.Reada,b,cIf≥bIf≥cPrintaElsePrintEndIfElseIf≥cThenPrintbElsePrintEndIfEndIf

Read,b,cIf≥band≥cThenPrintaElseIf≥cThenPrintbElsePrintcEndIf-24-

注同2.也Ⅳ.环句cyclestatementN次

For用WhileDo

.ForI初to终Step步长…EndFor循环

WhileA…EndWhile循DoWhilep…Loop

当型Do循环

Do…Loopp

直到型Do循-25-

说：1.循While循.2.WhileFor3.While循环和Do4.Do5.注意例：

设计计算135的一个算法（课P）21S1S1S1I3To2

I1I1WI97W99SSI

II2

SSISS1I1DSSIII2

SSIII2WWhileSSS1I1DoII2SSII)SS1I1DI99者)SSIII2S

IPrintSS1I1DoI97者I)II2SSIS颜师情醒：1.一定-26-

2.在3.书写高数必4识时针方向的角、任负顺时针方向形成的角任何旋转2、角

x

360k36090k360180-27-

180k360270360270360

x

180y轴3

*

把各

nn5做弧度6为r的

l的弧

7

2360，1

180

1

180

57.3

8、若扇形的圆心角为

为度制，半r，弧lC，Sr

1C2rlSlrr22

9、设

2

2

sin

、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第11、三角函数线：

sin

cos

tan

y

1

2

1

PO

M

A

x-28-

11112

12

2

12

sintancos,cos

sintan

1sincos2kcostantank

2sinsincoscostantan

3sinsin

coscos

tantan

4sin

coscos

tantan

5sin

coscos22

sin

6sin

coscos22

sin

、函数

y

ysinx

函数

ysinx

倍（纵坐到函数

ysinx

ysinx

ysinx

y的图象上函数yx

ysinx（

ysinx

ysinx

-29-

maxminmaxmin

，得ysinx

ysinx0,0

x

ysinx

xx1

y

min

时2

max

max

min

y2

2

x11

2

性

质

函

数

y

ycosx

ytanx

x

x

2max

k

x2kkx2kmax

x

2

k

min

k

min

2

2-30-

k

2k

22322

k

2kk在k2kk

22k

对

k,0

k

2

,0k

k2

,0kxk

2

k

xkk

0

1个单位的向量．非方相-31-

ba

a00a

aba

babcC

ax11

bx22

aab

1

x,x2

1

y2

b

abCC

axbx11

abx1

x,y21

y2

、

xx112

x1

x,y21

y2

a的积是a．

aa

0时，a的a

0aa

0a

aa

aaa

bab

-32-

aa

aa0共线，当且仅当有唯一一个实数，使b

ax,y11

bx2

b0

y12

y21

a

b0

e、e是同一平12a、12

a

ee22

共

e1

e2

点坐是

12

12

x1

x22

1

xxy12111

y2

babcosa180

0

a都是非零

aab．②a同向时，bab

baaaa

a或aaa

ba

abba

bab

bbc

ax,y11

bx22

abx1

yy12

a

a2x

y

ax

2

y

2

ax,yx11

abxx12

yy12

0

a

b

ax,y11

bx22

是

a

b

cos

aab

xx122y211

y12222

-33-

cossinsincossinsincoscossincoscossin

tantan

tan1tantantantan1tantan

tantan1tantan1

2

2

1

2

cos21

cos2

212

cos

22

-34-

高数必5识1正弦

C

a

b

、

C

R

C

c

2R

2

a2Rsinb2Rsinc2R

bc2R2R

asin

babsin

3

C

11ab22

4

C

a

b

2bccos

b

a

-35-

a2b

5余弦定理cos

b

2

c22bc

a

2

，cos

a

2

c22ac

b

2

，

a

2

b2ab

c2

6ab

C

