2023年新高考数学选填压轴题汇编(五)含答案解析

2023年新高考地区数学选填压轴题汇编(五)

一、单选题

1.(2022·广东汕头·高三阶段练习)直线l:y=kx+b是曲线fx=lnx+1和曲线gx=lne3x的公切线，

则b=(

)

e2e3

A.lnB.lnC.3D.ln3e2

33

【答案】A

【解析】设直线l与曲线fx=lnx+1相切于点Ax,y，直线l与曲线gx=lne3x相切于点

11

Bx,y，

22

111-k

∵fx=lnx+1，则fx=，由fx==k，可得x=，

x+11x+11k

1

1-k

则y=fx=lnx+1=-lnk，即点A,-lnk，

111k

1-k

+b，可得b=k-lnk-1，①

将点A的坐标代入直线l的方程可得-lnk=k⋅k

111

∵gx=lne3x=3+lnx，则gx=，由gx==k，可得x=，

x2x2k

2

1

y=gx=3-lnk，即点B,3-lnk，

22k

1

+b=b+1，∴b=2-lnk，②

将点B的坐标代入直线l的方程可得3-lnk=k⋅k

e2

联立①②可得k-lnk-1=2-lnk，故k=3，b=2-ln3=ln3.

故选：A.

2sin2πx-2πa-3,x<a

2.(2022·广东汕头·高三阶段练习)已知函数fx=a∈R，若fx在区

-x2+2a+1x-a2+6,x≥a

间0,+∞内恰好有7个零点，则a的取值范围是(

)

5817581711

A.,∪,3B.,∪,

2362363

5171181711

C.,∪3,D.,∪3,

263363

【答案】D

【解析】当a≤0时，对任意x>0，f(x)=-x2+2(a+1)x-(a2+6)在0,+∞内最多有2个零点，不符题

意；

所以a>0，

当x≥a时，y=-x2+2(a+1)x-(a2+6),开口向下，对称轴为x=a+1，所以函数在[a,a+1)上单调递

增，在[a+1,+∞)上单调递减，

所以y=2a-5，

max

又因为当x=a时，y=2a-6；

5

2+2(a+1)x-(a2+6)在[a,+∞)内无零点，

当2a-5<0，即a<2时，y=-x

所以f(x)=2sin(2πx-2πa)-3在(0,a)内有7个零点，

3

即sin2π(x-a)=2在(0,a)内有7个零点，

因为0<x<a，所以-a<x-a<0，-2πa<2π(x-a)<0，

23π22π1123

≤-2πa<-<a≤

所以-33，解得36，

5

又因为a<2，

所以无解；

5

当2a-5=0，即a=2时，

495

y=-x2+2(a+1)x-(a2+6)=-x2+7x-,+∞

4在2内有1个零点，

5

f(x)=2sin(2πx-5π)-3在0,

2内有6个零点，

35

即sin2πx=-2在0,2内有6个零点，

35

由三角函数的性质可知此时sin2πx=-2在0,2内只有4个零点，不符题意；

2a-5>05

<a≤3时，

当2a-6≤0，即2

y=-x2+2(a+1)x-(a2+6)=-x2+8x-15在[a,+∞)内有2个零点，

所以f(x)=2sin(2πx-2πa)-3=2sin2π(x-a)-3在(0,a)内有5个零点，

3

即sin2π(x-a)=2在(0,a)内有5个零点，

因为0<x<a，所以-a<x-a<0，-2πa<2π(x-a)<0，

17π16π817

≤-2πa<-<a≤

所以-33，解得36，

5

<a≤3时，

又因为2

817

<a≤

所以36，

当2a-6>0，即a>3时，

y=-x2+2(a+1)x-(a2+6)在[a,+∞)内有1个零点，

所以f(x)=2sin(2πx-2πa)-3在(0,a)内有6个零点，

3

即sin2π(x-a)=2在(0,a)内有6个零点，

因为0<x<a，所以-a<x-a<0，-2πa<2π(x-a)<0，

22π17π1711

≤-2πa<-<a≤

所以-33，解得63，

又因为a>3，

11

所以3<a≤3.

81711

,∪3,.

