专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）-备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）解析版

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题16等腰三角形与直角三角形（共50题）

选择题（共24小题）

1.（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cM和5cm,则这个等腰三角形的周长是（）

A.8anB.\3cmC.8cm或13cnjD.llcnz或13cnz

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cAM和5a",而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨

论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解析】当3cAM是腰长时，3,3,5能组成三角形，

当5c,”是腰长时，5,5,3能够组成三角形.

则三角形的周长为lie”或13cm.

故选：D.

【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种

情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

2.（2022•泰安）如图，h//l2,点A在直线/i上，点B在直线/2上，AB=BC,ZC=25°,Zl=60°.则

N2的度数是（）

【分析】利用等腰三角形的性质得到/C=/8AC=25°,利用平行线的性质得到N3E4=95°,再根据

三角形外角的性质即可求解.

【解析】如图，

VAB=BC,NC=25°,

：.ZC=ZBAC=25°,

V/I/7/2.Zl=60°,

：.ZBEA=]SO°-60°-25°=95°,

'：ZBEA=ZC+Z2,

，N2=95°-25°=70°.

故选：A.

【点评】本题考查J’等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意

运用两宜线平行，同旁内角互补.

3.（2022•自贡）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20。，则这个底角的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°,根据三角形内角和是180°列出方程，解

方程即可得出答案.

【解析】设底角的度数是x°,则顶角的度数为（2x+20）°,

根据题意得：X+X+2A+20=180,

解得：x=40,

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键.

4.（2022•天津）如图，△OA8的顶点O（0,0）,顶点A,8分别在第一、四象限，且轴，若AB=

6,04=08=5,则点A的坐标是（）

【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出0C,根据坐标与图形性质写出点A的坐标.

【解析】设A8与x轴交于点C,

,.Q=O8,OCLAB,48=6,

:.AC=1AB=3,

2

由勾股定理得：OC={OA2_AC2={52-32=4,

•••点A的坐标为（4,3）,

故选：D.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.

5.（2022•台湾）如图，△A3C中，。点在AB上，E点在5c上，DE为A8的中垂线.若NB=NC,且N

E4c>90°,则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（)

A

C.N1W/2,Z1<Z3D./1W/2,Z1>Z3

【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可.

【解析】为AB的中垂线，

:.NBDE=NADE,BE=AE,

:.NB=NBAE,

.,.Z1=Z2,

:NE4c>90°,

.•.Z3+ZC<90°,

VZB+Z1=9O°,NB=NC,

/.Z1>Z3,

；./l=N2,Z1>Z3,

故选：B.

【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答

本题的关键.

6.（2022•广元）如图，在AABC中，BC=6,AC=8,NC=90°,以点B为圆心，BC长为半径画弧，与

AB交于点D,再分别以A、。为圆心，大于工人。的长为半径画弧，两弧交于点M、M作直线MM分

2

别交AC、AB于点E、F,则AE的长度为（）

A.2B.3C.2J2D.12.

23

【分析】利用勾股定理求出AB,再利用相似三角形的性质求出AE即可.

【解析】在RtZ\48C中，8c=6,AC=S,

.*.AB=^BC2+AC2=^62+g2=]0,

,:BD=CB=6,

.\AD=AB=BC=4,

由作图可知EF垂直平分线段AD,

：.AF=DF=2,

VZA=ZA,ZAFE=ZACfi=90°,

.•.△4FES&4CB,

AAE=AF,

"ABAC'

•••A一E-_2―,

108

：.AE=^-,

2

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决

问题，属于中考常考题型.

7.（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3,1）,

（4,-2）,下列各地点中，离原点最近的是（）

<

超市学校

『场

层

匚

A.超市B.医院C.体育场D.学校

【分析】根据题意可以画出相应的平面宜角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点0到超市、学校、

体育场、医院的距离，再比较大小即可.

【解析】如右图所示，

点。到超市的距禺为：丫22+12

点。到学校的距离为：正+1行,

点。到体育场的距离为：3+22=技,

点。到医院的距离为：正+产区,

■:疾〈氏=用＜国,

...点0到超市的距离最近，

【点评】本题考查勾股定理、平面直角坐标系，解答本题的关键是明确题意，作出合适平面直角坐标系.

