带电粒子在磁场中的多解问题

关于带电粒子在磁场中的多解问题第1页，共41页，2023年，2月20日，星期三带电粒子在磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的问题一般有多解。形成多解的原因有：磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。2.磁场方向不确定受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。1.带电粒子电性不确定第2页，共41页，2023年，2月20日，星期三3.临界状态不惟一带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。4.运动的重复性

带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。第3页，共41页，2023年，2月20日，星期三1.带电粒子电性不确定形成多解

例1.如图所示，第一象限范围内有垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m，电量大小为q的带电粒子在xOy平面里经原点O射入磁场中，初速度v0与x轴夹角θ=600

，试分析计算：（1）带电粒子从何处离开磁场？穿越磁场时运动方向发生的偏转角多大？（2）带电粒子在磁场中运动时间多长？受洛仑兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电。当具有相同初速度时，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，导致形成双解。600v0xyO第4页，共41页，2023年，2月20日，星期三600v0xyO（1）若粒子带负电若粒子带正电，

（2）若粒子带负电，它从O到A所用的时间为若粒子带正电，它从O到B所用的时间为第5页，共41页，2023年，2月20日，星期三2.磁场方向不确定形成多解

磁感应强度是矢量。如果题设只给出磁感应强度的大小，而未指出其方向，此时要考虑磁感应强度方向不确定而形成多解。例2.一质量为m，电量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）A.B.C.D.第6页，共41页，2023年，2月20日，星期三第7页，共41页，2023年，2月20日，星期三第8页，共41页，2023年，2月20日，星期三第9页，共41页，2023年，2月20日，星期三第10页，共41页，2023年，2月20日，星期三第11页，共41页，2023年，2月20日，星期三分析：

依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛仑兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可知得此种情况下,负电荷运动的角速度为当负电荷所受的洛仑兹力与电场力方向相反时，得此种情况下,负电荷运动的角速度为应选A、C。FffF第12页，共41页，2023年，2月20日，星期三3.临界状态不惟一形成多解

例3.如图甲所示，A、B为一对平行板，板长为l，两板距离为d，板间区域内充满着匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，一个质量为m，带电量为+q的带电粒子以初速v0，从A、B两板的中间，沿垂直于磁感线的方向射入磁场。求v0在什么范围内，粒子能从磁场内射出？带电粒子在洛仑兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此穿越磁场的轨迹可能有多种情况。mv0

ABdl+q甲第13页，共41页，2023年，2月20日，星期三由于所以分析：当粒子从左边射出时,若运动轨迹半径最大,则其圆心为图中O1点,半径r1=d/4。因此粒子从左边射出必须满足r≤r1。v0

d/2O1乙lr1r2-d/2r2v0

d/2O2乙l第14页，共41页，2023年，2月20日，星期三练1一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0，方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小；（2）若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围以及粒子在磁场中运动时间t的范围。abcd300v0BO第15页，共41页，2023年，2月20日，星期三解：（1）粒子带负电,由图可知：abcd300v0BOR=L/2据则（2）当v0最大时：600abcd300v0BO得R1=L则当v0最小时：

得R2=L/3则第16页，共41页，2023年，2月20日，星期三带电粒子从ab边射出磁场，当速度为时，运动时间最短,600abcd300v0BO速度为vmin时运动时间最长,∴粒子运动时间t的范围

第17页，共41页，2023年，2月20日，星期三练2．如图所示，现有一质量为m、电量为e的电子从y轴上的P（0，a）点以初速度v0平行于x轴射出，为了使电子能够经过x轴上的Q（b，0）点，可在y轴右侧加一垂直于xOy平面向里、宽度为L的匀强磁场，磁感应强度大小为B，该磁场左、右边界与y轴平行,上、下足够宽（图中未画出）.已知，

