数值分析第三章数据拟合

数值分析

NumericalAnalysis第三章数据拟合方法郑州大学研究生课程（2013-2014学年学期）

ISCM2007,BeijingChina1数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第1页!第三章数据拟合方法

§3.1问题提出§3.2最小二乘法的基本概念§3.3线性拟合方法§3.4非线性曲线的数据拟合

ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第2页!§3.1问题提出离散数据点插值：插值函数精确通过每一个数据点。

ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第3页!两类实际情况:★离散数据点提出来自试验，具有测量误差，要求插值函数通过所有数据点反而会保留测量误差的影响。★

某些情况下需要找出反映变量变化关系的经验函数，而非精确通过关键点的外形控制函数。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第4页!已知一组数据(xi,yi),y=f(xi)，i=1,2,…,m。f未知。构造插值函数φ(x)来逼近f(x),则有

φ(xi)=f(xi)=yi,i=1,2,…,m或记Q=(φ(x1),φ(x2),…,φ(xm)),Y=(y1,y2,…,ym),则有

Q=Y.

如果数据不能同时满足某个特定函数，而要求所求的逼近函数“最优地”靠近数据点，即向量Q与Y

的误差或距离最小。按Q与Y的误差最小原则作为最优标准所构造出的函数，我们称为拟合函数。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第5页!§3.2最小二乘法的基本概念

构造拟合曲线的两个问题：Q:从哪一类函数族里面选择拟合曲线的形式？A:根据问题的实际背景，选择逼近f(x)的函数族。

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Q：如何确定参数a1,a2,…,an以确定一条拟合曲线呢？A:按照在数据点处均方误差最小的原则。这种用求解误差函数最小值问题来确定拟合参数的方法称为数据拟合的最小二乘法§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第7页!

@最小二乘法归结为求n个未知数的线性代数方程组。§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第8页!引进矩阵和向量记号

§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第9页!★以上正规方程组是否存在唯一解?★正规方程组的解是最小二乘问题的驻点，此驻点是否就是最小二乘问题的解呢？§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第10页!定理3.2.2§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第11页!2-范数平方残差:rk=(a+bxk)–yk(k=1,2,···,m)§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第12页!§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第13页!超定方程组:

AX=正规方程组:

ATAX=AT

拟合曲线的法方程(正规方程组)。解之得a，b。代入(x)=a+bx,即得所求的拟合曲线。§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第14页!5a+15b=31.515a+55b=108a=2.25,b=1.35ATAX=AT§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第15页!例3.3.2

求数据的二次拟合函数P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)

44.5689

解:将数据点代入,得§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第16页!a0=3,a1=0.7071,a2=0.1071§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第17页!§3.3线性数据拟合方法x0=0:0.1:1;y0=(x0.^2-3*x0+5).*exp(-5*x0).*sin(x0);p3=polyfit(x0,y0,3);vpa(poly2sym(p3),10)x=0:0.01:1;ya=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x);y1=polyval(p3,x);subplot(2,1,1),plot(x,y1,x,ya,x0,y0,'o'),legend('三次拟合曲线','原函数曲线','样本点')p4=polyfit(x0,y0,4);y4=polyval(p4,x);p5=polyfit(x0,y0,5);y5=polyval(p5,x);p8=polyfit(x0,y0,8);y8=polyval(p8,x);subplot(2,1,2),plot(x,y4,'x',x,y5,'-',x,y8,':',x,ya,'-')legend('四次拟合曲线','五次拟合曲线','八次拟合曲线','原函数曲线')vpa(poly2sym(p8),5)ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第18页!§3.4非线性曲线的数据拟合问题提出：离散点图呈非线性。ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第19页!例3.4.1用给数据求经验公式：y=aebxx12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解线性化。对经验公式取自然对数

lny=lna+bx

令

u=lny，b0=lna，u=b0+bx

代入数据得矛盾方程组§3.4非线性曲线的数据拟合ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第20页!拟合曲线的均方误差为：拟合曲线的图形为§3.4非线性曲线的数据拟合ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第21页!

f=inline('a(1)*exp(-a(2)*x)+a(3)*exp(-a(4)*x).*sin(a(5)*x)','a','x')x=0:0.1:10;y=0.12*exp(-0.213*x)+0.54*exp(-0.17*x).*sin(1.23*x);[xx,res]=lsqcurvefit(f,[1,1,1,1,1,],x,y);xx',resx1=0:0.01:10;y1=f(xx,x1);plot(x1,y1,x,y,'o')legend('拟合曲线','样本点')§3.4非线性曲线的数据拟合ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第22页!

例3.1.1ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第23页!定义Q与Y

之间的距离：其中，R称为均方误差。

最小二乘法：按均方误差达到极小构造拟合曲线的方法。§3.1问题提出ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第24页!数据拟合的线性模型

(x)=a11(x)

+······+an

n(x)例如:[1(x)

,···,

n(x)]=[1,x,···,xn-1][1(x)

,···,

n(x)]=[1,cosx,···,cos(n-1)x]§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第25页!

§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第26页!

最小二乘法的正规方程组（其解为驻点）§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第27页!

§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第28页!

可以证明,此解是最小二乘问题的解.§3.2最小二乘法的基本概念ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第29页!

§3.3线性数据拟合方法已知数据表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym求拟合函数:(x)=a+bxa+bx1=y1a+bx2=y2··················a+bxm=ym超定方程组ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第30页!求a,b使S(a,b)=min§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第31页!方程组系数矩阵方程组右端项§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第32页!例3.3.1

已知实验数据如下,求线性拟合函数。

解:设拟合曲线方程为

(x)=a+bx

x 1 2 3 45f(x)4 4.5 6 8 9§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第33页!||r||2=0.7583残差向量:(1)－4=－0.40(2)－4.5=0.45(3)－6=0.30(4)－8=－0.35(5)－9=0(x)=2.25+1.35x§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第34页!a0+a1+a2=4a0+2a1+4a2=4.5··················a0+5a1+25a2=9§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合共41页，您现在浏览的是第35页!得

P(x)=3+0.7071x+0.1071x2二次拟合误差:||r||2=0.6437比较线性拟合误差:

||r||2=0.7583§3.3线性数据拟合方法ISCM2007,BeijingChina/41郑州大学研究生2013-2014学年课程数值分析NumericalAnalysis数值分析第三章数据拟合