17年秋季初二数学(上)期末复习试题集-压轴题专题

可编辑版/17年秋季XX初二数学〔上期末复习题集——压轴题专题考试范围：压轴题；考试时间：300分钟；命题人：黄小芬一．解答题〔共8小题1．如图,长方形ABCD中,AB=x2+4x+3,设长方形面积为S．〔1若S长方形ABCD=2x+6,x取正整数,且长方形ABCD的长、宽均为整数,求x的值；〔2若S长方形ABCD=x2+8x+15,x取正整数,且长方形ABCD的长、宽均为整数,求x的值；〔3若S长方形ABCD=2x3+ax2+bx+3,对于任意的正整数x,BC的长均为整数,求〔a﹣b2015的值．2．如图,线段AB与CD相交于点E,AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C．〔1如图1,若AB=CD,∠BDE=30°,试探究线段DE与CE的数量关系,并证明你的结论；〔2如图2,若AB=BD,∠BDE=22.5°,试探究线段DE与AC的数量关系,并证明你的结论．3．已知：四边形ABCD中,∠DAB=120°,对角线AC平分∠DAB〔1当∠B=∠D=90°时．求证：AB+AD=AC；〔2当∠B+∠D=180°时,线段AB,AD,AC有怎样的数量关系？并证明．4．在等边△ABC中,D为线段BC上一点,CE是∠ACB外角的平分线,∠ADE=60°,EF⊥BC于F．求证：〔1AD=DE；〔2BC=DC+2CF．5．已知：如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF,AF相交于P,M．〔1求证：AB=CD；〔2若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由．6．如图1,在等边三角形ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且ED=EC．〔1当点E为AB的中点时,〔如图1则有AEDB〔填"＞""＜"或"="．〔2猜想AE与DB的数量关系,并证明你的猜想．〔3若等边△ABC的边长为1,E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,AE=2,求CD的长．7．△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,点D在AB边上〔不与点A、B重合,以CD为腰作等腰直角△CDE,∠DCE=90°．〔1如图1,作EF⊥BC于F,求证：△DBC≌△CFE；〔2在图1中,连接AE交BC于M,求的值；〔3如图2,过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H,过点D作DG⊥DC,交AC于点G,连接GH．当点D在边AB上运动时,式子的值会发生变化吗？若不变,求出该值；若变化请说明理由．8．已知,△ABC为等边三角形,点D为直线BC上一动点〔点D不与B、C重合．以AD为边作菱形ADEF,使∠DAF=60°,连接CF．〔1如图1,当点D在边BC上时,①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；〔2如图2,当点D在边BC的延长线上时,其他条件不变,结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系,并写出证明过程；〔3如图3,当点D在边CB的延长线上时,且点A、F分别在直线BC的异侧,其他条件不变,请补全图形,并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．17年秋季初二数学〔上期末复习题集--压轴题专题参考答案与试题解析一．解答题〔共8小题1．如图,长方形ABCD中,AB=x2+4x+3,设长方形面积为S．〔1若S长方形ABCD=2x+6,x取正整数,且长方形ABCD的长、宽均为整数,求x的值；〔2若S长方形ABCD=x2+8x+15,x取正整数,且长方形ABCD的长、宽均为整数,求x的值；〔3若S长方形ABCD=2x3+ax2+bx+3,对于任意的正整数x,BC的长均为整数,求〔a﹣b2015的值．[考点]59：因式分解的应用；6C：分式的混合运算．[分析]〔1首先求出长方形的边长BC为,然后根据长宽均为整数,即可求出x的值；〔2首先求出长方形的边长BC为1+,然后根据长宽均为整数,即可求出x的值；〔3首先根据题意得到BC==mx+n,进而得到〔mx+n〔x2+4x+3=mx3+〔4m+nx2+〔3m+4nx+3,再根据对应关系求出a和b的值,最后求出〔a﹣b2015的值．[解答]解：〔1∵AB=x2+4x+3,S长方形ABCD=2x+6,∴BC===,∵BC的长为整数,∴x+1=1或2,∴x=0或1,∵x为正整数,∴x=1；〔2∵AB=x2+4x+3,S长方形ABCD=x2+8x+15,∴BC====1+,∵BC的长为整数,∴x+1=1或2或4,∴x=0或1或3,∵x为正整数,∴x=1或3；〔3∵AB=x2+4x+3,S长方形ABCD=2x3+ax2+bx+3,∴BC==mx+n,即2x3+ax2+bx+3=〔mx+n〔x2+4x+3,∵〔mx+n〔x2+4x+3=mx3+〔4m+nx2+〔3m+4nx+3,∴,∴,∴mx+n=2x+1,对于任意正整数x,其值均为整数,∴〔a﹣b2015=﹣1．2．如图,线段AB与CD相交于点E,AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C．〔1如图1,若AB=CD,∠BDE=30°,试探究线段DE与CE的数量关系,并证明你的结论；〔2如图2,若AB=BD,∠BDE=22.5°,试探究线段DE与AC的数量关系,并证明你的结论．[考点]KD：全等三角形的判定与性质．