高中数学论文《妙构函数巧用单调性解题举例》理

高中数学小随笔妙函巧单性题例关键词：妙构函数，巧用单调性，证题，求最值，求范围有些数学习题，所给的并不是函数，如果按常规来做，有一定的难度，而且过程复杂，这时分析所给题的特点，若能换个角构造一个函数，可能会起到事半功倍之功效，不仅能使学生感受到数学的美妙以及构造法的神奇且更能激发起学生探索的意识和创新欲望，突破思维的常规，使思路更简捷、明快。下面就妙构函数f()=ⅹ＋

(a>0)的形式，巧用f(х)在(

a

]上为减函数，[

a

,＋∞)为函数这一单调性在证、求最值、求范围等问题的应用，举例供大家参考。一、构造函数巧证题1例1.已知a∈R，求证a＋＋≥44a证明：设ⅹ=a＋则构造函数f(ⅹ)=＋∵a∈R∴＋

4

≥4

即ⅹ∈[4,∞)又∵f(在1,＋∞)上增函数。∴f(ⅹ)在4,＋∞）上仍为增函。∴当ⅹ=4时f(х)最小值∴х∈[4,＋时f(≥

即f(ⅹ)=4＋174

117=4447故a时a＋＋≥44例2.设a、为正数，求证a>

①成立的充要条件是：对于任意实数ⅹ>1恒有aⅹ＋

>b;②分析：只要证不等式②对任意的ⅹ>1恒成的充要条件是不等式①成立。高中数学小随笔证明：设f(ⅹ)=a

(ⅹ>1)，即构造了一个函数ⅹ)∵∴х-1>0

又a>0∴f(х)=aⅹ＋

=aх＋＋=a(ⅹ＋＋＋1≥2

a

a＋1=(

a

+1)

∴f(х)=(a+1)

∵对任意х>1有a+>b成的充要条件是fⅹ)>b∴

a

+1)>b

又∵∴

a

+1>

故①成立的充要条件是②由以上两例可知，利用不等式不便解决或者无法解决的问题，一般回到函数方法来解决，效果比较好。二、构造函数巧求最值例3.已知х≥0求

1

＋的小值解：设＋＝则构造函数f(t)=t+∵х∴t≥3即∈[3,∞)∵f(t)在1,＋上仍为增函数∴f(t)在3,＋上为增函数

1t∴当时f(t)=

103故х=0时

＋

1

＋的最小值是

103例4.在△中D是BC边一，AD⊥BC，垂足为，且＝BC＝a，求

bcb

的最大高中数学小随笔值。解：设

＝ⅹ，则构造函数f(ⅹ)=ⅹ

当D与C重时，即AC与AD重合∴a=b∴C=

∴

b2即ⅹ＝c22当D与B重时，即AB与AD重合∴a=c∴b=

∴

即ⅹ＝

2由题意可知

22

≤ⅹ≤

∵f(ⅹ)＝ⅹ＋在0,1］上为函数，在，＋∞）为增函数∴当ⅹ∈［

22

,1

］时，f(ⅹ)为减函数只有ⅹ＝

22

时，f(=

22＋＝22当ⅹ∈［1，

2

］时，f(ⅹ)为增函数只有ⅹ＝时f(=

＋

2＝22∴

bcc

的最大值为

32通过上两例，可以明显看出，如果直接应用均值不等式求最值时，则不满足条件。如若注意到所求的是ⅹ＋（a>0）形式的最值，从而妙构函数f(ⅹ)＝ⅹ＋（）而联想函数y=x+

ax

(

的单调性就以是问题迎刃而。三、构造函数巧求范围例5.已知f(ⅹ)=log(ⅹ+1),点P是数y=f(ⅹ)象上的任意点，点关原点的对称点Q的轨是函数y=g(ⅹ)当a>1且ⅹ[0,1时总有2f(ⅹ)恒立。高中数学小随笔解：由题意可知，函数y=f(ⅹ)图象与函数的象关于原点对称∵y=f(ⅹ)关于原点对称的函数y=f(－ⅹ)∴y=－－＝－(1－即g(ⅹ)＝－log(1－ⅹ)＋由2f(ⅹ)+g(ⅹ)得m≤log

－

对a>1且∈[0,1)恒成立设F（ⅹ）＝

则mⅹ)（－∵－－－－－设ⅹ,构造函数H(t)=t+

t

-4∵ⅹ∈［0,10≤∴0<1ⅹ≤即∈(0,1]又∵H（）在（0,2］为减函，又t∈(0,1]∴当t=1时H(t)=1∵a>1∴F(ⅹ)=0,即m≤故m的取值范围是m≤此例的解法体现了等价转化的数学思想，两次转化最终化为函数f(ⅹ)ⅹ＋的形式，再利用它的单调性就实现了化难为易从而解决问题的目的。

（a>0）综上所述，优美、自然的构造法常常