8.（2022•温州）如图，在RtZiABC中，NACB=90°,以其三边为边向外作正方形，连结CF,作GA/_L

CF于点M,BJLGM于点J,AKLBJ于点K,交CF于点L.若正方形4BGF与正方形的面积之

比为5,C£=Vl0+V2,则CH的长为（）

E

C

AB

L

M

FG

A.V5B.3+V^c.2V2D.710

2

【分析】设C尸交48丁P,过C作CMLA8于M设正方形JKLM边长为机，根据正方形48G尸与正方

形JKLW的面积之比为5,得AF=AB=遥〃:，证明△AFLg/XFGM(A4S),可得AL=FM,设AL=FM

—x,在RtZXAFL中，/+(x+n?)2—()2,可解得x="?,有AL=FM="?,FL—2m,从而可得AP

=近m，FP=3n,BP=在卫，即知尸为43中点，CP=AP=BP=近卫，由△CPNS/\FE4,得CN

2222

=m,PN=Xin,即得AN=Y^+1〃?,而tanZBAC=^2.=―?又△AECs/^8C7/,得^

22ACANV5+1ACCE

即“，—=,故C4=2&.

V5+1V10W2

【解析】设C尸交A8TP,过C作CMLA8于N,如图：

设正方形JKLM边长为m,

：.正方形JKLM面积为nr,

•.•正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5,

正方形ABGF的面积为5"尸,

AF—AB=»

由已知可得：NAFL=90°-ZMFG=ZA7GF,ZALF-90"=NFMG,AF^GF,

:.△AFL'^XFGM(AAS),

：.AL=FM,

设4L=FM=x,则a=QW+MZ,=x+，〃,

在RtZ\AFL中，Al}+Fl}=AF1,

.,.JT+(x+m)2=2,

解得x—m或x--2m（舍去）,

：.AL^FM=m,FL=2m,

tanZAFL=空=坦=」L=A,

AFFL2m2

.AP=1,

V5m2

：.AP=^m,

2

VSm=VSm

FP=J^22=BP=AB-AP^y/Sm-

+AF22

：.AP=BP,即P为A8中点,

VZACB^90°,

CP=AP=BP=遍m,

2

'：』CPN=4APF,ZCNP=90°^ZFAP,

.•.△CPNs△尸附,

V5m

2CN=①

•CP=CN=PN即

FPAFAP-ym遥m娓m

2

：.CN=m,PN=lm,

2

:.AN=AP+PN=^+"〃,

2

m

：.tanZBAC=BC-CN2

ACAN在+1标‘

~2-m

：△AEC和△BCH是等腰直角三角形,

XAECSXBCH,

.•匹="

"ACGE'

VC£=Vl0+V2>

-2CH

'V5+1VioW2，

:.CH=2近,

故选：c.

【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理

等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度.

9.（2022•安徽）已知点。是边长为6的等边△ABC的中心，点尸在aABC外，/XABC,/XPAB,/XPBC,

△PC4的面积分别记为So,51,S2,S3.若SI+S2+53=2SO,则线段OP长的最小值是（）

A.3娟B.C.3A/3D.76

222

【分析】如图，不妨假设点P在AB的左侧，证明△物8的面积是定值，过点P作A8的平行线PW,连

接CO延长CO交AB于点R,交PM于点T.因为△以8的面积是定值，推出点P的运动轨迹是直线PM,

求出。丁的值，可得结论.

【解析】如图，不妨假设点尸在A8的左侧，

.*S&PAB+S&ABC=S&PBC+S2PAC，

•・Sl+So=S2+S3,

.*SI+S2+53=2SO,

,・SI+SI+SO=2SQ，

：.S\=1SO,

2

,.•△ABC是等边三角形，边长为6,

；.50=返*62=9愿，

4

.•.5尸也

2

过点尸作A8的平行线尸M,连接C。延长C。交AB于点R,交PM于点T.

