不等式的性质教案(启发式)

不式性教●教学目标(一)教学知识点不等式的性质定理4及其推论1、推论2、定理5及其证明的方法.(二)能力训练要求1.证明并掌握定理4及其推论1、推论2.2.会用反证法证明定理5，并熟练运用.3.进一步巩固不等式的性质，并能用它们作为不等式证明或推理的依据(三)德育渗透目标进一步巩固练掌握不等式的性质学生分析问题和解决问题的能力，开发创新思维，加强实践能力的培养，提高学生的辩证唯物主义思想●教学重点不等式的基本性质的运用用不等式的基本性质来推理判断和证明其他不等式.●教学难点不等式基本性质中的条件的运用及其对应用问题中字母的分类讨论●教学方法启发式教学法●教具准备投影片一张记作§6.1.3A不等式的基本性质(上一节课)：1.反对称性＞bb＜a；2.传递性＞，＞ca＞；3.可加性＞ba＋＞b＋；4.加法法则＞，＞da＋＞b＋.●教学过程Ⅰ.课题导入打出投影片§6.1.3A，使学生复习，巩固上一节课的内容.［师］请同学们回顾一下，我们上一节课学习了不等式的哪些基本性质［生上一节课我们学习了不等式性质中的三个定理和一个推论它们分别是：定理1如果＞，那么＜a；如果b＜，那么a＞.定理2如果＞，且＞，那么a＞.定理3如果＞，那么＋c＞＋c.推论如果a＞，且＞，那么a＋＞b＋.通过学生回答后，教师演示投影片6.1.3A，使学生对上一节所学内容有一个全面的概括，为本节课学习新的内容打下基础［师］请同学们思考下面问题：若５＞2，则５×3与2×3谁大呢?若５＞，则５×（－3）与2×（－3）又如何?［生］若５＞2，则５×3大于2×3；若５＞2，则５×（－3）小于2×（－3）.

［师］可见，一个不等式两边同时乘以一个不为零的数，数的符号不同，所得结果也就不同.由此，我们有下面的定理.Ⅱ.讲授新课定理4如果＞，且c＞，那么ac＞；如果a＞，且＜0，那么ac＜bc.［师我们观察此题虽然是不等式问题实际上是以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，并直接运用实数运算的符号法则，通过作差，比较acbc大小.请同学们试着完成定理的证明.［生］ac－＝（－）.∵a＞∴－＞0根据“同号相乘得正，异号相乘得负当c＞时－）＞0，即ac＞.当c＜时，(－）＜0，即ac＜.故如果a＞，且＞0，那么ac＞；如果＞，且＜0，那么ac＜bc.［师生共析此证明过程中的关键步骤是根“同号相乘得正异号相乘得负”来完成的.注意定理4对c讨论，因为c的符号不同，结论也不同，但是，在定理4中，，b可以是全体实数，也可以是式子，不要在强调c符号时，限制了a，的取值范.推论1如果＞＞0，且＞d＞，那么＞bd.［师］请同学们仿照定理3的推论证明定理4的推论1.［生］∵a＞＞0，＞0∴ac＞①又∵c＞＞0，＞0∴bc＞②由①②可知，ac＞bd.［师生共析很明显这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.由此，我们还可以得到：推论2如果＞＞0，那么a＞（∈N，且n＞）.定理5

如果a＞＞0，那么n（n∈N，且＞1）［师］请同学们回顾我们用“反证法”证明题的一般步骤是什么［生反证法”证题的一般步骤是：第一步：假设命题的结论不成立，而命题结论的反面成立；第二步根据已知条件结合所学知识推出与已知条件或已知的真命题)相矛盾的结论，从而断定假设是错误的.第三步：肯定原命题的结论正确［师］请同学们考虑＞”的反面是什么?“a≥”的反面呢?［生＞b”的反面是“≤b”“a≥”的反面是“＜”.［师］针对定理5中结论a的反面有两种情况：

b

或n

b请同学们完成定理的证明过程(当学生遇到困难时师作适当的指

cc７1cccc７1cc导).

［生］假n不大n，则有：由定理1和定理4的推论2可知：

b

或n.当

b

1时an

1n11nn又∵a＞＞0，∈N且n＞1n

1an

＞01(b)

n

1an)

n

即b＞当nb，显然有＝b.这些都同已知条件＞＞0相矛盾.故如果a＞＞0，那么n（∈N，且n＞）.［师生共析］同学们观察定理4的推论和定理5，把两者结合起来，很容易把这一性质推广到正有理指数幂的情形，即如果a＞＞0，S为正有理数，那么a＞b.［例4］(P)已知＞＞0，c＜，求证.a［师我们学习了不等式的性质要掌握不等式每条性质及证明每条性质的条件.理解不等式的性质，是不等式变形的依据分析：思路一：证明不等式问题，一般利用不等式的性质做为理论依据，通过推理论证求得结果.(引导学生运用不等式的性质证明例［生］∵a＞＞0∴ab＞在a＞的两边同时乘以正，得ab1即b又∵c＜，由定理4，得：cca故a＞＞0，c＜时，有.a思路二证明不等式问题常常转化为比较两实数的大小问题即利用作差cc法，结合已知条件，通过变形(通分、有理化、因式分解等)比较与的大小，ab就可得证.(请同学们自己完成证明过程

cc1cc1cc()［生］.abab∵a＞＞0，c＜∴ab＞，b－＜0，（－）＞0∴

c()c即0abcc故.aⅢ.课堂练习1.判断下列各命题的真假，并说明理由：(1)如果ac＜，那么＜；(2)如果ac＞bc2，那么＞.分析以不等式性质定理为理论依据注意不等式性质定理的应用条件与性质定理相违的为假，与定理相符的为真.答案(1)假.因c的正负不确定故不能两边同除以得与原不等式同向的不等式.(2)真.因为由ac2

＞bc

2

≠02

＞0，不等式两边同除以一个正数，与原不等式同向.2.回答下列问题：(1)如果a＞，＞，是否可以推出＞bd?举例说明；(2)如果a＞，＜，且≠0，d≠，是否可以推出？举例说明.a分析：以不等式性质作为理论依据，进行分析判.举反例时，只要举出一例即可否定命题的正确.答案：(1)不能确定.因＝５，b＝－3c＝2＝－６时满足a＞，c＞，而ac＝10，bd＝８有ac＜.(2)能确.a＝５b＝－６c＝1，＝2满足a＞b＜d而abc.ca3.求证：(1)如果a＞，ab＞0，那么；a(2)如果a＞＞0，＜＜0，那么ac＜；(3)如果a＞，那么－2＜c－b.分析：以不等式性质为依据，也可从不等式的意义出发进行推理答案：(1)∵a＞，ab＞11两边同时乘以正数，得ab1即.a(本题实际上即同号两数取倒数的大小性质，以后可直接引用(2)∵a＞＞0，＜＜0∴当c＜，a＞时，有ac＜ad①当a＞，d＜时，有＜bd②

11综合①、②两式可得：ac＜.(3)∵a＞∴－2a＜－2b∴c－a＜－2.4.如果30＜x＜42，６＜＜24，求x＋，－2y的取值范围.分析此题涉及两个不等式之间的加减乘除一定要注意同向作加乘，异向作减、除，乘除还有不等式左右两端都为正数的条件答案：∵30＜＜42，1６＜＜24∴－4８＜－2＜－32，y∴30＋1６＜x＋＜42＋24即4６＜x＋＜６６；∴30－4８＜x－＜42－32即－1８＜x－＜10；304224165x21即.4y8［师生共析我们由于经常遇到不等式作减法作除法和取倒数的运算而教材中的不等式性质定理及推论又缺少这些运.因此，我们在实践过程中要充实这些内容，并在证明之后，当作性质来用，提高认识这些问题的速.如，在本题中，由30＜＜42，８＞2y＞32，利用异向不等式相减，直接可得1８＜x－2＜10.同样，由30＜x＜，24＞＞1６，作异向等式相除，直接可得x2121即y4y8Ⅳ.课时小结我们学习了不等式的性质定理及其若干条推论些性质可分为如下三种类型(1)反对称性(即定理1)(2)传递性(即定理2)(3)不等式的运算性，它包括不等式的加、减、乘、除、乘方、开方、取倒数等运算性.对于这些性质我们首先要理解并记住每条性质的条件，尤其要注意字母的符号及不等式的方向，其次要搞清楚这些性质的主要用途以及其证明的基本方法而为后继课程的学习打下良好的基础.Ⅴ.课后作业(一)课本P习题6.14.（3８(二)1.预习内容：课本