高等数学中不等式的证明方法

高等数学中等式的证明法【论文字数论文价格元（整套论文）论文编号】高等数学中不等式的证方法摘要：各种不等式就是种形式的数和变量间的相互比较关系或制关系，因此不等式很自然地成为分数学与离散学诸分学科中极为重要的工具而且早已成专门的研究对象。高等学中存在大的不等证明，本文主要介绍不式证明的几方法，运用四种通法，用导数研究数的单性，极值或最值以及积中值定理来决不等式证明的问题。们可以通过些方法决有关的问题，培养我的创新精神创新思维，使一些较难题目简单化方便化关键词：高等数学；不式；极；单性；

积分中值定理Abstract:varietyofinequalityisthevariousformsofhigh-volumeandvariablecomparisonbetweentherelationshiporconstraints.Therefore,InequalityisnaturaltobeaveryimportatoolAnalysisofdiscretemathematicsandchesmathematics.Ithasbeenspecialstudy.Todaytherearelargenumberofinequalitiesinhighermathematics.ThispaperintroducesthefollowingmethodsaboutProofInequality,suchastheusingofseveralgeneralmethods,researchingmonotonefunctionbyderivative,usingextremethemostvalueandIntegralMeanValueTheorem.Wecanresolvetheproblemsidentifiedthroughthesemethods.ItcanupourinnovativespiritandthinkingandsomedifficulttopicsmaybeeasyandConvenient,Keyword:HigherMathematics;Inequality;ExtremevalueMonotonicity;IntegralMeanValueTheorem文章来：<a全杂赏网文址：/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm【摘要】不证明是高数学学习中的一个重要内容解研数学中出现的不等式试题，对一些常用的不等证明方法进行总结。【关键词】不；中；泰勒式辅助函数；柯西

凹凸性在高等数学的学习过程当中重点和难点就是不等式的证明数在遇到不等式证明问题不知到如何下手在许多不等式问题都存在一题多解等式的证明，以考研试题为例，总结了几证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公1

式法、函数的凹凸性法、柯西1值定理定理法利用中值定理（罗尔中值定理朗中定西值理方法来证明不等式首先要熟记各个中值定理的应条件原式通过变形找到一个辅助函数在所给区间上满足中值定理的条件明的关键是处理ξ析或其导数在该点的性质即可得到所要结论中也会出现反复应用同一定理或同时应用几个定理进行证明的情况。例1解：对函数ln2x］应格朗日中值定理，得ξ，ξ设当x>e时以单少而，，也可利用函数的单调性证明，可φ(x)=ln2x-4e2x例2设不恒为常数的函数闭区导证明在）少存在一ξ，使得。解：因恒常数且至少存在一点得。若则［］上拉格朗日中值定理条件，因此至少存在一点∈(a,c)使［。若f(c)2用辅助函数的单调性证明辅助函数方法比较常用主思是不式过价形到一个辅助函数过求导确定函数在所给区间上的调性可明结用方法是将不等号右端项移到不等号左端，另不等号端为零，左端即为所求辅助函数。例3证：当x>0时。解：设，易又′(1)=2>0f见，当00，此有当。又由是增加的函数推知，当00，此进一步有时。2

文章来：<a全杂赏网文址：/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm例设，证。分析：要证ab>ba，证或解一：令为≥a)所以x时增加时。解二则有此减少当时有即。3用泰勒展开式证明泰勒展开式的证明常用的是将函所区间端点或一些特定点（如区间的中点，零点进行展开，通过分析余项点性，得不式另余项在所给区间上不变号，也可将余项舍去而得到不式。例5［］具有阶可导函数，且满足条都是非负常数c是，1内任一点，证|。分析已知阶可导，应考用二阶泰勒展开式。本题涉及证，应在特定点将泰公展。解：x=c处泰勒公展开，得′(c)(x-c)+f（1其中ξ，（）中x=0有′(c)(0-c)+fξ)2!c2,在（式中令有′(c)(1-c)+fξ)2!c2,上述两式相减得］,］|

于是］

又因当时有3

≤1

故因这与有，可将其记，么令x分取0和1时应ξ别用1和ξ2示。4西≤柯西进行证明，即方便又快捷。例6区连证≥(b-a)2证明：≤dx即得〖5用函数图形的凹凸性进行明函数的凹凸性证明方法首要是找辅助函数利函所给区间］阶导数确定函数的凹凸性。′(x)>0数为凹的；′(x)<0数为凸的，证明出结论。例7≠y)令故）或（凹的，于是12］>f(x+y2)即12］>