北师大版数学七年级下册第一章整式的乘除6、完全平方公式教案学案课件练习24份

标题第一章整式完全平方公式(2)8标题

《数学》(北师大.七年级下册)

回顾&

思考☞完全平方公式共有

个：这2个公式的区别是

；联系是

．2a2+

2ab+

b2;

(a+b)2=(a−b)2=a2−

2ab+

b2;

左边括号内与右边第二项的符号不同左右两边的结构分别相同、第二项的符号与左边括号内的符号相同。

两个公式中的字母都表示什么?(数或代数式)++−−

根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗?完全平方公式在计算化简中有些什么用?这节课我们就来研究这个问题。做一做

有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们。来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块糖，……

(1)

第一天有a个男孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？a2

(2)

第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？b2

(3)第三天这(a+b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？(a+b)2

(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？第三天多;多多少？为什么？多2ab.∵(a+b)2=a2+

2ab+

b2(a+b)2−

(a2+

b2)=公式的综合运用

例1计算：(1)

(a+b+3)(a+b−3);若不用一般的多项式乘以多项式,

怎样用公式来计算?

观察&

思考因为两多项式不同,即不能写成()2,分析故不能用完全平方公式来计算,只能用平方差公式来计算.三项能看成两项吗?☾

平方差公式中的相等的项(a)、符号相反的项(b)

在本题中分别是什么？[(a+b)+3][(a+b)−3]解:(a+b+3)(a+b−3)=+3−3(a+b)(a+b)=()2−()2a+b3=a2+2ab+b2−9.公式的综合运用例1

计算：(2)

(x+3)2−x2;(3)(x+5)2−(x−2)(x−3).(x+3)2−x2的计算你能用几种方法?试一试.法二:

平方差公式单项式乘多项式.解:(2)法一

完全平方公式合并同类项(见教材);(x+3)2−x2=(x+3+

x)(x+3−x)=(2x+3)•3=6x+9;思考本题的计算有哪几点值得注意?运算顺序;(x−2)(x−3)展开后的结果要添括号.随堂练习p41(1)962

；

(2)(a−b−3)(a−b+3)。1、利用计算整式乘法公式：练习1、用完全平方公式计算:1012，982；2、⑴

x2−(x−3)2;

⑵(a+b+3)(a−b+3)◣◢巩固⑶(ab+1)2-(ab-1)2;

拓展练习真棒！！真棒！！

如果把完全平方公式中的字母“a”换成“a+b”，公式中的“b”换成“c”，那么(a+b)2变成怎样的式子?(a+b)2变成(a+b+c)2。怎样计算(a+b+c)2呢?逐步计算得到：=(a+b)2+2·(a+b)·c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2

把所得结果作为推广了的完全平方公式，试用语言叙述这一公式：

三个数和的完全平方等于这三个数的平方和，再加上每两数乘积的2倍。仿照上述结果，你能说出(a−b+c)2所得的结果吗?=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(a+b+c)2=[(a+b)+c]2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc3.运用乘法公式计算(-a+b-c)2

解法一：用二项完全平方公式计算

(-a+b-c)2=[(-a+b)-c]2=(-a+b)2-2·(-a+b)·c+c2=a2-2ab+b2+2ac-2bc+c2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc解法二：用三项完全平方公式计算

(-a+b-c)2=(-a)2+b2+(-c)2+2(-a)b+2(-a)(-c)+2b(-c)=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc学一学4.利用公式计算①(x+2y+3z)2②③(x+y)2-(x-y)2;5.运用乘法公式计算：

(x+2y-)(x-2y+)(+5)2-(-5)2思考：1.运用乘法公式计算：1)(2a-b-c)22)(1-x)(1+x)(1+x2)+(1-x2)23)(x+2y+3z)2-(x-2y+3z)22.已知.求:(1)(2)3、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值(1)(a+b)2(2)a2+b2(3）a2-ab+b2

若条件换成a-b=5,ab=-6,你能求出a2+b2的值吗?大显身手

已知:你能由上述条件求出代数式的值吗?小结：1.平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2

完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b22.公式中的字母，既可表示一个数，也可表示一个代数式.因此对于较复杂的代数式，常用

化繁为简（换元）的方法，转化成符合公式形式的式子后应用公式计算；

3.在混合运算中，要注意运算顺序和符号；并观察哪些式子可直接用公式计算？哪些式子

变形后可用公式计算？哪些式子只能用多项式乘法法则计算？初中《代数》中给出了以下乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，(a±b)=a2±2ab+b2，第一层次──正用即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．例1计算(2)(-2x-y)(2x-y)．第二层次──逆用即将这些公式反过来进行逆向使用．例2计算(1)19982-1998·3994；乘法公式应用的五个层次

第三层次──活用根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．例3化简(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1．分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1=…=216．例4计算：(2x-3y-1)(-2x-3y+5)分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：-1=2-3，5=2+3，使用公式巧解．解原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]=(2-3y)2-(2x-3)2=9y2-4x2+12x-12y-5．第四层次──变用解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2+b2=(a+b)2-2ab等，则求解十分简单、明快．例5已知a+b=9，ab=14，求2a2+2b2的值．解∵a+b=9，ab=14，∴2a2+2b2=2[(a+b)2-2ab]=2(92-2·14)=106，第五层次──综合运用将(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2综合，可得(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)；(a+b)2-(a-b)2=4ab例6、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值(1)(a+b)2(2)a2+b2(3）a2-ab+b2

单选1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2的值是 []A.52 B.148 C.58 D.762.若a-b=2,a-c=1则(2a-b-c)2+(c-a)2的值是 []A.9 B.10 C.2 D.13.已知(a+b)2=11,(a-b)2=7则2ab为 []A.2 B.-1 C.1 D.-2 []A.9 B.11 C.23 D.1填空1.(x-1)2(x+1)2(x2+1)2=________．2.解方程

3(x-1)2-3x(x-5)=213.解方程5.