..△以8的面积是定值,

点P的运动轨迹是直线PM,

是△A8C的中心，

/.CT-LAB,CTLPM,

:.LAB，RT=W3,CR=3后0R=43,

22

：.RT=3'^L,

2

：.OT=OR+TR=^J^-,

2

■:0P20T,

；.0P的最小值为显应，

2

当点P在②区域时，同法可得OD的最小值为上巨，

2

如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为显巨，当点P在②④⑥区域时一，最小值为工返,

22

••5加々7我,

22

【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明△以8

的面积是定值.

10.（2022•南充）如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,/84C的平分线交BC于点。，DE//AB,交AC于

点E,AB于点凡DE=5,DF=3,则下列结论错误的是（）

A.BF=\B.DC=3C.AE=5D.AC=9

【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得。。和CE的长，再根据平行线的性质，即可得

到AE的长，从而可以判断8和C,然后即可得到AC的长，即可判断》再根据全等三角形的判定和性

质即可得到3尸的长，从而可以判断人

【解析】〈A。平分NBAC,ZC=90°,DFLAB,

/.Z1=Z2,DC=FD,ZC=ZDFB=90a,

・：DE〃AB,

AZ2=Z3,

Z1=Z3,

:,AE=DE,

U：DE=5,DF=3,

：.AE=5,CO=3,故选项8、C正确；

•■•CE=7DE2-CD2=4,

；.AC=AE+EC=5+4=9,故选项D正确；

'.'DE//AB,NDFB=90°,

；.NEDF=NDFB=90°,

AZCDF+ZFDB=90a,

VZCDF+ZD£C=90",

:.NDEC=NFDB,

；tan/OEC=型，tanZFDB=^~,

CEDF

•3_BF;

"1^3"

解得故选项A错误；

4

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本

题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

11.（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于28c长为半径画弧，两弧相交于点

2

M,N.作直线交AC于点。，交BC于点£连接3D.若AB=7,AC=12,BC=6,则△ABO的

周长为（）

【分析】根据题意可知例N垂直平分8C,即可得到。8=OC,然后即可得至A8+8£）+4D=48+DC+4〃

=AB+AC,从而可以求得△ABD的周长.

【解析】由题意可得，

垂直平分BC,

：.DB=DC,

,：/XABD的周长是AB+BD+AD,

：.AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC,

'：AB=7,AC=12,

.\AB+AC=19,

/.VA4BD的周长是19,

故选：C.

【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合

的思想解答.

12.（2022•河北）题目：“如图，NB=45°,BC=2,在射线上取一点A,设AC=d,若对于d的一个

数值，只能作出唯一一个△ABC,求”的取值范围.”对于其答案，甲答：d22,乙答:4=1.6,丙答:

d=®则正确的是（）

BC

A.只有甲答的对

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

【分析】由题意知，当。4，m或。4>8<7时，能作出唯一一个△4BC,分这两种情况求解即可.

【解析】由题意知，当或C4>8C时，能作出唯---个△A8C,

①当CAL8A时，

；/8=45°,BC=2,

."C=8C・sin45°=2乂至-=五,

2

即此时d=&,

②当CA=BC时，

'.,ZB=45°,BC=2,

此时AC=2,

即d>2,

综上，当d=&或d>2时能作出唯•一个△ABC,

故选：B.

【点评】本题主要考查三角形的三边关系及等腰直角三角形的知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质及

三角形的三边关系是解题的关键.

13.（2022•宜宾）如图，ZXABC和△AOE都是等腰直角三角形，N8AC=/ZME=90°,点。是8C边上

的动点（不与点B、C重合），£>£与AC交于点F,连结CE.下列结论：①BD=CE；②ND4C=NCE£）；

③若8D=2C£）,则SE=_1；④在△ABC内存在唯---点P,使得%+P8+尸C的值最小，若点。在AP

AF5

【分析】①正确.证明△84。丝△£>/1£t（SAS）,可得结论；

②正确.证明A,。，C,E四点共圆，利用圆周角定理证明；

③正确.设C£）=m,则8O=CE=2m.DE=\[^m,OA=J^-m,过点C作C/_LOF于点1/,求出A。，

2

CJ,可得结论；

④错误.将△8PC绕点8顺时针旋转60°得到△BMW,连接PM当点A,点P,点N,点M共线时，

以+P6+PC值最小，此时/4尸8=/4/^=/3/^=120°,PB=PC,AD1BC,设P£>=r,WJBD=AD

=瓜，构建方程求出f,可得结论.