综上所述，a的取值范围为：363

故选：D.

lnx,x>0

x

3.(2022·广东·金山中学高三阶段练习)设函数fx=有4个不同零点，则正实数

sinωx+π,-π≤x≤0

4

ω的范围为()

913913913913

A.,B.,C.,D.,

44444444

【答案】A

lnxπ

=0，解得x=1，即fx在(0,+∞)上仅有一个零点，所以只需y=sinωx+

【解析】令y=x4在[-π,

0]上有3个不同零点即可．

ππππ913

∈-ωπ+,，所以-3π<-ωπ+≤-2π，即ω∈,

当x∈[-π,0]时，ωx+444444

故选：A

4.(2022·广东·金山中学高三阶段练习)已知三棱锥D-ABC的顶点都在球O的球面上，底面△ABC为等边

三角形，且其所在圆O的面积为6π.若三棱锥D-ABC的体积的最大值为93，则球O的体积为(

)

1

256343343

A.πB.πC.256πD.π

362

【答案】B

【解析】如图，△ABC所在圆O即为△ABC的外接圆.

1

设圆O的半径为r，则πr2=6π，解得r=6.

1

因为△ABC为等边三角形，所以A=B=C=60∘,AB=BC=AC.

AB

由正弦定理可得=2r，解得AB=32.

sin60∘

11393

所以S=AB⋅AC⋅sinA=×(32)2×=.

△ABC2222

如图，当O,O,D三点共线时，三棱锥D-ABC的体积最大，最大值为

1

193

93，此时DO⊥平面ABC，三棱锥的高h最大，且有××h=

132

93，解得h=6.

7

设球O的半径为R，在Rt△OOA中，(6-R)2+r2=R2，解得R=.

12

4473343

πR3=×π=π.

所以球O的体积V=3326

故选：B.

5.(2022·广东·仲元中学高三阶段练习)已知菱形ABCD的边长为2，且∠DAB=60∘，沿BD把△ABD折起，

得到三棱锥A-BCD，且二面角A-BD-C的平面角为60°，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为

(

)．

13π52π3π2π

A.B.C.D.

9953

【答案】B

【解析】取BD的中点H，连接AH,CH，因为ABCD为菱形，所以AH⊥BD,CH⊥BD,

故∠AHC为二面角A-BD-C的平面角，则∠A'HC=60°，

由题意可知△ABD,△BCD为正三角形，则外接球球心位于过△ABD,△BCD的中心且和它们所在面垂直

的直线上，

故分别取△ABD,△BCD的重心为G,G，

12

过点G，G分别作两个平面的垂线，交于点O，点O即为三棱椎的外接球的球心，

12

由题意可知△ABD≌△BCD，球心到面ABD和面BCD的距离相等，

即OG=OG,

12

连接OD,OH，则∠OHG=∠OHG=30∘,

12

313HG

菱形ABCD的边长为2∴HG=2××=,OH=1=

1233cos30∘

3

32

=，

33

2

221313

∴OD2=OH2+HD2=+1=-BCD的外接球的半径R=

39，即三棱锥A3，

1352π

2=4π×=

则其外接球的表面积为4πR99，

故选：B．

5-8xy

6.(2022·广东·深圳市高级中学高三阶段练习)已知正实数x、y、z满足x2+y2+z2=1，则

z的最小值

是(

)

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【解析】∵x2+y2+z2=1，∴1-z2=x2+y2≥2xy，∴5-8xy=5-4×2xy≥5-41-z2=4z2+1，

5-8xy4z2+11

≥=4z+≥24z⋅1=4，

由于x、y、z均为正数，则zzzz

x=y>0x=y=6

4

当且仅当1时，即当时，等号成立，

4z=>0z=1

z2

5-8xy

因此，z的最小值是4.

故选：C.

7.(2022·广东·深圳市南山区华侨城中学高三阶段练习)设函数fx=ex(2x-1)-ax+a，其中a<1，若存

在唯一的整数x，使得f(x)<0，则a的取值范围是(

)

00

333333

A.-,1B.-,C.,D.,1

2e2e42e42e

【答案】D

【解析】设gx=ex2x-1，y=ax-1，

由题意知，函数y=gx在直线y=ax-a下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，

11

gx=ex2x+1，当x<-x<0；当x>-

2时，g2时，

gx>0.

1

=-2e-1

所以，函数y=gx的最小值为g-22.