[分析]〔1由垂直的定义得到∠B=∠C=90°,根据直角三角形的性质得到DE=2BE,根据三角形的内角和得到∠A=∠D=30°,得到AE=2CE,由AB=CD,等量代换即可得到结论；〔2连接AD,延长AC、BD交于F,根据已知条件得到∠CAE=∠BDE=22.5°,根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB=45°,求得∠ADC=∠ADB﹣∠BDE=22.5°,推出△ACD≌△FCD,即可根据全等三角形的性质得到AC=CF,AF=DE,等量代换即可得到结论．[解答]解：〔1DE=2CE,理由：∵AB⊥BD,AC⊥CD,∴∠B=∠C=90°,∵∠BDE=30°,∴DE=2BE,∵∠AEC=∠BED,∴∠A=∠D=30°,∴AE=2CE,∵AB=CD,∴AE+BE=CE+DE,∴2CE+DE=CE=DE,即DE=2CE；〔2DE=2AC,理由：连接AD,延长AC、BD交于F,∵∠ACE=∠DBE=90°,∠AEC=∠BED,∴∠CAE=∠BDE=22.5°,∵AB=BD,∴∠ADB=45°,∴∠ADC=∠ADB﹣∠BDE=22.5°,在△ACD与△FCD中,,∴△ACD≌△FCD,∴AC=CF,在△ABF与△DBE中,,∴△ABF≌△DBE,∴AF=DE,∵AF=2AC,∴DE=2AC．3．已知：四边形ABCD中,∠DAB=120°,对角线AC平分∠DAB〔1当∠B=∠D=90°时．求证：AB+AD=AC；〔2当∠B+∠D=180°时,线段AB,AD,AC有怎样的数量关系？并证明．[考点]KD：全等三角形的判定与性质．[分析]〔1由AC平分∠DAB,∠DAB=120°,可得∠CAB=∠CAD=60°,又由∠B=∠D=90°,即可得∠ACB=∠ACD=30°,根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半,即可得AB+AD=AC；〔2首先过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F,由AC平分∠DAB,可得CE=CF,又由∠B与∠D互补,可证得△CED≌△CFB,则可得AD+AB=AE+AF,又由AE+AF=AC,则可得线段AB、AD、AC的数量关系为AB+AD=AC．[解答]证明：〔1如图1,在四边形ABCD中,∵AC平分∠DAB,∠DAB=120°,∴∠CAB=∠CAD=60°．又∵∠B=∠D=90°,∴∠ACB=∠ACD=30°．∴AB=AD=AC,即AB+AD=AC．〔2AB+AD=AC．证明如下：如图2,过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F．∵AC平分∠DAB,∴CE=CF．∵∠B+∠CDA=180°,∠CDA+∠CDE=180°,∴∠CDE=∠B．在△CED与△CFB中,∴△CED≌△CFB〔AAS．∴ED=BF．∴AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+ED=AE+AF．∵AC为角平分线,∠DAB=120°,∴∠ECA=∠FCA=30°,∴AE=AF=AC,∴AE+AF=AC,∴AB+AD=AE+AF=AC．∴AB+AD=AC．4．在等边△ABC中,D为线段BC上一点,CE是∠ACB外角的平分线,∠ADE=60°,EF⊥BC于F．求证：〔1AD=DE；〔2BC=DC+2CF．[考点]KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．[分析]〔1过D作DG∥AC交AB延长线于G,证得△AGD≌△DCE,得出AD=DE；〔2进一步利用GD=CE,BD=CE得出BC=DC+2CF．[解答]证明：〔1如图,过D作DG∥AC交AB于G∵△ABC是等边三角形,AB=BC,∴∠B=∠ACB=60°∴∠BDG=∠ACB=60°,∴∠BGD=60°∴△BDG是等边三角形,∴BG=BD∴AG=DC∵CE是∠ACB外角的平分线,∴∠DCE=120°=∠AGD∵∠ADE=60°,∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG∴∠EDC=∠DAG,在△AGD和△DCE中,,∴△AGD≌△DCE〔SAS∴AD=DE〔2∵△AGD≌△DCE,∴GD=CE,∴BD=CE∴BC=CE+DC=DC+2CF．5．已知：如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF,AF相交于P,M．〔1求证：AB=CD；〔2若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由．[考点]P2：轴对称的性质；KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质．[分析]〔1由点D与点A关于点E对称易证AC=CD,再根据角平分线,及垂直得到AC=AB,可得答案AB=CD；〔2易证∠CAD=∠CDA=∠MPC,∠CMA=∠BMA=PMF,可得到∠MCD=∠F．[解答]〔1证明：∵AF平分∠BAC,∴∠CAD=∠DAB=∠BAC,∵D与A关于E对称,∴E为AD中点,∵BC⊥AD,∴BC为AD的中垂线,∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中,〔注：证全等也可得到AC=CD∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°,∠CAD=∠DAB,∴∠ACE=∠ABE,∴AC=AB〔注：证全等也可得到AC=AB,∴AB=CD．〔2解：∠F=∠MCD,理由如下：∵∠BAC=2∠MPC,又∵∠BAC=2∠CAD,∴∠MPC=∠CAD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA,∴∠MPC=∠CDA,∴∠MPF=∠CDM,∵AC=AB,AE⊥BC,∴CE=BE〔注：证全等也可得到CE=BE,∴AM为BC的中垂线,∴CM=BM．〔注：证全等也可得到CM=BM∵EM⊥BC,∴EM平分∠CMB〔等腰三角形三线合一．∴∠CME=∠BME〔注：证全等也可得到∠CME=∠BME．