【解析】如图1中，

：.ZBAD=ZCAE,

'：AB=AC,AD=AE,

：./\BAD^/\DAE(SAS),

：.BD=EC,ZADB=ZAEC,故①正确，

VZADB+ZADC=180",

...NAEC+NADC=180°,

：.ZDAE+ZDCE=180°,

：.ZDAE=ZDCE=90Q,

取DE的中点O,连接。4,OA,OC,则O4=OO=OE=OC,

D,C,E四点共圆，

：.ZDAC=ZCED,故②正确，

设CZ)="7,则8Q=CE=2〃?.DE=4^>m,OA=YLH,

2

过点C作C7LD尸于点J,

VtanZCDF=^I=^l=2,

D.TCD

5

'：AO±DE,CJLDE,

：.AO//CJ,

点

.•.CL=S1=——=4,故③正确.

AFAOV55

2m

如图2中，将ABPC绕点B顺时针旋转60°得到△ZWM,连接PN,

:.BP=BN,PC=NM,/PBN=60°,

••.△8PN是等边三角形,

：.BP=PN,

：.PA+PB+PC=AP+PN+MN,

，当点A,点P,点N,点M共线时，物+PB+PC值最小，此时NAPB=/APC=N8PC=120°,PB=

PC,AD±BC,

:.NBPD=NCPD=60°,

设PD—t,则BD=AD=«t,

2+f=V^f,

:.CE=BD=Mt=3+M，故④错误.

故选：B.

【点评】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角

三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压

轴题.

14.（2022•眉山）在△ABC中，AB=4,BC=6,4c=8,点。，E,尸分别为边AB,AC,BC的中点，则

△QEF的周长为（）

A.9B.12C.14D.16

【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可得出AABC的周长=2Z\OEF

的周长.

【解析】如图，点E,尸分别为各边的中点，

:.DE、EF、力尸是△A8C的中位线，

.•.DE=2BC=3,EF=LW=2,=LC=4,

222

△DEF的周长=3+2+4=9.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形中位线定理.解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系.

15.（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4

个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图若“弦图”中

小正方形面积与每个直角三角形面积均为1,a为直角三角形中的一个锐角，则tana=（）

225

【分析】根据题意和题目中的数据，可以先求出大正方形的面积，然后设出小直角三角形的两条直角边，

再根据勾股定理和两直角边的关系可求得直角三角形的两条直角边的长，然后即可求得tana的值.

【解析】由已知可得，

大正方形的面积为1义4+1=5,

设直角三角形的长直角边为a,短直角边为从

则42+/=5,a-b=1,

解得a=2,6=1或a=l,b=-2（不合题意，舍去），

；.tana=2=2=2,

b1

故选：4.

【点评】本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是求出直角三角形的两条直角边长.

16.（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0,2）,点B是x轴正半轴上的一点，将线段48绕点A按逆时针

方向旋转60°得到线段AC.若点C的坐标为（m,3）,则，〃的值为（）

D.噜

【分析】过C作轴于Q,CE，），轴于E,根据将线段A8绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段

22

AC,可得△48C是等边三角形，又A(0,2),C(皿3),即得4c=42+]=BC=4B,可得^=VBC-CD

=Vm2-8'<9fi=VAB2-0A2=Vm2-3,从而Ym?-3+41^-8="”即可解得胆=立卓

O

【解析】过C作CO_Lx轴于力，CEVy轴于E,如图：

；C£>_Lx轴，CE_Ly轴，NDOE=90°,

四边形EODC是矩形,

•••将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC,

：.AB=AC,NBAC=6()°,

/\ABC是等边二角形,

：.AB=AC^BC,

VA(0,2),C(m,3),

：.CE=m=OD90）=3,04=2,

：.AE=0E-0A=CD-OA=l,

:.AC=\AE?VE2=4m2+1=BC=C=，

22=

在RtaBCD中，BO=VBC-CDV7^8'

在Rt^AOB中，OB=ylAB2-0k2=，JW，

■:OB+BD=OD=m,

,，-Vm2-3+Vm2-8=m,

化简变形得：3m4-22m2-25=0,

解得〃应或m=-包区（舍去），

33

••III—>

3

故选：C.

