专题10平行线与三角形-2022年中考数学真题分类汇编（全国通用）（第2期）（解析版）

专题10平行线与三角形

一.选择题

1.（2022•内蒙古通辽）如图，一束光线先后经平面镜aw,ON反射后，反射光线与45平行，当

//BM=35。时，ZDCN的度数为（）

【分析】根据题意得：NABM=NOBC,Z.BCO=ZDCN,然后平行线的性质可得N8CD=70。，即可求解.

【详解】解：根据题意得：N4BM=NOBC,NBCO=NDCN,

"：N/8A/=35。，/.NO8c=35。，N/8C=1800-48M-NO8c=180。-35。-35°=110°,

•:CD"AB,：.ZABC+ZBCD=180°,：.ZBCD=180Q-ZABC=70°,

,：ZBCO+ZBCD+ZDCN=180Q,ZBCO=ZDCN,

：.ZOC7V=1（180°-ZBCD）=55".故选：A

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

2.（2022•河北）要得知作业纸上两相交直线48,8所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直

接测量.两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2）：对于方案I、II,说法正确的是（）

①作一直线GH,交AB,CD于■点、E,F；①作一直线G",交AB,CD于点、E,F；

②利用尺规作图作ZHEN=ZCFG；②测量/ZE"和ZCFG的大小；

③计算180°-NAEM-NCFG即可.③计算180°-NAEH-ZCFG即可.

A.I可行、H不可行B.I不可行、II可行C.I、II都可行D.I、II都不可行

【答案】c

【分析】用夹角可以划出来的两条线，证明方案1和H的结果是否等于夹角，即可判断正误

【详解】方案I：如下图，/3尸。即为所要测量的角

aHEN=NCFG：.MN//PD：.NAEM=Z.BPD故方案I可行

方案n：如下图，N8P。即为所要测量的角

在4EPF中：NBPD+NPEF+NPFE=180°

则：/8尸。=180。-4即-/。氏7故方案11可行故选：C

【点睛】本题考查平行线的性质和判定，三角形的内角和；本题的突破点是用可画出夹角的情况进行证明

【答案】B

【分析】根据垂直的定义可得NCOE=90。，根据平角的定义即可求解.

【详解】解：；EOA.CD,:.ZCOE=90°,

•.•N1+NCOE+N2=180°,/.Z2=180°-90°-54°=36°.故选：B.

【点睛】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键.

4.(2022•湖北鄂州)如图，直线//〃5点C、/分别在//、/2上，以点C为圆心，。长为半径画弧，交

//于点8,连接48.若/8。=150。，则/I的度数为()

【答案】B

【分析】由作图得AJ8C为等腰三角形，可求出45c=15。，由"〃/2得N1=/N5C,从而可得结论.

【详解】解：由作图得，C4=CB,...ZVIbC为等腰三角形，，=

,/ZBCA=150°,/.ZABC=y(180°-ZACB)=1(180°-150°)=15°

•：h//h：.N1=45C=15。故选B

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，求出48C=15。是解答本题的

关键.

5.(2022•湖南郴州)如图，直线a〃b,且直线a,6被直线c,5所截,则下列条件不能判定直线c〃d的

是()

【答案】C

【分析】利用平行线的判定条件进行分析即可得出结果.

【详解】解：A、当N3=N4时，c//d；故A不符合题意;

B、当N1+N5=18O。时，c//d；故B不符合题意；

C、当N1=N2时，a//h；故C符合题意；

D,,：a//b,则N1=N2,；N1=N4,则22=N4,c〃d；故D不符合题意；故选：C

【点睛】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用.

6.（2022•山东潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面Z8与C。平行，入射光线/

与出射光线机平行.若入射光线/与镜面的夹角Nl=40。10，，则/6的度数为（）

A.100°40'B.99°80'C.99°40'D.99°20'

【答案】C

【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得/1=/2,可求出/5,由/〃机可得

Z6=Z5

【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得/1=/2,

♦.2=40。10'/2=40。10'N5=180。-/I-/2=180°-40。10-40。10=99°40

〃加N6=N5=99°40'故选：C

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键.

7.（2022•北京）如图，利用工具测量角，则N1的大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【分析】利用对顶角相等求解.

【详解】解：量角器测量的度数为30。，

由对顶角相等可得，Zl=30°.故选A.

【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键.

8.（2022•黑龙江）如图，A/8c中，AB=AC,平分NB4c与8c相交于点。，点E是N8的中点，点尸

是。C的中点，连接E尸交ZO于点P.若的面积是24,TO=1.5,则PE的长是（）

A.2.5B.2C.3.5D.3

【答案】A

【分析】连接OE,取力。的中点G,连接EG,先由等腰三角形"三线合一"性质，证得BD=CD,

再由£•是的中点，G是4）的中点，求出SAEG£>=3,然后证△EGPtAFZ）尸（AAS）,得GP=CP=1.5,从

而得0G=3,即可由三角形面积公式求出EG长，由勾股定理即可求出PE长.

【详解】解：如图，连接取/。的中点G,连接EG,

,JAB^AC,AD平分NBA"BC相交于点D,

：.ADVBC,BD=CD,

S^ABD=—S=—x24=12,

2"BC2

；己是"的中点，

•.S^AED=-S,„=-xl2=6,

2△ADUn2

是ZD的中点,

1C1,

..S^EGD=-S^AED=-X6=3,

是的中点，G是力。的中点,

：.EG//BC,EG=^BD=^CD,

:・NEGP=NFDP=90\

•・,/是CD的中点，

:.DFJCD,

:・EG=DF,

•//EPG=/FPD,

•••△EGPm4FDP(AAS),

：.GP=PD=1.5,

/.GD=3,

VS^EGD=—GD-EG=3,即」£Gx3=3,

22

：・EG=2,

在中，由勾股定理，得

PE=y]EG2+GP-=V22+1.52=2.5,

故选:A.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形面枳，全等三角形判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形

中线分三角形两部分的面积相等是解题的关键.

9.（2022・贵州遵义）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直

角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形O48C.若4B=BC=l,^OB=30°,则点8到OC的距离

为（）

D.2

【答案】B

【分析】根据题意求得05=2,进而求得0C=有，进而等面积法即可求解.

【详解】解：在RtA4B0,RtA30c中,

•••40B=30°,AB=BC=1,

OB=2,

0C=yJOB2+BC2=V5，

设B到0C的距离为〃，

:.-OCh=-BCBO,

22

,1x2275

h=—j=^=-----，

y[55

故选B.

【点睛】本题考查/勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

10.（2022•广西）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如

己知△/8C中，NZ=30。，ZC=3,/Z所对的边为行，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如

图的△XBC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

A.26B.2痒3C.2拒或也D.或动-3

【答案】C

【分析】分情况讨论，当是一个直角三角形时，当是一个钝角三角形时，根据含30。的直角

三角形的性质及勾股定理求解即可.

【详解】如图，当△NBC是一个直角三角形时，即/C=90。，

vZJ=30o,5C=V3,

AB=2BC=25.

如图，当△45/C是个钝角三角形时,

过点C作CDLABi,

ACDA=90°=ZCDB,

,/CB=CB、,

，BD=B、D,

・•・乙4=30。,/。=3,

13

,\CD=-AC=-

22t

•••5C=6

22

B\D=^B.C-CD=W=BD,

BB、=y/3,

ABX=AB—BB、=y/3,

综上，满足已知条件的三角形的第三边长为26或

故选：C.

【点睛】本题考查了根据已知条件作三角形，涉及含30。的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握知识点

是解题的关键.

11.（2022•山东烟台）如图，某海域中有/,B,C三个小岛，其中”在8的南偏西40。方向，C在8的南

偏东35。方向，且8,C到4的距离相等，则小岛C相对于小岛力的方向是（）

A.北偏东70。B.北偏东75。C.南偏西70。D.南偏西20。

【答案】A

【分析】根据题意可得N/8C=：75。，再根据等腰三角形的性质可得NC=75。,

从而求出/84c的度数，然后利用平行线的性质可得/O/8=NZ6E=40。，从而求出ND/C的度数，即可

解答.

【详解】解：如图：由题意得：

ZABC=ZABE+ZCBE=40°+3S°=75°,AD//BE,AB=AC,

：.ZABC=ZC=75°,

：.ZBAC^180°-NABC-/C=30°,

,:AD〃BE,

：.ZDAB=ZABE=40°,

：.ZDAC=ZDAB+ZBAC=40°+30°=70°,

小岛C相对于小岛/的方向是北偏东70。，故选：A.

【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

12.（2022・河北）如图，将A/BC折叠，使NC边落在N8边上，展开后得到折痕/,则/是A/BC的（）

B

A.中线B.中位线C.高线D.角平分线

【答案】D

【分析】根据折置的性质可得/CW=4/0,作出选择即可.

【详解】解：如图，

,由折叠的性质可知NCAD=ABAD,

.,./O是N8/C的角平分线，故选：D.

【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键.

13.（2022•广西贺州）如图，在心△力8c中，ZC=90°,N8=56。，则//的度数为（）

A.34°B.44°C.124°D.134°

【答案】A

【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出的度数.

【详解】解：；RtM8C中,ZC=90\N8=56°,

N/=90°-N8=90°-56°=34°；

故选:A.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，并能

进行推理计算是解决问题的关键.

14.（2022•湖南永州）如图，在Rta/BC中，48c=90湖NC=60°,点。为边ZC的中点，BD=2,则5c

的长为（）

【答案】C

【分析】根据三角形内角和定理可得NZ=30。，由直角三角形斜边上的中线的性质得出/C=28Z）=4,再利用

含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】解：VZABC=90）,,ZC=60°,

：.ZA=30°,

•点。为边/C的中点，BD=2

：.AC=2BD=A,

BC=—AC=2,

2

故选：C.

【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形

的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.

15.（2022•湖南永州）下列多边形具有稳定性的是（）

【答案】D

【分析】利用三角形具有稳定性直接得出答案.

【详解】解：三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形都具有不稳定性，

故选D.

【点睛】本题考查三角形的特性，牢记三角形具有稳定性是解题的关键.

16.（2022•广西玉林）请你量一量如图ANBC中8c边上的高的长度，下列最接近的是（）

【答案】D

【分析】作出三角形的高，然后利用刻度尺量取即可.

【详解】解：如图所示，过点/作

用刻度尺直接量得40更接近2cm,故选：D.

【点睛】题目主要考查利用刻度尺量取三角形高的长度，作出三角形的高是解题关键.

17.（2022•黑龙江大庆）下列说法不氐鲫的是（）

A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形

B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形

C.有两个角互余的三角形是直角三角形

D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形

【答案】A

【分析】利用等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，对各选项逐项分

析可得出正确答案.

【详解】解：A、设Nl、N2为锐角，

因为：Zl+Z2+Z3=180",

所以：/3可以为锐角、直角、钝角，所以该三角形可以是锐角三角形，也可以是直角或钝角三角形，故A

选项不正确，符合题意；

B、如图，在△/8C中，BE±AC,CDLAB,且BE=CD.

'：BELAC,CDLAB,

:.NCDB=NBEC=90°,

在RtABCD与RmCBE中,

CD=BE

BC=CB

:.RMCD<Rt^CBE（HL）,

ANABC=NACB,

:.AB=AC,即△ZBC是等腰三角形.，

故B选项正确，不符合题意；

C、根据直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形，，

故C选项正确，不符合题意；

D、底和腰相等的等腰三角形是等边三角形，

故D选项正确，不符合题意；故选：A.

【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的判定，要求

学生在学习过程中掌握三角形的各种性质及推论，不断提升数学学习的能力.

18.（2022•广西梧州）如图，在中，AB=AC,是的角平分线，过点。分别作

DE~AB,DF'AC,垂足分别是点E,F,则下列结论第误的是（）

A

A.AADC=90°B.DE=DFC.AD=BCD.BD=CD

【答案】C

【分析】根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即

可判断求解.

【详解】解：•../8=/C,是的角平分线，

AD'BC,BD=CD,

AAADC=90\故选项A、D结论正确，不符合题意；

又是N历1C的角平分线，DE"AB,DF'AC,

，£）£=£>R，故选项B结论正确，不符合题意；

由已知条件推不出=8C,故选项C结论错误，符合题意：故选：C.

【点睛】本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可.

19.（2022•四川乐山）如图，等腰AABC的面积为2TLA8=AC,BC=2.作AE〃BC且8C.点P是线

段AB上一动点，连接PE,过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F,M是线段EF的中点.那么，当点P

从A点运动到8点时，点M的运动路径长为（）

BCF

A.石B.3C.26D.4

【答案】D

【分析】当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在N处，当点P与8重合时，如图，点M的运动轨

迹是线段MN.求出CF的长即可解决问题.

【详解】解：过点A作AD_L8C于点D,连接CE,

，：AB=AC,

：.BD=DC=-BC=1,

2

1

'：AE=-BC,

2

：.AE=DC=1,

'：AE//BC,

，四边形AECD是矩形，

.•.5AA8C=；BCxAD=；x2xAD=26

：.AD=273,则CE=AD=26,

当P与A重合时，点F与C重合，此时点M在CE的中点N处，

当点P与B重合时，如图，点M的运动轨迹是线段MM

VBC=2,CE=2石，

由勾股定理得BE=4,

,BCBE24

cosZEBC=-----=,即14n一=,

BEBF4BF

ABF=8,

•・•点A是C£的中点，点M是£F的中点,

：.MN=-BF=4,

2

...点M的运动路径长为4,

故选：D.

【点睛】本题考查点的轨迹、矩形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻

找点M的运动轨迹，学会利用起始位置和终止位置寻找轨迹，属于中考填空题中的压轴题.

20.（2022•四川凉山）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,11C.5,6,10D.5,5,10

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系定理（任意两边之和大于第三边）逐项判断即可得.

【详解】解：A、3+4=7<8,不能组成三角形，此项不符题意：

B、5+6=11,不能组成二角形，此项不符题意；

C、5+6=11>10,能组成三角形，此项符合题意;

D、5+5=10,不能组成三角形，此项不符题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键.

21.（2022•四川成都）如图，在和ADE尸中，点A,E,B,。在同一直线上，AC//DF,AC=DF,

只添加一个条件，能判定△Z8C丝△£>样的是（）

C.NA=NDEFD.ZABC=ZD

【答案】B

【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可.

【详解】A、BC=DE,不能判断△48C丝△OE尸，选项不符合题意；

B、AE=DB,利用SAS定理可以判断△NBC丝选项符合题意；

C、N4=NDEF,不能判断△/8C丝△OEF,选项不符合题意；

D、NABC=ND,不能判断△ZBC'gzXDE尸，选项不符合题意：

故选：B.

【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA.AA5判断三角形全等，找出三角形全等的条件

是解答本题的关键.

22.（2022•山东聊城）如图，“8C中，若N8/C=80。，ZACB=10°,根据图中尺规作图的痕迹推断，以

A.ZBAQ=40°B.DE=^BDC.AF=ACD.NE。尸=25°

【答案】D

【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即

可.

【详解】VZ571C=80°,ZACB=10°,：.ZB=130°-ZBAC-ZACB=30°,

A,由作图可知，平分/历1C,:.NBAP=NCAP=二NBAC=40。,

2

故选项A正确，不符合题意；

B.由作图可知，MQ是8C的垂直平分线，J/DEff=90。，

•：ZB=30°,：,DE=-BD,故选项B正确，不符合题意；

2

C.：N8=30°,NBAP=40°,/.ZAFC=70°,

VZC=70°,：.AF=AC,故选项C正确，不符合题意；

D.,/ZEFQ=ZAFC=70°,ZQEF=90°,/.ZEQF=20°；

故选项D错误，符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质

等知识，解题的关键是读懂图象信息.

23.（2022•海南）如图，直线〃?〃〃，ANBC是等边三角形，顶点3在直线〃上，直线机交于点£,交AC

于点尸，若21=140。，则N2的度数是（）

A

A.80°B.100°C.120°D.140°

【答案】B

【分析】根据等边三角形的性质可得N/=6O。，再由三角形外角的性质可得N/EF=N1-/Z=8O。，从而得到

ZBEF=1OO°,然后根据平行线的性质，即可求解.

【详解】解：是等边三角形，

ZA=60°,

VZ1=140",

ZAEF=Z1-ZA=8O°,

：.ZBEF=180°-ZAEF=100°,

'：m//n,AZ2=ZSEF=100°.故选：B

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的

性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键.

24.（2022•黑龙江齐齐哈尔）如图所示，直线a〃儿点/在直线a上，点8在直线6上，/C=8C,ZC=120",

Nl=43。，则N2的度数为（）

【答案】D

【分析】根据等腰三角形的性质可求出45c=30。，可得出4BC+N1=73。，再根据平行线的性质可得结

论.

【详解】解：：/C=8C,，A/18C是等腰三角形,

•/ZC=120°ZABC=；(180°-NC)=g(180°-120°)=30，

AABC+ZX=300+43°=73°

'：a//b,，/2=//8C+/l=73。故选：D

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，求出NZ3C+/1=73。是解答本题

的关键.

25.(2022•湖北恩施)已知直线4〃。，将含30。角的直角三角板按图所示摆放.若Nl=120。，则N2=()

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【分析】根据平行线的性质可得N3=N：L=120。，再由对顶角相等可得N4=/3=120。，然后根据三角形外角的

性质，即可求解.

【详解】解：如图，

根据题意得：/5=30。,

,/lt//12,/.Z3=Z1=12O°,.\Z4=Z3=120",

VZ2=Z4+Z5,；.N2=120°+30°=150°.故选：D

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，对顶

角相等，三角形外角的性质是解题的关键.

二.填空题

26.（2022•辽宁锦州）如图，在AZ8c中，48=/C,NZ5C=30。，点。为BC的中点，将A/8C绕点。逆

时针旋转得到VHB&,当点N的对应点H落在边48上时，点C'在A4的延长线上，连接BB',若力/'=1,

则ABB'D的面积是____________.

【分析】先证明A/'/D是等边三角形，再证明/O1BC,再利用直角三角形30。角对应的边是斜边的一般

分别求出4®和HO,再利用勾股定理求出。£）,从而求得△83D的面积.

【详解】解：如下图所示，设，夕与8。交于点O,连接43和N。，

oD

•.•点。为2c的中点，AB=AC,NABC=30。，

AADLBC,A'D1B'C,/£>是N8'/C'的角平分线，4D是NB4C,

/.ZB'A'C=120°.ABAC=120*

/.NBAD=NB'A'D=60

：A'D=AD,

^A'AD是等边三角形，

；♦A'A=AD=A'D=1,

：ZBA'B'=130"-NB'A'C'=60°,

/./BA'B'=ZLAAD,

.・・A'B'"AD,

/.AO1BC，

・・・ArO=-AD

2

正

•••8=卜卜2

,.・A'B'=2A'D=2

NA'BD=ZArDO=30°,

・•・BO=OD

：.OB'=2-^=^,BD=2OD=y/3,

二S,BBD=gxBDxBO=；xg=考.

【点睛】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明AWAD是等边三角形是解本题的关

键.

27.（2022•湖南郴州）如图.在A/8C中，NC=90。，AC=BC.以点/为圆心，以任意长为半径作弧交

AB,/C于O,E两点;分别以点O,E为圆心，以大于goE长为半径作弧，在N8/C内两弧相交于点P；

作射线AP交8c于点F,过点F作FG，,垂足用G.若4B=8cm,则ABFG的周长等于cm.

【答案】8

【分析】由角平分线的性质，得到CF=G/，然后求出AB尸G的周长即可.

【详解】解：根据题意，

在A48c中，/C=90°,AC=BC,

由角平分线的性质，得CF=GF,

A5FG的周长为：

BG+BF+FG=（AB-AG）+BC=AB-AC+BC=AB=8;

故答案为：8

【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质.

28.（2022•江苏常州）如图，在中，E是中线4。的中点.若ZUEC的面积是1,则的面积是

【答案】2

【分析】根据AJCE的面积=ADCE的面积，4480的面积的面积计算出各部分一角形的面积.

【详解】解：•.•/£>是8c边上的中线，E为4。的中点,

根据等底同高可知，A4CE的面积=AT>CE的面积=1,

A48。的面积=ZMCD的面积=2ZUEC的面积=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算.

29.（2022•黑龙江哈尔滨）在“8C中，/D为边5c上的高，NZ8C=30。，ACAD=20°,则44c是

.度.

［答案】40或80##80或40

【分析】根据题意，由于AZBC类型不确定，需分三种情况：高在三角形内部、高在三角形边上和高在三角

形外部讨论求解.

【详解】解：根据题意，分三种情况讨论：

①高在三角形内部，如图所示：

•••在A48D中，为边8c上的高，ZABC=30°,

NBAD=900-NABC=900-30°=60°,

vZCAD=20°,

ABAC=ABAD+NC4D=60°+20°=80°；

②高在三角形边上，如图所示:

C(£»

可知NC4D=0。，

vNCAD=20°,

故此种情况不存在，舍弃；

③高在三角形外部，如图所示:

••♦在A48O中，为边8c上的高，ZASC=30°,

ABAD=90°-NABC=90°-30°=60°,

•••NCAD=20°,

ABAC=ABAD-ACAD=60°-20°=40°:

综上所述：N8/C=80。或40。，

故答案为：40或80.

【点睛】本题考查求角度问题，在没有图形的情况下，必须考虑清楚各种不同的情况，根据题意分情况讨

论是解决问题的关键.

30.（2022•四川成都）如图，在A/8C中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于gbC的长

为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交边于点£.若/C=5,BE=4,ZS=45°,则

的长为.

A

【答案】7

【分析】连接EC,依据垂直平分线的性质得EB=EC.由已知易得ZBEC=NCE/=90。,在RtAAEC中运用

勾股定理求得AE,即可求得答案.

【详解】解：由已知作图方法可得，是线段2C的垂直平分线，

连接EC,如图，

所以8E=C£,

所以/ECB=/5=45。，

所以NBEC=NCEA=90°,

因为/C=5,BE=4,

所以CE=4,

在△/£■（?中，AE=-JAC2-EC2=Vs2-42=3>

所以N8=/£+8E=3+4=7,

因此N8的长为7.

故答案为：7.

【点睛】本题主要考查中垂线性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握中垂线上一

点到线段两端点距离相等，由勾股定理求得NE即可.

31.（2022•内蒙古通辽）在用“8C中，NC=90。，有一个锐角为60。，AB=6,若点尸在|［缱48上（不

与点A,B重合），且NPC8=30。，则IP的长为

【答案W或9或3

【分析】分/48C=60、//8。=30。两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可.

【详解】解：当N48C=60。时,则NA4c=30°,

BC=-AB=3,

2

•*-AC=dAB2-BC2=3人，

当点P在线段ZB上时，如图，

NPCB=30°,

；.NBPC=90。,HPPC-LAB,

，AP=AC-cosZBAC=必走=-;

22

当点尸在48的延长线上时，

•/NPCB=30°,ZPBC=NPCB+ZCPB,

：.ZCPB=30°,

：.ZCPB=ZPCB,

:.PB=BC=3,

:"P=AB+PB=9；

当NZ8C=30。时,则NA4c=60°,如图,

/.AC=—AB=3,

2

•//PCS=30°,

ZAPC=60°,

：.ZACP=60°,

：.NAPC=NPAC=NACP,

.♦.△/PC为等边三角形，

：.PA=AC=3.

9

综上所述，NP的长为2或9或3.

2

9

故答案为：£或9或3

【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形的

判定和性质等，分类求解是本题解题的关键.

32.（2022•湖南岳阳）如图，在A/8C中，AB=AC,4D工BC于点、D,若BC=6,则C£>=.

【答案】3

【分析】根据等腰三角形的性质可知。是8C的中点，即可求出的长.

【详解】解：：/8=/C,AD1BC,

：.CD=BD,

"：BC=6,

：.CD=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键.

33.（2022•江苏无锡）△/8C是边长为5的等边三角形，AOCE是边长为3的等边三角形，直线8。与直线

4E交于点F.如图，若点。在A/BC内，NDBC=20。,则°；现将绕点C旋转1周,

在这个旋转过程中，线段工厂长度的最小值是.

B

【答案】804-6##_6+4

【分析】利用SAS证明△BDCWZUEC,得到ND5C=NE4c=20。，据此可求得N8/尸的度数；利用全等一:角

形的性质可求得/4尸8=60。，推出/、B、C、尸四个点在同一个圆上，当8尸是圆C的切线时，即当CZ)_L8/

时，NF8c最大，则/尸8/最小，此时线段/尸长度有最小值，据此求解即可.

【详解】解：•••△NBC和△£>"都是等边三角形，

：.AC=BC,DC=EC,ZBAC=ZACB=ZDCE=6Q°,

：.ZDCB+ZACD=ZECA+ZACD=60°,

即NZ)CB=NEC4,

CD=CE

在ZCD和△/(?£•中，­/BCD=ZACE,

BC=AC

:.△ACEQ2BCD(SAS),

：.ZEAC=ZDBC,

"：ZDBC=20°,

：.ZEAC=20°,

：.ZBAF=ZBAC+ZEAC=80°；

设8尸与/C相交于点”，如图：

・.・MCE经ABCD

:・AE=BD,NEAONDBC,且NAHF=NBHC,

JZAFB=ZACB=60°f

B、C、尸四个点在同一个圆上，

・・,点。在以。为圆心，3为半径的圆上，当8F是圆。的切线时，即当CDJ_3/时，/FBC敢大,则/尸A4

最小，

・,•此时线段4b长度有最小值，

在RfABCD中,BC=5,CD=3,

・・・3Q=452-32=4,即心4，

，NFDE=180°-90°-60°=30°,

,/ZAFB=60°f

；・NFDE=NFED=30。,

:・FD;FE,

过点/作/GJ_OE于点G,

3

：.DG=GE=-,

2

・DG

•・FE=DF=/=5r

:.AF=AE-FE=4-6

故答案为：80：4-Ji.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，解答本

题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

34.（2022•湖南永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅"赵爽弦图"，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.

如图所示，"赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面

积是25,小正方形的面积是1,则ZE=.

【答案】3

【分析】根据题意得出力8=8C=C£>=£>4=5,£7三/G=GH=〃£=1,设AF=DE=CH=BG=x,结合图形得出4E=x-l,

利用勾股定理求解即可得出结果.

【详解】解：•••大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,

：.AB=BC=CD=DA=5,EF=FG=GH=HE=1,

根据题意，设AF=DE=CH=BG=x,

则/E=x-1,

在用A4ED中，

AE1+ED2=AD2，

即(X-1)2+/=52,

解得：产4(负值已经舍去)，

**.x-l=3,

故答案为：3.

【点睛】题目主要考查正方形的性质，勾股定理解三角形，一元二次方程的应用等，理解题意，综合运用

这些知识点是解题关键.

35.（2022•黑龙江齐齐哈尔）在△/8C中，AB=3娓,AC=6,Z8=45°,则8C=

【答案】36+3或3e-3

【分析】画出图形，分△/8C为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可.

【详解】解：情况一：当△/8C为锐角三角形时，如图1所示：

AA

过4点、作4H上BC于H,

VZ5=45°,

为等腰直角三角形，

.rAB3娓fT

..AAHl=BDHTJ=—j==—j=^=3v3,

V2V2

在中，由勾股定理可知：CH=-而=J36-27=3，

二BC=BH+CH=3y/3+3.

情况二：当△Z8C为钝角三角形时，如图2所示：

由情况-知：AH=BH=竿=^~=34,CH={AC?-AH?=j36-27=3.

/.BC=BH-CH=34-3.

故答案为：3石+3或36-3.

【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理的应用，本题的关键是能将△48C分成锐角三角形

或钝角三角形分类讨论.

36.（2022•贵州遵义）如图，在等腰直角三角形N8C中，NB4c=90。，点M,N分别为BC,ZC上的动

点，且/N=CM,AB=y/l.当/•+的值最小时，CM的长为.

【答案】2-V2

【分析】过点A作/£)〃8C,且证明可得4M=DN,当8,N,。三点共线时,

8N+ZM取得最小值，证明/8=身0,即可求解.

【详解】如图，过点A作4D〃8C,S.AD=AC,连接ZW,如图1所示，

Z.DAN=N4CM,

乂AN=CM,

.MNDaCMA,

AM=DN,

:.BN+AM=BN+DN2BD,

当8,N,。三点共线时，BN+/M取得最小值，

此时如图2所示，

•・•在等腰直角三角形44c中，NR4c=90。,AB=e

・•.BC=®AB=2,

•••AANDqACMA,

:"ADN=NCAM,

vAD=AC=AB,

:・/ADN=NABN,

•・・AD//BC,

NADN=NMBN,

:"ABN=NMBN,

设NM4C=a,

NBAM=NBAC-a=9(f-a,

:"ABM=NABN+ZNBM=2a=4S,

a=22.5°,

AAMB=180°-ABAM-AABM=180°-90°+6i-45°=67.5°,=90°-22.5°=67.5°,

.・.AB=BM=V2，

:.CM=BC-BM=2-五,

即BN+AM取得最小值为2-JL

故答案为：2-五.

【点睛】本题考查J'等腰直角三角的性质，勾股定理，两点之间线段最短，转化线段是解题的关键.

37.（2022・广西）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么N8力C的大小为

【答案】1350##135度

【分析】根据三角板及其摆放位置可得/比1。=180。=/诩。+/。/10/04。=45。，求解即可.

【详解】VZBAO=180°=ZBAC+ZOAC,Z.OAC=45°,

.,.ZR4C=180°-45°=135°,

故答案为:135°.

【点睛】本题考查了求一个角的补角，即两个角的和为180度时，这两个角互为补角，熟练掌握知识点是

解题的关键.

38.（2022•广西桂林）如图，点C是线段的中点，若NC=2cm,则48=cm.

I___________I________________I

ACB

【答案】4

【分析】根据中点的定义可得48=2/。=4£7«.

【详解】解：根据中点的定义可得：AB=2AC=2x2=4cm,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键.

39.(2022•贵州遵义)数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28。，求北纬28纬线的长度.

小组成员查阅相关资料，得到如下信息：

信息一：如图1,在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；

信息二：如图2,赤道半径0/约为64001米，弦BCHOA,以8c为直径的圆的周长就是北纬28。纬线的

长度；(参考数据:"*3,sin28°®0.47,cos28°«0.88,tan28°«0.53)

根据以上信息，北纬28。纬线的长度约为千米.

图1图2

【答案】33792

【分析】根据平行线的性质可知4=/8。/=28。，在R/ABOO中，利用锐角三角函数求出50,即为以8c

为直径的圆的半径，求出周长即可.

【详解】解：如图，过点。作垂足为。，

根据题意08=0/=6400,

BC//OA,

：.ZB=ZBOA=28°,

•在RMB。。中，ZS=28°,

，8。=08cos28°,

OD-BC,

二由垂径定理可知：BD=DC=-BC,

2

...以8c为直径的圆的周长为2万2x3*6400x0.88=33792,

故答案为:33792.

【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方

法.

三.解答题

40.（2022・广东）如图，已知4OC=NBOC,点尸在OC上，PDVOA,PE1OB,垂足分别为。，E.求

证：NOPD@OPE.

【答案】见解析

【分析】根据角平分线的性质得PD=PE,再用HL证明VOPDqVOPE.

（详解】证明：4OC=ZBOC,

...OC为的角平分线，

又：点P在OC上，PD1OA,PELOB,

：.PD=PE,NPDO=NPEO=90°,

XVPO=PO（公共边），

:.AOPD咨AOPE（HL）.

【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键.

41.（2022•广西）校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图

的四边形月8C。，其中力8=。。=2米，NO=BC=3米，NB=30。

Ap

⑴求证：△ABSLCDA；（2）求草坪造型的面积.

【答案】（1）见解析

（2）草二坪造型的面积为3m2

【分析】（1）根据〃SS£直接证明三角形全等即可；

（2）过点4作于点E,利用含30。的直角三角形的性质求出ZE的长度，继而求出△/BC的面积,

再由全等三角形面积相等得出S“5c=S.c"=；,即可求出草坪造型的面积.

（1）在△ZBC和ACDA中，

AB=CD

・.♦,AC=CA,

BC=AD

:.“ABC^CDA(SSS)；

⑵

B

过点4作为E_L8C于点E,

AAEB=90°,

••・ZB=30°,^^=2m,

/.AE--AB=Im,

2

BC=3m,

113)

，S=-BC・4E=-x3xl=—n?,

"8。222

•;"BC=ACDA,

32

•e-S4ABe~S^CDA~，

••.草坪造型的面积=S.ABC+S.CDA=3m2,

所以，草坪造型的面积为3m2.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30。的直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

42.(2022•贵州铜仁)如图，点。在上，AB1.BD,ED1.BD,AC工CE,AB=CD.求证：AABC经4CDE.

D

C

【答案】见解析

【分析】直接根据一线三垂直模型利用AAS证明△力8Cg△CDE即可.

【详解】解：；4BLBD,EDLBD,ACLCE,

；.NB=ND=N4CE=90°,

：.NBAC+NBCA=9V=/BCA+NDCE,

：.NBAC=NDCE,

在△/8C和△COE中，

ZB=ZD

-NBAC=NDCE,

AC=CE

：.AABC^ACDE(AAS).

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知一线三垂直模型是解题的关键.

43.(2022・四川宜宾)已知：如图，点AD、C、F在同一直线上，AB//DE,ZB=ZE