又g0=-1，g1=e>0.

直线y=ax-a恒过定点1,0且斜率为a，

33

≥-a-a，解得≤a<1，

故-a>g0=-1且g-1=-e2e

故选D.

x2y2

8.(2022·湖北武汉·高三开学考试)设双曲线-=1(a>0,b>0)的左右焦点为F,F，过F的直线与双

a2b2122

曲线右支交A,B两点，设AB中点为P，若|AB|=2FP，且∠FPA=45°，则该双曲线的离心率为(

)

11

3+15+1

A.3B.5C.D.

22

【答案】A

【解析】根据题意可知，过F的直线斜率存在，

2

∵AB中点为P，

又∵AB=2FP

1

2

∴AP=PF

21

又∵∠FPA=45°

1

PF2+PA2-AF2

∴在△FAP中，由余弦定理cos∠FPA=11

112PA⋅PF

1

整理得：AP=AF且∠FAP=90∘，所以△APF是等腰直角三角形.

111

设AF=t，则AF=AP=BP=t，AB=2t

11

∴在△FAB中，由勾股定理得：BF2=AB2+AF2

111

∴BF=5t

1

由双曲线定义可知：AF-AF=2a

12

∴AF=t-2a

2

∴PF=AP-AF=2a

22

由双曲线定义可知：BF-BF=2a且BF=BP+PF=t+2a

1222

∴5t-t+2a=2a

整理得：t=5+1a

在△FFP中，FF=2c，PF=2a，PF=2t=10+2a

121221

PF2+PF2-FF2

由余弦定理可得：cos∠FPA=1212

12PF⋅PF

12

代入计算得：6a2=2c2

c

∴离心率e==3

a

故选：A.

ππ

9.(2022·湖北黄冈·高三阶段练习)已知函数fx=sinωx+θω>0,θ<

2，x=6是fx的一个极值

ππ

点，x=-6是与其相邻的一个零点，则f3的值为(

)

2

A.0B.1C.-1D.

2

【答案】D

π4π2π3

×2==

【解析】由题意可知，函数fx的最小正周期为T=4×63，∴ω=T2，

3x

∴fx=sin+θ

2，

π3πππ

×+θ=kπ+k∈Z，则θ=kπ+k∈Z，

因为x=6是fx的一个极值点，则2624

ππ3xπ

+

因为θ<2，∴θ=4，则fx=sin24，

ππππ2

=sin+=cos=

因此，f32442.

故选：D.

12023

10.(2022·湖北黄冈·高三阶段练习)已知a=e-2021

2022，b=2022，c=ln2022，则a,b,c的大小关系为(

)

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

120231

-2021=e1-1=ln+1

【解析】a=e20222022，b=2022，c=ln20222022，

令fx=ex-1-x，x∈R

则fx=ex-1-1，令fx=0，则x=1，

当x∈-∞,1时，fx≤0，∴fx在-∞,1上单调递减，

111

∴f>f1，即e-1->e1-1-1=0，

202220222022

1

∴e-2021>

20222022，即a>b；

令gx=lnx+1-x，x∈-1,+∞

1-x

∴gx=-1=x=0，则x=0，

x+1x+1，令g

当x∈[0,+∞)时，gx≤0，∴gx在[0,+∞)上单调递减，

111

∴g<g0，即ln+1-<0，

202220222022

20231

∴ln<

20222022，即c<b，

综上可知：a>b>c．

故选：A．

11.(2022·湖北黄冈·高三阶段练习)已知数列a满足a⋅(-1)n+a=2n-1,S=650，则a=(

)

nnn+22023

A.231B.234C.279D.276

【答案】B

【解析】由a⋅(-1)n+a=2n-1,S=650可知：

nn+220

当n为偶数时，a+a=2n-1,当n为奇数时，a=a+2n-1,

nn+2n+2n

所以S=a+a+⋯+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a+a=650，即a+

20131924681012141618201

a+1+a+6+a+15+a+28+a+45+a+66+a+91+a+120+a+153+3

111111111

+11+19+27+35=650，由此解得a=3，

1

所以a=a+231=234，

231

故选：B

x2y2

12.(2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试)已知双曲线E:-=1a>0,b>0的左、右焦点分别为

a2b2

2

F，F，圆O:x2+y2=a2与E的一条渐近线的一个交点为M.若MF=FF，则E的离心率为(

)

122212

A.2B.3C.5D.6

【答案】B

【解析】

如图所示，由已知得OM=a，FF=2c，MF=2c，

122

ba

且tan∠MOF=-，则cos∠MOF=-，

2a2c

在△OFM中，由余弦定理，得MF2=OF2+OM2-2OF⋅

2222

ac2

OMcos∠MOF，即2c2=c2+a2-2ac⋅-，整理得c2=3a2，所以e2=

2ca2

=3，

故e=3，

故选：B.

13.(2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试)已知a=0.7e0.4，b=eln1.4，c=0.98，则a，b，c的大小关系是

(

)

A.a>c>bB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】A

a0.7e0.4e0.45e25e2

【解析】====>1，所以a>c.

c0.981.41.41.45

1ee-x2

x2(x>0)，得Fx=-x=

令函数Fx=elnx-2xx，

当x∈0,e时，Fx>0，Fx单调递增；

当x∈e,+∞时，Fx<0，Fx单调递减，

11

e-e=0，

所以Fx≤Fe=22

1

×1.42=b-c<0，即c>b.

所以F1.4=eln1.4-2

综上，a>c>b.

故选：A

14.(2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习)已知函数fx=

ππ2π

sinωx+φ0<ω<4,φ<-f=2，则函数fx的单调递增区间为()

2，若f63

kππkπ5πkππkππ

A.+,+,k∈ZB.-,+,k∈Z

2621221226

π2πππ

C.kπ+,kπ+,k∈ZD.kπ-,kπ+,k∈Z

6336

【答案】D

π2ππ2π

【解析】由f-f=2可知f(x)=f，fx=f,

63max6min3

π2ππ2π

=1，f=-1，即sinω⋅+φ=1，sinω⋅+φ=-1，

即f6363

ππ2π3π

∴ω⋅+φ=2kπ+，ω⋅+φ=2kπ+，k∈Z，k∈Z，两式相减可得ω=2+4k-k，

6123221221

因为0<ω<4,故ω=2，

πππππ

将ω=2代入ω⋅+φ=2kπ+得φ=2kπ+，又φ<，∴φ=，

6121626

π

所以函数f(x)=sin2x+6，

πππππ

≤2x+≤2kπ+≤x≤kπ+

令2kπ-262，求得kπ-36，

ππ

，k∈Z．

可得函数f(x)的单调递增区间为kπ-3，kπ+6

故选：D

1

15.(2022·山东·济南市天桥区黄河双语实验学校高三阶段练习)若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈0,

2

恒成立，则a的取值范围为

5

A.a≥0B.a≥-2C.a≥-D.a≥-3

2

【答案】C

1

2+ax+1≥0对于一切x∈0,

【解析】x2成立，

-x2-11

则等价为a≥x对于一切x∈0,

2成立，

11

即a≥-x-x对于一切x∈0,

2成立，

11

,则函数在区间(0,

设y=-x-x2〕上是增函数

115

∴-x-<--2=-

x22，

5

∴a≥-

2.

故选C.

3-lnx,x≤1

16.(2022·山东·枣庄市第三中学高三开学考试)已知函数f(x)=，若不等式f(x)≥2x-a

x2-4x+6,x>1

对任意x∈(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为

1

A.3-,3B.[3,3+ln5]C.[3,4+ln2]D.[2,5]

e

【答案】C

a

【解析】由题得fx≥2x-2，

1

,1,2,3代入上面的不等式得a≥3，

取特值x=2

a3

≥

所以22，

a

(1)在x∈(0,1]上，0<x≤1<

2，

恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0<x≤1)

11

x=2-=4+ln2,

所以gx，所以gx最小值=g2

所以a≤4+ln2.

aaa

(2)在x∈1，2-4x+6≥2-x

2上，1<x<2，恒有x2，

a

2-2x+6在x∈1，

所以a≤x2上恒成立，

a

2-2x+6的最小值为5，

又在x∈1，2上，x

所以a≤5.

aa

(3)在x∈,+∞

2时，x≥2，

a

2-4x+6≥2x-2+6x-6=-x-32+3,∴a≥3.

恒有x2，∴a≥-x

综上3≤a≤4+ln2.

