《数学分析》(华师大版)课本上的习题

2x(x,Ennm为任意开集R2x(x,Ennm为任意开集R第十九章含量积分P.178含量正常积分习设

xy

n

，证明：

xy

2

2

x

y).设

Rn点x

到集合E距离定义为

x,)infxyy证明）E是集，

x则

()0;（2

E是E

连同其全体聚点所组成的集为的包

设

xyR,fX;,是X的任集证：（1（2

f(B)f(Af();f(Bf()f(B);（3若

f一一射，fB)f(A)f().设f,g:,R,Rlimfx)b,limgx)c.证：xa

limf(x)且当时可逆；x

f()

T()]T

c.xa设

Rnf:DR

若存在正实数

kr

，对任何点

x,D

满足fxyxy

r

，试证明

fD上的续函数设

xy

n

，证明下列各式：（1

n

xi

nx;

（）

xxyx

2

；ixxy（3并讨论各不等式等号成立的条件和解释(1)明定理

2

时的几何意义.设

n数fm

在D价于f

坐标函数

fii

都在D上致连续？为什么？８设

f:R

为连续函数，R

n

为任意闭集问

f()

是/

否必为开集？

f()

是否必为闭集？P.189含量反常积分习证定理19.12.求列函数的导数：

f(x,x),(x)1212

，求

,x和f

2

)；

fx,)1

21

，x22

x

)

求

f

,x)和f1

设

R

为开集，

f,:D

均为可微函证明

f

也是可微函数，而且(fT)Tff,gh,,t的定义如下：设数f(x)x,g(x)(sinx,cosx)1212

,h(x,x)xx,x)111

，s(x)x2,xT(x)xx,x)T112112试依链式法则求下列复合函数的导:

(f)

(f)

(h)

;

(

t)

()

设

f(x),(xy,),wH(xu,v)

应链式法则计算

).设DR为域

f

可微函数.利用定理19.14证：（1若在

D上f

恒矩（零阵）则(x)

为常向量函;（2若在

D上f

(常数阵则f(cx,bm设

f:

n

为可微函数，试求分别满足以下条件的函数

f(x

:

f

I单位阵；

f(x)),即以x),,()ii112

为主对角线元素的对角阵，xx)1

T

求列函数f的赛矩阵，并据例2的果判断该函数的极值点：

f(x2212

x;2312

fx)xx22xx123231/

设

f,gh,,t

为第题的五个函数.试：除第4题6个题中的两个函数的复合外，还有哪些两个函数可以进行复合，并求这些复合函数的导数；求列复合函数的导数：（i）

(f)

;(ii)

(ss

10.设

R

为开集，

f:DR

在x可.0

试证明：（1任给

在当xU(0f()f()f)00

0

存

0,KU(0

时有(x)f()K0

0（这称为在可微点领域内满足局部利普希兹条.11.设

:Dn的可微函且满足任

xD

和任何非零的

，恒有

Tgh0.

时证明：

在D

上是一一映射。[提示：若

g),xxD;令0,f)(x)x)]1221

；对f应中值定理。12.

点；fR,f),xR,a0.（1试求f的有稳定点；（2证明f的有稳定点都是退化的，即在这些稳定点处，f定点处）

f

是退化矩阵（即在稳P.194欧积分设程组

0,y0,zu0.证明：除了不能把

x,用

唯一表出外，其它任何三个变量都能用第四个变量唯一表.应隐函数求导公4程组

xcosvv,

所确定的隐函其中之一）设程组

z(x)

的所有二阶偏导数./

f(x,y,uv),x,y,z)0.试问）什么条件下，能确定以

为自变量，u,

为因变量的隐函数组？（2能否确定以xy,

为自变量，,为因变量的隐函数组；（3计算

,,.设

f(y)e

x

cosy

x

siny]T

证:

()2时f

)0,但在上证:

fD(x,y)0y上一一映射，并(f

)

利反函数的微分公计算下列函数的反函数的偏导:

,,,.

(u,)

yy,)T;xx

(,v)Texxsin,xcosT.设

D

n

，Rf:DR

2

f(x),

x(x)]T

,xD

证明:在足

f的点x，00

)2.但是由方程f()00

仍可能在点x的0领域内确定隐函数

:R

2,E

.证定理19.18的论设

R

n

，f:与

:ED互为.证明:若

f在xD可微,

f

在

yf(x)E

可微

f

与

(f)

为互逆矩阵可有一个比定理更简单的证明.对n次项式进行因式分解：(xxn

n

)0

()n

从某种意义上说也一个反数问题为多项式的每个系数都是它的个根的已知函数，即(r,ii1

,r),in

,n

（３１）而我们感兴趣的是要求得用系数表示的根，即r(a,,jj01

n

),j

n

（３２）/

(x,x)r(x,x)r试对

与方程P(x)n

无重根时函（１存反函数组（３２P.195总习题证：若

为，f:D,且数(0,1),

使得对任何

f(x

(x

则在

D中存f点x*f

*

)x

*

（本命题称为不动点定理压缩映射定.）设

0

n

,:B

n

,

且存在正实数

q(0,1),

满足

f(

(

与f()0

0

r

利用不动点定理证明：f在中有唯一的不动点。应定理证:设

DRn、:D,若fD微f(x)00

，g在x

0

连续，则

f可微.0设

n

，fD

n

何x,detf

0.

试证：若

yf(D),

x)f(x),则xD

0.证：若

Rn，f:R是D上的可任意两点、b

，以及每一常向量

必点)

[f()(a)]

f

b).

（本命题也称为向量函数的微分中值定理）利上题结果导出微分中值不等式ca

f()f()f

设

f(t)t,sin]T,a