【点评】本题考查直角坐标系中的旋转变换，解题的关键是熟练应用勾股定理，用含，〃的代数式表示相

关线段的长度.

17.（2022•扬州）如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电话

给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△48C,提供下列各组元素的数据，配出

来的玻璃不一定符合要求的是（）

A.AB,BC,CAB.AB,BC,NBC.AB,AC,NBD./A,ZB,BC

【分析】宜接利用全等三角形的判定方法分析得出答案.

【解析】A.利用三角形三边对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意;

B.利用三角形两边、且夹角对应相等，两三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意;

C.AB,AC,ZB,无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；

D根据NA,ZB,BC,三角形形状确定，故此选项不合题意：

故选：C.

【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键.

18.（2022•湖州）如图，已知在锐角△ABC中，AB=AC,是△ABC的角平分线，E是AD上一点，连

结EB,EC.若/EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是（）

A

A.12B.9C.6D.3我

【分析】根据等腰三角形的性质得到BD=CD=3,AD1BC,根据等腰直角三角形的性质求出ED,根

据三角形的面积公式计算，得到答案.

【解析】-：AB=AC,AD是△ABC的角平分线，

；.BQ=C0TBe=3,ADLBC,

2

在RtZ\E8D中，NEBC=45°,

；.ED=BD=3,

：.S&EBC=^JBC-EZ）=』X6X3=9,

22

故选：B.

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关

健.

19.（2022•宁波）如图，在RtZVIBC中，。为斜边4c的中点，E为BD上一点、,尸为CE中点.若4£=

AD,DF=2,则BD的长为（)

A

D

BC

A.2V2B.3c.2V3D.4

【分析】根据三角形中位线可以求得AE的长，再根据AE=A。，可以得到AD的长，然后根据直角三角

形斜边上的中线和斜边的关系，可以求得BD的长.

【解析】为斜边4c的中点，尸为CE中点，DF=2,

：.AE=2DF=4,

'：AE=AD,

：.AD=4,

在Rl^ABC中，D为斜边AC的中点，

.,.BQ=14C=AZ）=4,

2

故选：D.

【点评】本题考查直角三角线斜边上的中线和斜边的关系、三角形的中位线，解答本题的关键是求出

的长.

20.（2022•云南）如图，08平分NAOC,。、E、尸分别是射线04、射线。8、射线OC上的点，。、E、F

与O点都不重合，连接E。、EF.若添加下列条件中的某一个，就能使△Q0E也△尸OE.你认为要添加

0

A.OD=OEB.OE=OFC.NODE=NOEDD.NODE=ZOFE

【分析】由OB平分/AOC,得NDOE=NFOE,由OE=OE,可知NOOE=/OFE,即可根据A4S得

△QOE丝△FOE,可得答案.

【解析】平分NAOC,

NDOE=ZFOE,

又OE=OE,

若/ODE=NOFE,则根据AAS可得△OOEg△尸OE,故选项D符合题意，

而增加OZ）=OE不能得到△QOE丝△△?£,故选项A不符合题意，

增加OE=OF不能得到△DOE四△FOE,故选项B不符合题意，

增加不能得到故选项C不符合题意，

故选：D.

【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用.

21.（2022•达州）如图，AB//CD,直线EF分别交AB,CZ）于点M,N,将一个含有45°角的直角三角尺

按如图所示的方式摆放，若NEMB=80°,则NPMW等于（）

【分析】根据平行线的性质得到/OM0=NBME=8O°,由等腰直角三角形的性质得到NPNC=45°,

即可得到结论.

【解析】〃处

；./DNM=NBME=80°,

■:NPND=45°,

:.NPNM=NDNM-NDNP=80°-45°=35°,

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

22.（2022•金华）如图，圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到8处，现

将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）

【分析】利用圆柱的侧面展开图是矩形，而点B是展开图的一边的中点，再利用蚂蚁爬行的最近路线为

线段可以得出结论.