C的对边若

a

b

C90

abc，C90

ab

c，C90

78911、递增数列：从第2第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．2

a

n

a

n

（或n12三个ab组称

a

b

c

b

a

c

a

n

ada1n

a1

n1d．-36-

mda

dd

n

n

an

d

a1

1；⑤

d

aanmnm

n

mnpm

、q

*

amnpq

an

pq

n

*

ap

n

n

a1

S1

nn12

d．nSSnd奇n偶n1偶

2nn

*

S

naann

2n1n

*

S

2n1

2n1a，Sn

奇

S

偶

a

n

奇

偶S

nan

偶

n

2

b中GaGb称ab

G

2

ab

G

a

b

an

1

qan

aq1

n1

q

a1

aqn

n1

qn

aa

q

nm

aa

nm

若

an

mnpq

m

n

q

*

aamn

aapq

a

n

pqnq

*

an

aapq

-37-

a1qn1a1qn1an

S

n

naq11aaq1nq11q1q

n

2n

*

偶

奇

S

nm

S

n

qnS

m

S

n

2n

n

3n

2n

ab0abab0abab0ab

abbacacabacbc

a0acbc

a0acbc

adacbd

abd0acbdab0a

n

bnn1

ab0

n

a

n

bn1

、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关

b

000yax2ca0axbxc0

a0

x1,2

b

1

2

-38-

x1

x2

axbxc0a0axbxc0a0

xxxxxxx

x

2a

R1的不的

，所有这样的有序数对构成的集合．直

xyC0

平面

x00

0x00x0

00

x00x00

xyC0xyC0

xyC0

0

xy0

xyC0

xyC0

xyC0

0xyC0

xyC0

xyC0

xyC0

-39-

222222

x

的一次解析．、b是

abab称为

a

b

a0

b0

b2

b

a2b22abR

ab

a2b2

ab

ab22a022

都

xys

xy

xy

．4p（积y时，xy2p．-40-

高数常公及用论1.xxUU

.BCB)UUUUUUAAACUUBUU

.BcardAcardBBBCcardAcardBcardC)B)CA)BC.5}的子集n个n–112n2n–12n–2.-41-

,12n),12n)

ax

;

2

xxx0).12解连不等NM常NM[f(x)M0|f(x)

MMN|2M

011NMN

.0),)0,1212.特别,方c有且只有一个实)内,等价于12bkkkbk12012k22

),或121.

ax2

0)在

x

b2a

a>0

x

bb

x

b2a

，maxmax

minmin

.当，若

x

b2a

f(m

minfx

b2a

.

0在区

xq21程0

)

为

)0

p

2p2

0m

2

0

0

)00p2pmn2

或0)-42-

3程

0

(

)

p

2p2

0m

.(,)的L（,,,不同

0(t)min在给(,)

0t)恒成立的

man

L)

.

ax4

bx2

0

aa0b0或.b24acc0ｑ非真假假假真真假真不是

有

n

n1

有

n

n1

有

某x

x

q

且q何

某x

x

pq

p

-43-

)))))

充

（1p，则q件（2p则q件（3pqqp则pq充要件.x那1212))120在xx12x)0120在上是减函.121xx12f0，为增

f0，则

数.

g(x)

是减数,,和也是减函;

y

ug(x)

数则复合函数

y是增函.y称反过来，如于y

y是偶

a)f(x函

y

a)a).

y(xR),

b

;两个函数

y

-44-

11x

ab2

称.

a)

,函

y

图象关

a(2

;,

y为

2a

数ann1a的奇nn10P是奇函P项项)的系数零.

P是偶函

P的项项)零.

yyx.

y

x

ab2

mx)mx)bmx))

.

y

y

x0(y轴)对称.

ya)ymx

x

ab

.

y和

1

线称25.

y

移aya)

0

、上个单

a,yb)0

象f

1

.若函

y

,

1y[fk

1

,

[f

1

b)

,

[f

1

b)y[f(x)的反数.k(1)正比例

cx,y)c

.

x

,

a0

.x,a.a,(1).