L＜b。试求磁场的左边界距坐标原点的可能距离．（结果可用反三角函数表示）xy0Qv0P解：设电子在磁场中作圆周运动的轨道半径为r,则①解得②第18页，共41页，2023年，2月20日，星期三⑴当r>L时，磁场区域及电子运动轨迹如图1所示，θθxy0Qv0P图1由几何关系有③则磁场左边界距坐标原点的距离为④（其中）⑤第19页，共41页，2023年，2月20日，星期三②当r<L时，磁场区域及电子运动轨迹如图2所示，xy0Qv0P图2由几何关系得磁场左边界距坐标原点的距离为解得⑦第20页，共41页，2023年，2月20日，星期三4.运动的重复性形成多解

带电粒子在部分是磁场，部分是电场的空间运动时，运动往往具有重复性，因而形成多解。例题1第21页，共41页，2023年，2月20日，星期三第22页，共41页，2023年，2月20日，星期三第23页，共41页，2023年，2月20日，星期三第24页，共41页，2023年，2月20日，星期三例题2第25页，共41页，2023年，2月20日，星期三第26页，共41页，2023年，2月20日，星期三第27页，共41页，2023年，2月20日，星期三【变式题1】如图6­3­2所示，在空间中有一坐标系Oxy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的边界，区域Ⅰ中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域Ⅱ中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向内，边界上的P点坐标为(4L,3L)．一质量为m电荷量为q的带正粒子从P点平行于y轴负方向射入区域Ⅰ，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O(忽略粒子重力)，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8.求：图6­3­2(1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少？(2)粒子运动的周期?(3)粒子的速度大小可能是多少？第28页，共41页，2023年，2月20日，星期三【解析】(1)设粒子的入射速度为v，用R1，R2，T1，T2分别表示粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中运动的轨道半径和周期．则qvB=m，qv2B=mT1==

，T2==

粒子先在磁场Ⅰ区中做顺时针的圆周运动，后在磁场Ⅱ区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短.第29页，共41页，2023年，2月20日，星期三粒子运动轨迹如图所示．tana==0.75，得а=37°

а

+β=90°粒子在磁场Ⅰ区和Ⅱ区中的运动时间分别为

t1=T1t2=T2粒子从P点运动到O点的时间至少为t=t1+t2由以上各式解得t=(2)粒子运动的周期T=第30页，共41页，2023年，2月20日，星期三(3)粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场Ⅰ区中运动，后在磁场Ⅱ区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O.这样粒子经过n个周期性的运动直到过O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为x===(n=1,2,3…)粒子每次在磁场Ⅰ区中运动的位移为x1=x=x由图中几何关系可知：=cosa由以上各式解得粒子的速度大小为v=(n=1,2,3…)第31页，共41页，2023年，2月20日，星期三【变式题2】如图6­4­2所示，直线MN下方无磁场，上方空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为R的半圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为B.现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿半径方向向左侧射出，最终打到Q点，不计微粒的重力．求：(1)微粒在磁场中运动的周期．(2)从P点到Q点，微粒的运动速度大小及运动时间．第32页，共41页，2023年，2月20日，星期三【解析】(1)洛伦兹力提供向心力Bv0q=mT=，T=

(2)粒子的运动轨迹将磁场边界分成n等分(n=2,3,4……)如右图1、2、3所示：由几何知识可得：=，tan

=，Bv0q=m得v0=tan(n=2,3,4……)第33页，共41页，2023年，2月20日，星期三当n为偶数时，由对称性可得t=T=(n=2,4,6……)；当n为奇数时，t为周期的整数倍加上第一段的运动时间，即t=T+T=(n=3,5,7……)第34页，共41页，2023年，2月20日，星期三【变式题3】如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小都为B。折线的顶角∠A＝90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L。现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力。求：（1）若P、Q间外加一与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为v0射出的微粒沿PQ直线运动到Q点，则场强为多大？（2）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v0应满足什么条件？（3）求第（2）中微粒从P点到达Q点所用的时间。QvPBBA第35页，共41页，2023年，2月20日，星期三QvPBBAn取偶数n取奇数⑴由电场力与洛伦兹力平衡得：qE=qv0B得：E=v0B（3分）⑵根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为或设圆弧的半径为R，则有2R2=x2，可得：n=1、2、3、……（第36页，共41页，202