【解析】将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，

:圆柱的底面直径为AB，

...点8是展开图的一边的中点，

•••蚂蚁爬行的最近路线为线段，

-'-C选项符合题意，

故选：C.

【点评】本题生要考查了圆柱的侧面展开图，最短路径问题，掌握两点之间线段最短是解题的关键.

23.（2022•舟山）如图，在RtZ\A8C和RtZsBDE中，N5OE=90°，点A在边DE的中点上，若

AB=BC,DB=DE=2,连结CE,则CE的长为（）

E

A

D

B

A.V14C.4D.

【分析】根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和8c的长，根据等面积法可以

求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可.

【解析】作EF1.CB交CB的延长线于点尸，作EGLBA交BA的延长线于点G,

•：DB=DE=2,NBDE=90°，点A是。E的中点,

BE-^BD2+DE2-V22+22~>DA—EA—\,

22

•"8=VBD+AD=

\"AB=BC,

:.BC=Q

­••AE»B-D--AB>EG

22

.1X2V5・EG

•------=------,

22

解得EG=R£,

5

'：EG1BG,EFLBF,Z4BF=90°,

四边形EFBG是矩形，

:.EG=BF=^I^_,

5

,:BE=2近,一,

5

.,衣=加2_8?2=J(2^产_(噜)2=誓,CF=BF+BC=^-娓=噜,

VZ£FC=90°,

•••rc=VEF24CF2=<J(^5_)2+(7^f)2=>/T7(

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理、等腰面角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出EF和CF的长.

24.（2022•遂宁）如图，D、E、F分别是△A8C三边上的点，其中BC=8,8c边上的高为6,KDE//BC,

则△OEF面积的最大值为（）

【分析】过点4作于交DE于点、N,则AN_LZ）E,设AN=a,根据OE〃8C,证出△△£）£：

s/XABC,根据相似三角形对应高的比等于相似比得到。£=全’,列出面积S的函数表达式，根

3

据配方法求最值即可.

【解析】如图，过点4作AMI.8c于M,交DE于点N,则AN_LDE,

设AN=a,

■:DE〃BC,

；・NADE=NB,/AED=NC,

：.△ADEs^ABC,

.•巫=幽，

"BCAM，

»DE-a

.*.DE=£,

3

/./\DEF面积S=」XOEXMN

2

=AxA(Z«(6-a)

23

=-22+4d((

3

=-2(a-3)2+6,

3

.•.当a=3时，，S有最大值，最大值为6.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，列出△DEF面积S的函数表达式，根据配方法求最

值是解题的关键.

二.填空题（共15小题）

25.（2022•岳阳）如图，在△A8C中，AB=AC,A£）_LBC于点。，若BC=6,则CD=3.

A

BDC

【分析】根据等腰三角形的性质可知。是8c的中点，即可求出CD的长.

【解析】AD±BC,

；.CD=BD,

,:BC=6,

：.CD=3,

故答案为：3.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键.

26.（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2

倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形"，底边8C的长为3,则腰AB的长

为6.

【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB=2BC或8c=2X8,若AB=2BC=6,可得A8的长

为6；若8c=3=2",因1.5+15=3,故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案.

【解析】•••等腰AABC是“倍长三角形”，

：.AB=2BCE&BC^2AB,

若A8=28C=6,则△ABC三边分别是6,6,3,符合题意，

...腰A8的长为6；

若2c=3=248,则AB=1.5,△A8C三边分别是1.5,1.5,3,

；1.5+15=3,

•••此时不能构成三角形，这种情况不存在；

综上所述，腰AB的长是6,

故答案为：6.

【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边

的和大于第三边.

27.（2022•云南）已知△ABC是等腰三角形.若乙4=40°,则aABC的顶角度数是40°或100°.

【分析】分NA是顶角和底角两种情况讨论，即可解答.

【解析】当N4是顶角时，△ABC的顶角度数是40°；

当NA是底角时，则△A8C的顶角度数为180°-2X40°=100°；

综上，8c的顶角度数是40°或100°.

故答案为：40°或100°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，此类题H，难点在于要分情况讨论.

28.（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形,其中AB=AC,立柱ADJ_8C,且顶角NB4C=120°,

则ZC的大小为30°.

BDC

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到NB=NC=30°.

【解析】•••A8=AC且NBAC=120°,

.,.ZB=ZC=A(1800-NBAC)=1x60°=30°.

22

故答案为：30°.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键.

29.（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图.已知B点的坐标是（3）,则A点的坐标是

【分析】根据正六边形的性质可得点A和点8关于原点对称，进而可以解决问题.

【解析】因为点A和点8关于原点对称，8点的坐标是（-加，3）,

所以A点的坐标是（JE，-3）,

故答案为：-3）.

【点评】本题考查了正六边形的性质，中心对称图形，解决本题的关键是掌握关于原点对称的点的坐标

特征.

30.（2022•金华）如图，在RtZ\48C中，NACB=90°,/A=30°,BC^2cm.把△ABC沿4B方向平移

icm,得到△48C,连结CC,则四边形AB'CC的周长为（8+2J々）cm.

CC'

【分析】利用含30。角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，求得四边形42'CC的四边即可

求得结论.

【解析】•..在RtzXABC中，NACB=90°,ZA=30°,BC=2cm,

.,.AB=23C=4,

，Ac=VAB2-BC2=2a-

；把aABC沿A8方向平移\cm,得到△AEC,

：.B'C=BC=2,AA'=CC'=\,A'B'=AB=4,

：.AB'="+A'B'=5.

二四边形AB'CC的周长为48'+B'C+CC'+AC=5+2+l+2j^=（8+2盯）cm.

故答案为：（8+2A/"§）.

【点评】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理和平移的性质，熟练掌握平移的性质

是解题的关键.

31.（2022•宜宾）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边〃、从

c求面积的公式，其求法是：“以小斜幕并大斜累减中斜基，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕减上，

余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即为S=

J2222

■I—2a2-（2匹二？-）].现有周长为18的三角形的三边满足a：b-.c-4：3：2,则用以上给

42

出的公式求得这个三角形的面积为_3^_.

【分析】根据题意先求出a、b、C,再代入公式进行计算即可.

【解析】根据a：b：c=4：3：2,设a=42,b=3k,c=2k,

则4Z+3A+2Z=18,

解得：k=2,

工〃=42=4X2=8,0=32=3X2=6,c=2k=2X2=4,

l22_7~2I__

JJ[42X82-（4~+^~6-）2][16X64-484]=3后，

故答案为：3J元.

【点评】本题考查了二次根式的运算，要注意运算顺序，解答的关键是对相应的运算法则的熟练掌握.

32.（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABC£>中，AB=A£>,NB+NO=180°,点E,尸分别在BC,

CO上，若N8AQ=2/EAF,则EF=BE+QF.

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知CD=CB=100m,

ZD=60°,ZABC=120°,ZBCD=150°,道路A。，AB上分别有景点用，N,且。例=100”BN

=50（V3-1）m,若在M,N之间修一条直路，则路线M-N的长比路线M-A-N的长少370m

（结果取整数，参考数据：炳7）.

A

图①图②

【分析】解法-：如图，作辅助线，构建直角三角形，先根据四边形的内角和定理证明/G=90°,分

别计算AD,CG,AG,8G的长，由线段的和与差可得AM和AN的长，最后由勾股定理可得的长,

计算AM+AN-MN可得答案.

解法二：构建【阅读材料】的图形，根据结论可得MN的长，从而得结论.

【解析】解法一：如图，延长。C,43交于点G,

G，、R

DMHA

VZ£)=60o,ZABC=12O°,ZBCD=\50Q,

ZA=360°-60°-120°-150°=30°,

/.ZG=90°,

：.AD=2DG,

Rt^CGB中，N8CG=180°-150°=30°,

；.BG=LBC=50,CG=50A/3.

2

OG=CD+CG=]00+5(h/3，

AD=2DG=200+10(h/3，AG=A/3DG=150+10(h/3

VDAf=100,

：.AM=AD-DM=200+100V3-100=IOO+IOOA/3.

：BG=50,BN=50(73-1).

：.AN=AG-BG-BN=150+100y-50-50(^3~1)=150+5()V3-

RtZXAN”中，VZA=30°，

:.NH=LN=75