故选:C

1x

17.(2022·福建·福州市第十中学高三开学考试)已知函数f(x)=3x-+2，若f(a2)+f(a-2)>4，则实数

3

a的取值范围是()

A.(-∞,1)B.-∞,-2∪(1,+∞)

C.-2,1D.(-1,2)

【答案】B

1x

x-

【解析】令g(x)=f(x)-2=33，(x∈R)，

1-x1x

-x-=-3x=-gx，

则g(-x)=f(-x)-2=333

所以g(x)是奇函数；

1x

x,y=-

又y=33都是R上增函数，

所以g(x)在R上单调递增.

所以f(a2)+f(a-2)>4可化为ga2+ga-2>0，

进而有ga2>g2-a，

所以a2+a-2>0，

解得a<-2或a>1.

故选：B.

4x3y

18.(2022·福建·福州市第十中学高三开学考试)设x，y为正实数，则M=+

x+3yx的最小值为(

)

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】因为x，y为正实数，

4x3y43y3y

+=+1+-1≥24⋅1+-1=4-1=3，

所以M=x+3yx3yx3yx

1+1+

xx

3y

2=4，即x=3y时取等号，

当且仅当1+x

4x3y

+

故M=x+3yx的最小值为3.

故选：C.

二、多选题

π

19.(2022·广东汕头·高三阶段练习)若0<b<a<

2，则(

)

11

A.eb++2a>ea++2bB.bea-eb>aeb-ea

eaeb

C.asinb+b<bsina+aD.sinbcosa>sina

【答案】BC

1π11

【解析】A：令f(x)=ex--2x且0<x<，则f(x)=ex+-2≥2ex⋅-2=0，仅当x=0时等

ex2exex

号成立，故导函数恒大于0，

11

故f(x)在定义域上递增，则f(a)>f(b)，即eb--2b<ea--2a，

ebea

11

所以eb++2a<ea++2b，错误；

eaeb

π1

B：令f(x)=x-ln(x+1)且0<x<(x)=1->0，

2，则fx+1

故f(x)在定义域上递增，则f(a)>f(b)，即a-ln(a+1)>b-ln(b+1)，

所以lneab+1>lneba+1，则ea(b+1)>eb(a+1)，即bea-eb>aeb-ea，正确；

sinx-1πxcosx-sinx+1

C：令f(x)=且0<x<，则f(x)=>0，

x2x2

sina-1sinb-1

>

故f(x)在定义域上递增，则f(a)>f(b)，即ab，

所以b(sina-1)>a(sinb-1)，则asinb+b<bsina+a，正确；

ππ13

D：当b=,a=<sina=

63时，sinbcosa=42，错误.

故选：BC

20.(2022·广东·金山中学高三阶段练习)如图，正方形ABCD中，CD=a，DE=3EC，将△ADE沿AE翻折到

△AEP位置，点P∉平面ABCD内，记二面角P-AB-C大小为θ，在折叠过程中，满足下列什么关系

(

)

a3

A.四棱锥V最大值为B.角θ可能为61∘

P-ABCE8

1537

C.tanθ≤D.tanθ≤

167

【答案】AC

【解析】如图，当△ADE沿AE翻折到△AEP位置，点P∉平面ABCD内，则得

到四棱锥PABCE；

当平面PAE⊥平面ABCE时，过P作PF⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=

AE,所以PF⊥平面ABCE，此时PF最长，而底面ABCE面积是定值，

所以当PF⊥平面ABCE时，四棱锥体积V最大；二面角P-AB-C也最大；

P-ABCE

a3a

=3EC,PE=,△AEP为直角三角形，所以

由题知正方形ABCD中，CD=AP=a，DE，所以CE=44

3a25a

2+=

有AE=a44，

115a5a113a

所以S=×AE×PF=××PF=PF，而S又等于×AP×PE=×a×=

△AEP2248△AEP224

3a25a3a23a

PF=

8，所以有88，解得PF=5；

11a5a2

×AB+EC×BC=×a+×a=

底面ABCE面积为2248；

15a23aa3

所以四棱锥体积V=××=；故选项A正确；

P-ABCE3858

过F点作与BC平行的线段交AB于点G，因为BC⊥AB，所以FG⊥AB；

因为PF⊥