【备课参考】北师大版八年级数学上册6-4 数据的离散程度 教学设计

4数据的离散程度

教学目标

【知识与技能】

1.理解方差与标准差的概念与作用.

2.灵活运用方差与标准差来处理数据.

3.能用计算器求数据的方差和标准差.

【过程与方法】

经历探索用方差与标准差来分析数据、做出决策的过程,培养学生运用数学知识解决实际问题的意识和“让数字来说话”的习惯.

【情感、态度与价值观】

1.通过生活学习数学,了解数学与生活的紧密联系.

2.通过生活学习数学,并通过用数学知识解决生活中的问题来激发学生的学习热情.教学重难点

【重点】

方差和标准差概念的理解.

【难点】

应用方差和标准差分析数据,并做出决策.

教学过程

一、温故知新

创设问题情境(一):

两台机床都生产直径为(20±0.2)mm的零件,为了检验产品质量,从产品中各抽取10个进

1

2

10

行测量,结果如下:

机床A

机床B

20.0

20.0

19.8

20.0

20.1

19.9

20.2

20.0

19.9

19.9

20.0

20.2

20.2

20.0

19.8

20.1

20.2

20.1

19.8

19.8

师:你认为两台机床哪台加工零件的精度更稳定?

为了判断两台机床加工零件的精度的稳定情况,我们先用上节课学习的特征量来判断,中位数都是20.0mm,平均数还是20.0mm.

如何反映这两组数据的区别呢?

二、讲授新课

探究解决问题(一):

让学生在学习小组中讨论、解释、交流自己的发现,教师可以参与到某个或几个小组中倾听,在小组学习中讨论、交流自己的发现,直观上机床B比机床A的精度好.

创设问题情境(二):

思考:你能获取什么信息呢?除了极差之外,还有什么数量可以刻画一组数据的离散程度呢?

师:通过计算,依据最后的结果可以比较两组数据围绕其平均值的波动情况吗?

探究解决问题(二):

机床A的数据:

x

i

20.0

19.8

20.1

20.2

19.9

20.0

20.2

19.8

20.2

19.8

x-

i

0

-0.2

0.1

0.2

-0.1

0

0.2

-0.2

0.2

-0.2

机床A每个数据与平均数的偏差和为:

(x-)+(x-)+…+(x+)

=0+(-0.2)+0.1+0.2+(-0.1)+0+0.2+(-0.2)+0.2+(-0.2)=0

1

2

10

12

10

1

机床B的数据:

x

i

20.0

20.0

19.9

20.0

19.9

20.2

20.0

20.1

20.1

19.8

x-

i

0

0

-0.1

0

-0.1

0.2

0

0.1

0.1

-0.2

(x

机床B每个数据与平均数的偏差和为:-)+(x-)+…+(x-)

=0+0+(-0.1)+0+(-0.1)+0.2+0+0.1+0.1+(-0.2)

=0

这样计算,我们还是无法区分两台机床的精度.

如何求各个偏差的绝对值|x-|的平均数呢?

i

机床A数据的平均偏差:

=0.14,

机床B数据的平均偏差:

=0.08,

显然,机床B加工零件的精度比较好.

一般地,平均偏差=

(n是数据的个数),可以用来表示一组数据的离散程度,但用这个公式计算绝对值,为避免涉及绝对值,统计学中常用的方法是以偏差的平方即(xi-)2代替|xi-|,于是有下面的方法:

设一组数据是x

,x,…,x,它们的平均数是,我们用s

2=[(x

-)2+(x

2-)2+…+(xn-)2]来衡量这

组数据的离散程度,并把它叫做这组数据的方差.

下面来计算机床A、B的方差:

=0.026(mm2),

=0.012(mm2),

由于0.026>0.012,可知机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要

大.

一组数据的方差越大,说明这组数据的离散程度越大,当两组数据的平均数相同或差异比较小时,可用方差来比较这两组数据的离散程度.

求方差的步骤为:

(1)求平均数.

(2)求偏差.

(3)求偏差的平方和.

(4)求平方和的平均数.

由于方差是各个数据偏差的平方的平均数,它的单位和原数据的单位不一致,因此,在有些情况下,需要用方差的算术平方根,即标准差来衡量数据的离散程度.

s=

本课尽量鼓励所有的学生参与,尤其是平时数学基础比较薄弱的学生,让他们发现数学也可以如此与生活接近,提高他们的学习兴趣,这部分内容不难理解,计算比较麻烦.

三、例题讲解

求一组数据的标准差和方差,用计算器更方便.

【例1】用计算器求下列数据的标准差和方差(结果保留2位小数):

138,156,131,141,128,139,135,130

【答案】按键方法:

(1)设定计算模式,在打开计算器后,先按“2ndf”,“MODE”1将其设定至“Stat”状态.

(2)按键“2ndf”,“DEL”清除计算器原先在“Stat”模式下所储存的数据.

(3)输入数据,依次按以下各按键:

138“DATA”156“DATA”131“DATA”141“DATA”128“DATA”139“DATA”135“DATA”13

0“DATA”

(4)求标准差和方差,在计算器的键盘上,用ax表示一组数据的标准差.按键“RCL”、“ax”显示标准差:

ax=8.302860953

而键盘上无表示方差的按键,所以要利用标准差与方差的关系来求方差.

按键“x

2”、“=”显示方差:

ANS2=68.9375

由上可得,S≈8.30,S2≈69.94.

【例2】为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗,测得苗高如下(单位:cm):甲:12,13,14,15,10,16,13,11,15,11;

乙:11,16,17,14,13,19,6,8,10,16.

哪种小麦长得比较整齐?

【答案】=×(12+13+14+15+10+16+13+11+15+11)=13(cm);

=×(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)=13(cm).

=×

[(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2+(10-13)2+(16-13)2+(13-13)2+(11-13)2+(15-13)2+(11-13)2]=3.6(cm2);

=×

[(11-13)2+(16-13)2+(17-13)2+(14-13)2+(13-13)2+(19-13)2+(6-13)2+(8-13)2+(16-13)2]=15.8(cm2).

因为<,所以甲种小麦长得比较整齐.

【例3】张强和金佳两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比

1

2

较稳定?为什么?

测试成绩

张强

金佳

1

13

10

2

14

13

3

13

16

4

12

14

5

13

12

【答案】x

=(13+14+13+12+13)÷5=13,

x

=(10+13+16+14+12)