,

g(x)g(x)f(0)1,limxx

1

.(约定（1

a)

期T=a（2

0

-45-

11

a)

1

0)

,

12

f0,1),

期；

1

1a)

(f(x)，则

T=3a；x12T=4a；

))121)f(x)12

)|1212

,

T=5a；

mn

nam

n1

a

mn

1

Nn1）.ma（1

n

ana

.（2

n

a

n

a

n

na|

.

r

s

rs

)

.

r.rrb.a＞0a

.logNbaN0)a

.loga

logNmlogmbna

(

a0a1,m0,m1,Nb(a0,a1,m0,m11N0a

若＞0，a≠1，M＞0，N＞0-46-

Maaa1111nm1p0a0aMaaa1111nm1p0a0a1aaa11

log)M;aaalogloglogNNlognnlogMR).aa设log2bx,b4ac.若,a0，0的a0，且0.对a0的情,验.对a0,b0,x0,,

ax(1)ab时,(0,(,)aa

ax

数.，

ab,(0,)(,)aa

ax

数.论，（1（2

loglognmpmmnloglog22

.N

于时

x

(1x

.前n项的和的关系a

n

s,n1s2nn1

(

}n

前

n

1

2

n

an

a1

dn1

d

*

)

前nsn

1

a)1)nnad2dn22

d

.an

aq1

n1

a1qq

n

N

*

)

前n-47-

sinsinsn

a(1q)11na11

11ns1n11an

.:

n1

n

1

bd,q1a

n

bq

n

q1

n

d

1

前nnbq1)sn

d1qnd)1qq1q

.q1)分揭贷)

nn1

元款

a

n

b

（1

x(0,2

xtanx

.x(0,，则2

.

|

.2

1

tan

=，cos

tancot1

.n(sinn(n为数sin()n12(1)cos(n为数(n为数(n为数;sin()sincoscossin;cos()coscossinsintantan.tan()1tantan

n2cosn12,)

()-48-

babbab2

2

.asinbcos

=

a

2

b

2

)

(辅

,tan).asincos

.cos222tan12

2.

2cos

112sin

.三3sin3

)

.4cos

cos()3

.

3tan12

tantan()tan(.33

ysin(及函数

ycos(，x∈R(A,ω,为且≠0＞0)的周期

ytan(x)

k

ω,且A≠0，ω＞0)

T

.ac

.a

b

2bccosA

;b

a

2cacosB

;

a2b

.（1

111Sahbhch、h222cabc

a、b边上的高.（2

S

111abbcsinAcasinB222

.

OAB

OB2

.△ABCCB222

ABCCB)2C2B-49-

(k

Z|.cosxax|tanxaxkZR)地有

.k

Z.coscos2kZ).tantankZ

.xZa(||xZ

..a(|1)xZ

.a(||1)x2kZ

.tanxR)

2

Z

.tanx)x

2

kZ

.λ、μ为实结：：μa;λa+a;a（a·b）=a·b=b）;（a+b果e、e是同一平1数λ、得λe+λe121122e叫做表示这基12),y)，且b0ab(b0)1122与b的数量积(或内积)

y01221

.a·b=|的几何意义积a·b于a的与b在ab|cosθ的乘积．-50-

(a=111221(a=111221))，则a+b=y).11221212))，则a-b=.11221212(3)设A))ABOBOAxy.11222121R，则a=(.,y))1122角公

则a·b=

xy.1212xxycos1212,y)2x21122

,b=

)22

d

A

=

|AB|xy2),y2121122

设))，且b01122A||bb=λay0ab(a0)axxyy1212

.

,y)P111222

12

点

PP1

PP

2

xy

x11y11

x2y2

OP

OP

11

OP

2OPtOP(112

）.xxxyG(3,123

、11.

)22

33

,△ABC'xhh'.OPOPPPyyy'k:F上的任意一P(x

F

)

'

（1

P

量a=

k)

.

y

C

C

,则

C

yh)k

.-51-

222222图

C

C

,

C

y,C

yk

.曲C:0

a=

C','

.h,yk)0向

量a=

为m=

.三O为ABC

（1O为ABC的OAOBOC.（2O为ABC的

0

.（3

O

ABC

OA

.（4O为ABC的

aOA0

.（5O为ABC的aOAbOB.（1（2

R

ab2ab2

2abab

(当a＝b=)．(当＝b=号)．（3

3

3

3

（4

2

2

2

2

2

R.（5

b

.都是正数（1xy是定值p，则xyxy有最2p；（2

xy

s

14

2

.已知

R，2

2

2xy（1

xy

值

xy,

y

xy小时

y小（2

xy值

xy大时最小；

xy小时.一

ax2

c或

2

，如aax

bxc

果aax

bxc

间.xxxx121212xx.121212当a>0时-52-

xx((yyxx(xyxx((yyxx(xyxx

2

a

2

axa

.x

2

a

xa

.0（1

0

.（2

g(x)

g(x)0

或

0

.（3

.2a1时,

g

;0loglogg(x)0.aa01,

g

;0loglog0aa斜yyk21P,y)P11122221直

）.（1（2

y(l过Pk11111ykxb(b在距).（3

yyxx11yyP)121112221221211、b分别、b0ab

)（5

AxByC0

中A、B不同时两l:yx111k12121

:yx222;2-53-

k若,12夹.12.(,,2.1k若,12夹.12.(,,2.12.(,,.1212:Ayxy1111222

2

A、B都不为零,1212ABCl111ABC222A121212kktan|21|1kk21l:yxl:y111222ABABtan|1221|ABB1212:AxByC0lx1111222

2

)

1

2

1

2

l12

l与l.12l12kktan211kk21l:yxl:y111222AABtan1221AABB1212:AxByC0lx1111222

2

)

1

2

1

2

1

2

l到l12

2

.点直系程经定P)直系方为000y(xx),k是待定;P,y的直000000),其是00共lByC0,lxy11112222AByBy)0l)λ是待1112222ykxbb

AB

C

AxB0

(

0

)直线

AxByC0

≠0Ay0,λ是参变量．点d

ByC|00AB

00

l

AxByC0

-54-

AxByC0

0

:AxByC0

AxByC0

0

B0与AxByC同号时，表示直线l的上与AxByC

域言之号在上号在下.B0，当AAxBy同号时，表示直线与AxByC

域.简言左.xyx或0所表示的平面区域111222CxA0A1112221212yx111222yx111222yx所表示的平面区域上下两部.111222（1

222

.（2

2

2

F(

2

E

2

4F

（3

rcosrsin

.

）圆的A(xB1122圆

x)0(圆1212A(x,,y1122y)yx)]1212112112))c),其axbyc0是直线1212,λ是待定过l:AxByC0与C:x2

2

F

2

2

)

,过C1

:x2

y

y2

2

DEF0与圆111DxEyF2y2111

:xyDxEyF02222DEyF),λ222

与200dxy0dr在外

dr

2

上dr

内.

AxByC0与22

:drdr

相离相切0

;;-55-

.00.12.00.12dr

相交

.

d

AaBb2A2

.为，O为r，r1212d离4条公;12drr外条公;12rrdrr相交条切1drr内切条切线;120drr内含无公切线.12

O1

2

d

2

2

F

,y)在圆00DExy0022

00

时,

yy00

E002

0

，00ky轴的为k的切线

ykxb

再利用相切条件b必有

2

2

2

,y)xxy200000k的圆的ykxr1k2.

;

xy2a2b2xy2a2b2

ab0)ab0)

acos

.a2a2PF)PFx)cc（1

在椭00

xy2a2b

ab0)

x2y200a2b

1

.（2

在椭00

xy2a2b

ab0)

x20a2

y20b2

1

.椭-56-

.12（.12（

xy2a2b2

ab0)00

xxyy01a2b

.）过椭圆

2ya2b

ab0)

00yy012

.）椭圆

2ya2b

ab0)

线

AxB

条件Aa2B2b

x2ya22

a0)

aa2PF)|PFx)|cc

在双00

2ya2b

a0)

x2y200a2b

1

.

在双00

2ya2b

a0)

x20a2

y0b

1

.

xy2ab2

1

xy2a2b2

0

y

ba

x

.(2)若渐近

byxa

xya

0

x2y2a2b

.(3)若双

xy2xy21ab2a2b

0

x0在y轴上.双曲

22a2b2

b0)

一

,y)00

切方是xxyy.01abxxyy.01ab

22a2b2

b外一所003

2a2b2

b0)

AxByC0

Aa2B抛

2

px

-57-

212焦点212焦点

2

焦半x0

.

x1

pp2

.22

)PP,yp.22px二

b4acby2bxc2a4a

2

0)

bbb21(,(,2a4a

)

y

4acb

2

1

.在y的内部y2px(p0).00在抛y22px(p0)y2px(p.00在y2px(p0)的内部0).00在抛2px(p0)y20).00在xpy(p的x.00在抛xpy(pxpy(p.00P,y在2py(px0).00在抛x2py(p0)的xpy(p00抛22处的切线yx.0000y22pxP,y)所引两00y.00（32与直AxByC22AC

.f12f(数).12

共

2a2bk

1,ka

2

2

.当

,;2}22}

,.

y122

AB(1k

2

2

x1

1

x22

1

yco2

端A

B,y)1122

0

y得axbxc0

0

,

-58-

xyxyxxyxyxy0

AB

k

.1）线F0关于)成中对称的曲线0000（2F0关AxByCF

2ByByC,y)0A2BAB

.y2

22Dx0xx2y代000xy0x0y即得方程22AxxB0

xxyxxyy00DE22

F0

.（1（2（3（4（5.（1（2（3.．（1（2（3直.（1（2（3（4.（1（2（3（4-59-

（5.（1（2.115.空间向量的加法与数乘向：a＋a．：＋(b＋c)．：λa.量a≠0数λ使a=．P、B

APAPOP(1tOB

.ABABCD共AB不共tCDAB不线.pa使paxby．P内的存MPyMB

O，

OPOMxMAyMB

.O点A

OPxOAyOBzOC

xyzk

O，总、A、B四点共k1O平ABC则P、A、B、C四OABC则、A、B、C四点不共A、D

AD

AB

AC

ADxAByACODxOByOC面ABC）.量a不共p，存在一个唯一组，y，zp＝xa＋yb．、A是不共面的四点，则对空间任一点P，都x，y

OPxOAyOBzOC

.AB=l，e上同方量.A点l'，作l上的射B'，则A'a〉=设a＝

，b)123123-60-

(2)a－b＝a＝123ababb.=(2)a－b＝a＝123ababb.=111222AB(1)a＋bb；112233)112233(,a,a∈R)；(4)a·baa112233设),y)，111222ABOB=xy.212121rra,yb,y)112rrrrrraPba0)rrbabxx12

xx1yy12zz12yz1212

.设a，b)123123〈a〉=112233

.

ab1122

a2a22123a2331

b2123aa22231

b22

b23

)

式.四ABCD,,cos

2

CD)2ACBD

2

DA

2

)|r|rr|xyyzz|rr121212||xy2zxy2z2rr090ob所成角直m的量).|AB若ABC若AB,边AC

,,、BABC12222A2B2.12地当ACB90,-61-

(12(12222.12若ABC所在的,AC,BC、,A'ABO12222'2B2.12地当AOB90时,22212二面角l

.mmarccosarccos

m

n

）.设⊥AC，垂足C12三

12

.,,与θ，12222sin121|180((当且仅当901212

;立.若

),y111222d=|AB|Al距

2

21

1

1

.h

1|

2

(Pl的方向向量PAPQ异面直线d

n||

其公nl上任一12d间的)12到的d

|AB||

n

的一

A

）.异面直线dh2n2mncos

.dh

2

m

2

n

2

2mncosEA

.dh

m

n

2mn

AA'F

-62-

2222222222(a为

AA为a、b上分别取两E、F

A

m,AFnd).b2

abcb2bcaac2|2|2|长度为l、,1231232221221231231.

2

2

3

2

.面S

S'cos

.(SS'斜

,侧面积

S

V

,1l.斜柱1l.1

1

斜柱

斜柱(式(V数E和面VFE2（1）=.,

n

数F数E的关

E

12

nF

（2m，则顶点数EE

12

mV

.是R

V

43

R

3

,-63-

66n！n1===(66n！n1===(

S4R

2

(1)球与长方体的组合体:.(2)球与正方体的组合体:,长,正方体.体:

a,a124VV

柱锥

1313

ShS是h是柱体的高.ShSh是锥体的高.（加法原理）.12n（乘法原m12n

.A

mn

=

m=

∈N，m

mn

):规定

1

.（2

mn

mn

mmm

m1n;

;（3AmnA1nn1（4nAnn1A;nnn（5m1n1nn1!22!33!n1

.Amn！CmnAm12mmmm

n

∈N

mN

m=CnCm+m1nn:规C0

;=Cn1.

.-64-

nn155.（1n

m1

mn

;（2

C

mn

nnm

C

mn

;（3

C

mn

nm

C

m1n1

;

n

C

rn

=2;r0（5rrr

C

C

C

1

.

C

C

C

C

C

2

.

C

C

C

C

C

C

2

1

.

C

2C

nC

n2

.

C

C

C

1

C

C

0r

C

C

.

2

2C

2n

.Ammm.nnn个元个元素.（11种②不AA1Am1（着1A1种.1nmn1（2

Amnmn)Akk.knn个元nkA

.k、h个（

kh

个的一组互不h（3

.

nm1时nm1时，有m种排.n1n（4两组相同有m个和nCn.-65-

.ppnnnnn.pN1m.1.ppnnnnn.pN1m.1（1题相

m

n

m

n

NC

nCCnCnCmnmnnmn2n2nn

m（2题相m个物体等分为无记号或无顺m

nnCnn)!mnnmn2n2nn!m

.非平均分将相异12mnnnn12m12mm个数Nn1n2mm!.n!12m将相异12mmn，…件n，…，12m12有abcmC1C2mm!pnnn12m+n+个12mnnm堆nm个12m12mN.n!12m将相异12mn，…nmnn个数中分12m12m、c、…个Nn12m限（pn12m得nn12nn，nm312mNC

n1p

C

n2pn1

mnm

n12m159n1112!4!

(n

.n!:

-66-

mm1nm1m112n12nmm1nm1m112n12n12n12nn!C

1m

1)!C

2m

2)!C

3m

3)!C

4m

4)!(ppm

p)!

(Cmm

m)!n![1

m1n

2m2n

3m2n

4m4n

p

pmpn

m

m.mn+x++xm12n方+mN.12nmN）Cn1个12n程x+x+xxkN2in112ni1.程x+x+xxkN2in112niCn1C1Cn1C2Cn(n2Cn2n个.2)k

))nC0anC1anbC2n

an2

abr

b

;TCanbn

.P)

mn

.A，B分＋P(B)．

n

＋))＋…＋P(A)A，B同P(A)·P(B).·A·A)·P(AP(A)．kPkP(1k.nn（1Pi（2P.12

;1122nn-67-

22（1

EaE()b

.（2

B

,

Enp

.若布

k)g(k,p)

k1

E

1p

.DxEp1

x

Ep

x

Ep

=D.

Daba

2

D

B

Dp).,

k)g(k,p)

k1

D

qp2

.DE

E

.

