平面一般力系的平衡2

5.3平面一般力系的平衡5.3平面一般力系的平衡一、平面一般力系的平衡条件和平衡方程现在讨论静力学中最重要的情形，即平面一般力系的主矢和主矩都等于零的情形。显然，由FR/=0可知，作用于简化中心的力F1

、

F2

、…、Fn相互平衡。又由MO=0可知，附加力偶也相互平衡。所以，FR/=0，MO=0，说明了在这样的平面一般力系作用下，刚体是处于平衡的，这就是刚体平衡的充分条件。反过来，如果已知刚体平衡，则作用力应当满足上式的两个条件。事实上，假如FR/

和MO其中有一个不等于零，则平面任意力系就可以简化为合力或合力偶，于是刚体就不能保持平衡。所以式（5-8）又是平衡的必要条件。5.3平面一般力系的平衡于是，平面一般力系平衡的必要和充分条件是：力系的主矢和力系对于平面内任一点的主矩都等于零。根据式（5-5）和（5-7）所以，上面的平衡条件可用下列解析式表示：5.3平面一般力系的平衡由此可得平面一般力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在两个任意选取的坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零，各力对于平面内任意一点之矩的代数和也等于零。通常将式（5—9）称为平面一般力系平衡方程的一般式。应当指出，上式方程个数为三个，所以研究一个平面一般力系的平衡问题，一次只能求出三个未知数。下面举例说明求解平面一般力系平衡问题的方法和主要步骤。5.3平面一般力系的平衡例5—2

起重机的水平梁AB，A端以铰链固定，B端用拉杆BC拉住，如图5-7所示。梁重F1=6kN，荷载重F2=15kN。梁的尺寸如图所示。试求拉杆的拉力和铰链A的约束反力。5.3平面一般力系的平衡解：（1）选取梁AB与重物与一起为研究对象，画受力图。梁除了受已知力F1和F2作用外，还受未知力拉杆拉力FT和铰链的约束反力FRA作用。因杆BC为二力杆，故拉力FT沿连线BC；约束反力FRA的方向未知，故先分解为两个分力FAx和FAy。这些力的作用线可近似认为分布在同一平面内。如图所示。5.3平面一般力系的平衡(3)列平衡方程。由于梁处于平衡，因此这些力必然满足平面一般力系的平衡方程。取坐标轴如图所示，应用平面一般力系的平衡方程求解。5.3平面一般力系的平衡根据力系在水平方向的平衡5.3平面一般力系的平衡根据力系在竖直方向的平衡5.3平面一般力系的平衡【注】5.3平面一般力系的平衡例5—3

起重机重F1=10kN，可绕铅直轴转动；起重机的挂钩上挂一重为F2=40kN的重物，如图5—8所示。起重机的重心C到转动轴的距离为1.5m，其它尺寸如图所示。求在止推轴承A和轴承B处的反作用力。5.3平面一般力系的平衡解：以起重机为研究对象。在止推轴承A中只有两个反力：水平反力FAx和铅垂反力FAy；在轴承B中只有一个与转动轴垂直的反力FB，其方向暂设为向右。取坐标系如图所示，应用平面一般力系的平衡方程求解。5.3平面一般力系的平衡研究竖直方向的平衡5.3平面一般力系的平衡再根据力矩平衡条件：5.3平面一般力系的平衡研究水平方向的平衡：5.3平面一般力系的平衡例5—4

图5—9所示的水平横梁，在A端用铰链固定，在B端为一滚动支座。梁的长为4a，梁重G，重心在梁的中点C。在梁的AC段上受均布荷载q作用，在梁的BC段上受力偶M作用，力偶矩M=Ga。试求和处的支座反力。5.3平面一般力系的平衡解：选梁AB为研究对象。它所受的主动力有：均布荷载q，重力G和矩为M的力偶。它所受的约束反力有：铰链A的约束反力，通过点A，但方向不定，故用两个分力FAx和FAy代替；滚动支座B处的约束反力FB，先设为铅直向上。取坐标系如图所示，列出平衡方程求解。5.3平面一般力系的平衡研究梁在水平方向的平衡：在许多情况下，梁的水平反力都等于05.3平面一般力系的平衡研究梁的力矩平衡条件：5.3平面一般力系的平衡再研究梁在竖直方向的平衡：5.3平面一般力系的平衡从上述例题可见，选取适当的坐标轴和力矩中心，可以减少每个平衡方程中的未知量的数目。在平面一般力系情形下，矩心应取在两未知力的交点上，而坐标轴（投影轴）应当与尽可能多的未知力相垂直。在例5—4中，若以方程∑MB(F)=0来取代方程∑Fy=0，可以不用求解FBy而直接求得FAy值。因此在计算某些问题时，采用力矩方程往往比投影方程简便。下面介绍平面一般力系平衡方程的其它两种形式。5.3平面一般力系的平衡※三个平衡方程中有一个投影方程和两个力矩方程的形式，为平衡方程的二矩式其中A、B两点的连线不能与x轴垂直。5.3平面一般力系的平衡为什么上述形式的平衡方程也能满足力系平衡的必要和充分条件呢？这是因为，如果力系对点A的主矩等于零∑MA=O，则这个力系不可能简化为一个力偶；但可能有两种情形：这个力系或者是简化为经过点A的一个力，或者平衡。如果力系对另一点B的主矩也同时为零∑MB=O，则这个力系或有一合力沿A、B两点的连线，或者平衡（图5—10）。如果再加上∑Fx=0，那么力系如果有合力，则此合力必与x轴垂直。因此上式的附加条件（即连线AB不能与x轴垂直）完全排除了力系简化为一个合力的可能性，故所研究的力系必为平衡力系。5.3平面一般力系的平衡※同理，也可写出三个力矩的平衡方程的形式，即为三矩式：其中A、B、C三点不能共线。为什么必须有这个附加条件，读者可自行证明。5.3平面一般力系的平衡上述三组平衡方程都可用来解决平面一般力系平衡问题。而究竟选取用哪一组方程，应根据具体情况确定。但是，对于受平面一般力系作用的单个刚体的平衡问题，只可以写出三个独立的平衡方程，求解三个未知量。任何第四个方程只是前三个方程的线性组合，因而不是独立的。然而我们可以利用这个方程来校核计算的结果。5.3平面一般力系的平衡二、平面平行力系的平衡方程平面平行力系是平面一般力系的一种特殊情形。如图4—11所示，设物体受平面平行力系F1

、

F2

、…、Fn的作用。如