2023年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布课时达标63离散型随机变量的均值与方差、正态分布理

PAGEPAGE52022年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布课时达标63离散型随机变量的均值与方差、正态分布理[解密考纲]离散型随机变量及其分布列、均值与方差在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景呈现在三种题型中，难度中等或较大，正态分布一般以选择题或填空题进行考查．一、选择题1．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，假设P(ξ>1)＝p，那么P(－1<ξ<0)＝(D)A．eq\f(1,2)＋p B．1－pC．1－2p D．eq\f(1,2)－p解析：由正态分布的概念可知，当P(ξ>1)＝p时，P(0<ξ<1)＝eq\f(1,2)－p，而正态分布曲线关于y轴对称，所以P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝eq\f(1,2)－p，应选D．2．某运发动投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，假设他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X，得分为Y，那么E(X)，D(Y)分别为(C)A．0.6,60 B．3,12C．3,120 D．3,1.2解析：X～B(5,0.6)，Y＝10X，∴E(X)＝5×0.6＝3，D(X)＝5×0.6×0.4＝1.2，D(Y)＝100D(X)＝120.3．(2022·广东茂名模拟)假设离散型随机变量X的分布列为X01Peq\f(a,2)eq\f(a2,2)那么X的数学期望E(X)＝(C)A．2 B．2或eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．1解析：因为分布列中概率和为1，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a2,2)＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2(舍去)或a＝1，所以E(X)＝eq\f(1,2).4．(2022·山东潍坊质检)随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，且P(X<5)＝0.8，那么P(1<X<3)＝(C)A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：由正态曲线的对称性可知，P(X<3)＝P(X>3)＝0.5，故P(X>1)＝P(X<5)＝0.8，所以P(X≤1)＝1－P(X>1)＝0.2，P(1<X<3)＝P(X<3)－P(X≤1)＝0.5－0.2＝0.3.5．(2022·甘肃嘉峪关质检)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，那么X的数学期望为(B)A．5 B．5.25C．5.8 D．4.6解析：由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)，P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2).那么E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.6．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋X＝0无实数根的概率为eq\f(1,2)，那么μ＝(C)A．1 B．2C．4 D．不能确定解析：因为方程x2＋4x＋X＝0无实数根的概率为eq\f(1,2)，由Δ＝16－4X<0，得X>4，即P(X>4)＝eq\f(1,2)＝1－P(X≤4)，故P(X≤4)＝eq\f(1,2)，所以μ＝4.二、填空题7．设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，假设P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，那么a的值为eq\f(7,3).解析：由正态分布的性质知，假设P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，那么eq\f(2a－3＋a＋2,2)＝3，解得a＝eq\f(7,3).8．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，那么X的数学期望为200.解析：记不发芽的种子数为Y，那么Y～B(1000,0.1)，所以E(Y)＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，所以E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.9．(2022·贵州七校第一次联考)在某校2022年高三11月月考中理科数学成绩X～N(90，σ2)(σ>0)，统计结果显示P(60≤X≤120)＝0.8，假设该校参加此次考试的有780人，那么试估计此次考试中，该校成绩高于120分的有78人．解析：因为成绩X～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤X≤120)＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的eq\f(1,2)(1－0.8)＝0.1，所以估计成绩高于120分的有0.1×780＝78人．三、解答题10．某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如表所示：版本人教A版人教B版苏教版北师大版人数2015510(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；(2)假设随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．解析：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为Ceq\o\al(2,50)＝1225.选出两人使用版本相同的方法数为Ceq\o\al(2,20)＋Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,10)＝350.故两人使用版本相同的概率为P＝eq\f(350,1225)＝eq\f(2,7).(2)X的所有可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(3,17)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,20)C\o\al(1,15),C\o\al(2,35))＝eq\f(60,119)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,20),C\o\al(2,35))＝eq\f(38,119).∴X的分布列为X012Peq\f(3,17)eq\f(60,119)eq\f(38,119)∴E(X)＝0×eq\f(3,17)＋1×eq\f(60,119)＋2×eq\f(38,119)＝eq\f(136,119)＝eq\f(8,7).11．(2022·广东广州五校联考)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区今年9月每天的PM2.5监测数据中，按系统抽样方法抽取了某6天的数据作为样本，其监测值如茎叶图所示.茎23456叶604006(1)根据样本数据估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值和方差；(2)从所抽样的6天中任意抽取3天，记ξ表示抽取的3天中空气质量为二级的天数，求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(26＋30＋36＋44＋50＋60,6)＝41，s2＝eq\f(1,6)×[(26－41)2＋(30－41)2＋(36－41)2＋(44－41)2＋(50－41)2＋(60－41)2]＝137.根据样本估计今年9月份该市区每天PM2.5的平均值为41，方差为137.(2)由茎叶图知，所抽样的6天中有2天空气质量为一级，有4天空气质量为二级，那么ξ的可能取值为1,2,3，其中P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)·C\o\al(2,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)·C\o\al(0,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).所以ξ的分布列为ξ123Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)E(ξ)＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,5)＝2，所以ξ的数学期望为2.12．气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：日最高气温t/℃t≤2222<t≤2828<t≤32t>32天数612YZ由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于32℃的频率为0.9.某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：日最高气温t/℃t≤2222<t≤2828<t≤32t>32日销售额X/千元2568(1)求Y，Z的值；(2)假设视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；(3)在日最高气温不高于32℃时，求日销售额不低于5千元的概率．解析：(1)由得P(t≤32)＝0.9，∴P(t>32)＝1－P(t≤32)＝0.1，∴Z＝30×0.1＝3，Y＝30－(6＋12＋3)＝9.(2)P(t≤22)＝eq\f(6,30)＝0.2，P(22<t≤28)＝eq\f(12,30)＝0.4，P(28<t≤32)＝eq\f(9,30)＝0.3，P(t>32)＝eq\f(3,30)＝0.1，∴六月份西瓜日销售额X的分布列为X2568P0.20.40.30.