6

x262,

，差.fx

12

x2e2

.(2)

于xFxx1

0

x2

.x2

x1Fx2

Fx1x2

x1

.yabx

b

ni1

xin

xyixxi

2

y

ni1n

xyiix2i

2

.i1i1ay-68-

100011000100011000r

ni1

xxyyii

ni

xxyyii

.nn22ii

nn(x2)(yii

ny

2

)i1ii1i1≤1且|0，相关程01（1limqnn

1q1不存在或1

.0（2

aank1limkk1nbntbnt1tt1

a0b0

atbk

.不存在（3

n

q1q

n

1Saqnq

1

(|)）.a

.xxx函数的夹

x

x0数在点x的附近满足：0（1（2

a

）

xx0a

.

x0x

x

x

立.几个常用（1

limn

1n

0ann

|1

（2xxlimxxxxxx0两个重要

.（1

limx0

x

1

（2

lim1x

1x

x

e

…).函数极限

ab

x

x0

x0-69-

00.0.0x00.0.0xlimfxgxab

xxlimxx

;xxfxlim0xxb数列极限aa,limbbnnlimab；nnnlimaba；nnnaalimnb0nbbnlimaclimaca()nnnnn处0)y000xx0xlimt

t

.vt0

tt

.

dyy.fylimlimdxdxxxx0x函yx0y在y0)yyf.0000C0）.

,f(x处的切线0

n1Qn.

.

.

1x

x

)

1x

loga

e.

x

x

;

x

x

.

'

'

.（2

'

'

.-70-

uuv;uuv;（3(0)v2u处有数y在处的对应点xU处有导y'fyf(在xy''uxuxf.xx充

111xnx1x2n

x)1R；

11x

1x

e

x

1x

x)xnx（

x为tanxx

xx为0x0（1附0，右侧0（2x00

f0，则)是极大值；0f0，).0acdiadR

za的

=

a

2

b

2

.

c)d;

d;bd)ad

;

acbdbcad22d2

di0)

.z，有123律zzz.1221律zz).123123律z)z.1231213-71-

z121212.z121212.122202.向

1

2

1

1

1

12

2

）.2OZOZ112.

ac对OZOZ，1212zz2为纯虚数z1ac0(为非零12121212

ax

bxc0

b

0

,

1,2

b

;

b24ac0,xx12

b

;

b24ac0

RC

2a

2高数高知练-72-

如：Ay、C2.进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空的殊情况。如：集合Ax2x30ax1若BA则构的集为

，0，

13

）集a，a…，的有子的个是212n

n

；（3C

U

C

U

C

U

C

U

C

U

C

U

(，“且()和p为，当且仅均真p为真，当且仅、q至有一为真

“非().-73-

若p为，当仅为假射，是否注A中元素的任意性和中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构B如函数的定域是，b，ba0则函f(的（答：，a

_。11.-74-

解x；②互换、y如：求函数

1xx2

x0x0

的反函数（答

x1x1xx0

）线y＝x对-75-

在区内，若总0为增函数。（在个别点上导数等于零不响数单性，之对0？）012D.3由已，上增函，为3

a3

，a3数若x)总成立奇函数若(成立为函数

函数图象关于原点对称函数图象关轴称-76-

（1-77-

与(y与的图象关于x轴对与的象关原对称与f象于直线y对称与于x与于将y图象

左移个单位右移个单位

yya)上移b下移b

ya)ya)-78-

22）一次函数：kxbk0）反比例函数

kkk0推广为yxxa

k是中O，b)

y

2

ca

4ac2a

2

-79-

［］上的0程xbxc于

b2a

k0（（6对勾函数”yx

0-80-

aaloga

M1logMlogNlognMNn

logMa）xR，证是偶函数。-81-

法α，半径为R-82-

又如：求函数12cos

2

x定义域和值域。2cos

2

x）120

22

，如：切函-83-

ys增区间2k

2

，2k

2

kZ2k

，2k

k，xyc间为2k，2kkZ

Z2k，2kkZk

2

kkZtak

，k

正=+

振周期T

|若xf

00

则x为称轴。00，则x，0对称，反也对0）五点作图：令x

依次为0

2

，，

32

，2，求x与y

（x，-84-

（3）据图求解式。、值）解条件组求、值正型数yAx

||）点P（x）

a，k)平移至

）则

xhyk-85-

（2，y)0沿向平后方hk)022x

4

1到y