,∵∠BME=∠PMF,∴∠PMF=∠CME,∴∠MCD=∠F．〔注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F6．如图1,在等边三角形ABC中,点E为边AB上任意一点,点D在边CB的延长线上,且ED=EC．〔1当点E为AB的中点时,〔如图1则有AE=DB〔填"＞""＜"或"="．〔2猜想AE与DB的数量关系,并证明你的猜想．〔3若等边△ABC的边长为1,E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,AE=2,求CD的长．[考点]KK：等边三角形的性质；KH：等腰三角形的性质．[分析]〔1根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°,求出∠DEB=30°,求出BD=BE即可；〔2过E作EF∥BC交AC于F,求出等边三角形AEF,证△DEB和△ECF全等,求出BD=EF即可；〔3当D在CB的延长线上,E在AB的延长线式时,由〔2求出CD=3,当E在BA的延长线上,D在BC的延长线上时,求出CD=1．[解答]解：〔1如图1,∵△ABC是等边三角形,点E是AB的中点,∴CE平分∠ACB,CE⊥AB,∴∠ACB=60°,∠BEC=90°,AE=BE,又∵ED=EC,∴∠D=∠ECB=30°,∴∠DEC=120°,∴∠DEB=120°﹣90°=30°,∴∠D=∠DEB=30°,∴BD=BE=AE,即AE=DB．故答案为：=．〔2当点E为AB上任意一点时,如图2,AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：过E作EF∥BC交AC于F,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF,∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF,在△DEB和△ECF中,∴△DEB≌△ECF〔AAS,∴BD=EF=AE,即AE=BD,〔3解：CD=1或3,理由是：分为两种情况：①如图3,过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,则AM∥EN,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN,∵AM∥EN,∴△AMB∽△ENB,∴,即,∴BN=,∴CN=1+=,∴CD=2CN=3；②如图4,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,则AM∥EN,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC,∴BM=CM=BC=,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN,∵AM∥EN,∴,∴,∴MN=1,∴CN=1﹣=,∴CD=2CN=1,即CD=3或1．7．△ABC为等腰直角三角形,∠ABC=90°,点D在AB边上〔不与点A、B重合,以CD为腰作等腰直角△CDE,∠DCE=90°．〔1如图1,作EF⊥BC于F,求证：△DBC≌△CFE；〔2在图1中,连接AE交BC于M,求的值；〔3如图2,过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H,过点D作DG⊥DC,交AC于点G,连接GH．当点D在边AB上运动时,式子的值会发生变化吗？若不变,求出该值；若变化请说明理由．[考点]KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．[分析]〔1根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE,再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF,然后根据"AAS"可证明△DBC≌△CFE；〔2由△DBC≌△CFE得到BD=CF,BC=EF,再利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=BC,所以AB=EF,AD=BF,接着证明△ABM≌△EFM,得到BM=FM,所以=2；〔3在EH上截取EQ=DG,如图2,先证明△CDG≌△CEQ得到CG=CQ,∠DCG=∠ECQ,由于∠DCG+∠DCB=45°,则∠ECQ+∠DCB=45°,所以∠HCQ=45°,再证明△HCG≌△HCQ,则得到HG=HQ,然后可计算出=1．[解答]〔1证明：∵△CDE为等腰直角三角形,∠DCE=90°．∴CD=CE,∠DCB+∠ECF=90°,∵EF⊥BC,∴∠ECF+∠CEF=90°,∴∠DCB=∠CEF,在△DBC和△CEF中,,∴△DBC≌△CFE；〔2解：如图1,∵△DBC≌△CFE,∴BD=CF,BC=EF,∵△ABC为等腰直角三角形,∴AB=BC,∴AB=EF,AD=BF,在△ABM和△EFM中,,∴△ABM≌△EFM,∴BM=FM,∴BF=2BM,∴AD=2BM,∴的值为2；〔3解：的值不变．在EH上截取EQ=DG,如图2,在△CDG和△CEQ中,∴△CDG≌△CEQ,∴CG=CQ,∠DCG=∠ECQ,∵∠DCG+∠DCB=45°,∴∠ECQ+∠DCB=45°,而∠DCE=90°,∴∠HCQ=45°,∴∠HCQ=∠HCG,在△HCG和△HCQ中,,∴△HCG≌△HCQ,∴HG=HQ,∴===1．8．已知,△ABC为等边三角形,点D为直线BC上一动点〔点D不与B、C重合．以AD为边作菱形ADEF,使∠DAF=60°,连接CF．〔1如图1,当点D在边BC上时,①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；〔2如图2,当点D在边BC的延长线上时,其他条件不变,结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠A