山东省聊城市2022年中考数学模拟试题（含解析）

2022年山东省聊城市中考数学模拟试卷

-、单选题（本大题共12小题，共36分）

1.（3分）下列各数为负分数的是（）

A.-1B.三C.0D.V3

2.（3分）2021年3月5日，李克强总理在政府工作报告中指出，我国脱贫攻坚成果举

世瞩目，5575万农村贫困人口实现脱贫.5575万=55750000,用科学记数法将

55750000表示为（）

A.5575X104B.55.75X105

C.5.575x107D.0.5575x108

3.（3分）如图所示的几何体，其左视图是（）

4.（3分）如图，AB//CD,44=30。，DA平分心CDE,贝比DEB的度数为（）

A.45°B.60°C.75°D.80°

5.（3分）如图，将线段AB先绕原点。按逆时针方向旋转90。，再向下平移4个单位，得

到线段4B',则点4的对应点H的坐标是（）

A.(1,-6)B.(-1,6)

C.(1,-2)D.(-1,-2)

6.(3分)下列运算正确的是()

A.3a—4a=-1B.—2a3-a2=-2a6

C.(-3a)3=-9a3D.(a—b)(—a—b)=b2-a2

7.（3分）下列命题：①”的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图

形；②天气预报说明天的降水概率是95%,则明天一定会下雨；④若一个多边形的各

内角都等于108。，则它是正五边形，其中真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

8.（3分）如图，在/ABC中，Z.ABC=90°,NC=30。，以点4为圆心，以AB的长为

半径作弧交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心，大于：BD的长为半径作弧,

两弧交于点P,作射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论中不正确的是（）

C^EDC=D.BD2=BC-BE

S4ABe3

9（3分）如图，在四边形纸片ABCD中,AD//BC,AB=10,NB=60。，将纸片折叠,

使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF,若NBFE=45。，则BF的长为（）

A.5B.3V5C.5A/3D.3

5

10.（3分）如图，AB是。。的直径，点E,C在。。上，点4是EC的中点，过点4画。

。的切线，交BC的延长线于点D,连接EC.若NADB=58.5。，贝叱ACE的度数为（）

11.（3分）已知反比例函数y=：的图象如图所示，则一次函数、=©*+。和二次函数

12.（3分）如图，平面图形ABD由直角边长为1的等腰直角ZAOD和扇形BOD组成，点

r\

P在线段AB上，PQ1AB,且PQ交AD或交DB于点Q.设AP=x（0cx<2）,图中阴影

部分表示的平面图形APQ（或APQD）的面积为y,则函数y关于x的大致图象是（）

B

-、填空题（本大题共5小题，共15分）

13.（3分）分解因式：3a2+12a+12=.

14.（3分）计算：（如+J1）xV2=.

15.（3分）在一个不透明的袋中装有若干个红球和4个黑球，每个球除颜色外完全相同,

摇匀后从中摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，

其中有40次摸到黑球，估计袋中红球的个数是.

16.（3分）车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度以km/h）之

间的反比例函数关系如图所示.若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到

17.（3分）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD,如图所示.若Na=30。，则对

角线BD上的动点P到A,B,C三点距离之和的最小值是.

1-2%<30

（2）解不等式组：｛3x-2，二;并写出它的整数解.

丁<

19.(8分)如图，在QABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于

点F,延长ED至点G,使DG=DE,分别连接AE,AG,FG.

(1)求证：4BCE三4FDE；

(2)当BF平分NABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由.

20.(8分)某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的

进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣

液数量的，销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶.

(1)求两种品牌洗衣液的进价；

(2)若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不

超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售

出后所获利润最大？最大利润是多少元？

21.(8分)为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约

型社区”活动.志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了

调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：

方便筷使用数量在5<%<15范围内的数据：

5,7,12,9,10,12,8,8,10,11,6,9,13,6,12,8,7.

不完整的统计图表：

方便筷使用数量统计表

组别使用数量(双)频数

A0<%<514

B5<%<10

C10<x<15

D15<%<20a

E%>2010

合计50

请结合以上信息回答F列问题

(1)统计表中的a=；

⑵统计图中E组对应扇形的圆心角为度；

(3)C组数据的众数是；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是

(4)根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双

的人数.

方便筷使用数量占比统计图

22.(8分)在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏

高度相同的路灯进行测量.如图，他先在点B处安置测倾器，于点4处测得路灯MN顶端

的仰角为10。，再沿BN方向前进10米，到达点。处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为

27。.若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度(结果精

确到0.1米).

(参考数据：sinl00「0.17,cosl0°«0.98,tanl00「0.18,sin270=0.45,cos27°«

23.(8分)己知点4为函数y=：(x>0)图象上任意一点，连接OA并延长至点8,使

AB=OA,过点B作BC//x轴交函数图象于点C,连接OC.

(1)如图1,若点4的坐标为(4,n),求点C的坐标；

(2)如图2,过点4作ADJ.BC,垂足为D,求四边形OCDA的面积.

24.(10分)如图，AB是。。直径，弦CD1AB,垂足为点E.弦BF交CD于点G,点P在

CD延长线上，且PF=PG.

(1)求证：PF为。0切线；

(2)若OB=10,BF=16,BE=8,求PF的长.

25.(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=—之/+学/+£(巾＞0)与“

轴交于4(-1,0),B(m,0)两点，与y轴交于点C,连接BC.

(1)若OC=2OA,求抛物线对应的函数表达式；

(2)在(1)的条件下，点P位于直线BC上方的抛物线上，当Z1PBC面积最大时，求点P的

坐标;

(3)设直线y=：x+b与抛物线交于B,G两点，问是否存在点E(在抛物线上)，点F(在

抛物线的对称轴上)，使得以8,G,E,F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点

E,F的坐标；若不存在，说明理由.

答案和解析

1.【答案】B;

【解析】解：••・在正分数前面加负号的数叫做负分数，且分数属于有理数,

••・只有B选项符合题意，

故选：B.

在正分数前面加负号的数叫做负分数，根据负分数的定义即可判断.

此题主要考查负分数的概念，关键是要牢记负分数的定义.

2.【答案】C;

【解析】解：55750000=5.575X107,

故选：C.

科学记数法的表示形式为ax的形式，其中l4|a|<10,n为整数.确定n的值时,

要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当

原数绝对值》10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.据此解答即可.

此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中

1<|a|<10,n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值.

3.【答案】A;

【解析】解：这个几何体的左视图为:

故选：A.

画出从左面看这个几何体所得到的图形即可.

此题主要考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确

答案的前提.

4.【答案】B;

【解析】解：AB//CD,乙4=30。，

•••ZADC=Z/1=30°,ZCDE=ZDEB,

•••DA平分ZCDE,

ZCDE=24ADC=60°,

•••ZDEB=60°.

故选：B.

由平行线的性质得NADC=〃=30。，再由角平分线得NCDE=60。，再次利用平行线

的性质可得NDEB=ZCDE=60°.

此题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行,

内错角相等.

5.【答案】D;

【解析】解：4点绕。点逆时针旋转90。，得到点4’(—1,2),

力”向下平移4个单位，得到4(-1,-2),

故选：D.

先求出4点绕。点逆时针旋转90。后的坐标为(-1,2),再求向下平移4个单位后的点的坐

标即可.

此题主要考查坐标与图形变化，能够根据题意画出线段AB旋转、平移后的图形是解答

该题的关键.

6.【答案】D;

【解析】解：A3a-4a=-a,故错误；

B.-2a3-a2=-2a5,故错误；

C.(-3a)3=-27a3,故错误；

D.(a—b)(—CL—b)=炉—小,正确.

故选：D.

根据平方差公式、塞的乘方、合并同类项法则以及单项式乘以单项式的计算方法进行

判断.

本题综合考查了平方差公式，幕的乘方与合并同类项，单项式乘单项式.此题属于基

础题，难度一般.

7.【答案】C;

【解析】解：①E的算术平方根是近，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题，符合题意；

②天气预报说明天的降水概率是95%,则明天下雨可能性很大，但确定是否一定下雨,

故原命题错误，是假命题，不符合题意；

④若一个多边形的各内角都等于108。，则它是正五边形，正确，是真命题，符合题意;

真命题有2个，

故选：C.

利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判

断后即可确定正确的选项.

考查了命题与定理的知识，解答该题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、

概率的意义及多边形的内角和等知识，难度不大.

8.【答案】C;

【解析】解：由题意可得NABC=90。，ZC=30°,AB=AD,AP为BD的垂直平分线,

BE=DE,

•••ZBAE=ZDAE=30°,

・・"AEC是等腰三角形，

vAB=AD,AC=2AB,

二点。为AC的中点，

DE垂直平分线段AC,

故选项4,B正确，不符合题意；

在4ABe和4EDC中，“=zABC=ZEDC=90°,

•••/ABCS/EDC,

:.—AB=—AC=—BC.

EDECDC

BCoAOWcc1AC

AC22

二警=3故选项c错误，符合题意；

34ABe§

在4ABD中，vAB=AD,ZBAD=60°,

・・・/ABD是等边三角形，

:，ZABD=Z.ADB=60°,

:.zDBE=zBDE=30°,

在ABED和4BDC中，Z.DBC=zEBD=30°,Z.BDE=zC=30°,

•••/BEDs/BDC,

.BE_BD

**BD-BC*

ABD2=BC-BE,故选项0正确，不符合题意.

故选：C.

由题意不难得到BE=DE,贝I」有4BAE=4DAE=30。，可判断/AEC是等腰三角形，

则不难判断A、B正确;易证/ABCs/EDC,则有普=兽=耳，再根据器=330。=

号，DC=iAC,从而得到荔=俗利用相似三角形的性质可判断C错误；易证得

/ABD是等边三角形，则有4DBE=NBDE=30。，可得ABEDs/lBDC,根据相似三角

形的性质可得到。正确.

此题主要考查相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30。角的直角三角

形，解答的关键是对相似三角形的判定条件与性质的掌握与灵活运用.

9.【答案】C;

【解析】解：由折叠知：BF=GF,ZBFE=ZGFE,

vZBFE=45°,

ZBFG=90°,

过点4作AH,BC于H,

At_GD

B…弋H

在RMABH中，AH=sin60°xAB=yx10=5百，

vAD//BC,

•••ZGAH=ZAHB=90°,

:.4GAH=ZAHB=ZBFG=90°,

二四边形AHFG是矩形，

FG=AH=5V3,

•••BF=GF=5V3.

故选：C.

由折叠知：BF=GF,ZBFE=zGFE,得NBFG=90。，过点4作AH_LBC于H,在

Rt/ABH中，求出AH的长度，再证四边形AHFG是矩形，从而得出AH=GF,即可解

决问题.

此题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，特殊角的三角函数

等知识，作辅助线构造直角三角形是解答该题的关键.

10.【答案】B;

【解析】解：「AD是。。的切线，

・•・BA1AD,

vZ.ADB=58.5°,

.・・乙8=90°-ZADB=31.5°,

•••AB是。。的直径,

:.ZACB=90°,

:.ZBAC=90°一乙B=58.5°,

•点A是EC的中点，

BA1EC,

.•/ACE=90°-ZBAC=31.5°,

故选：B.

根据切线的性质得到BALAD,根据直角三角形的性质求出NB,根据圆周角定理得到

ZACB=90°,进而求出NBAC,根据垂径定理得到BAJ.EC,进而得出答案.

此题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆的切线垂直于经过切

点的半径是解答该题的关键.

11.【答案】D;

【解析】解：•.・反比例函数的图象在二、四象限，

--b<0,

4、•••二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，

a>0,b<0,c<0,

•••一次函数图象应该过第一、二、四象限，4错误；

8、・•二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，

a<0,b>0,

二与b<0矛盾，B错误;

C、•••二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，

a<0,b>0,

二与b<0矛盾，C错误；

。、・••二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，

a<0,b<0,c<0,

•••一次函数图象应该过第一、二、四象限，。正确.

故选：D.

根据反比例函数的图象得出b<0,逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及

对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出

一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论.

此题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系

数的关系进行判断是解答该题的关键，同时考查了数形结合的思想.

12.【答案】D;

【解析】解：当Q在AD上时，即点P在AO上时，有

此时阴影部分为等腰直角三角形，

：■y=-1.x.x=1-x2,

,22

该函数是二次函数，且开口向上，排除B,C选项;

当点Q在弧BD上时，补全图形如图所示，

阴影部分的面积等于等腰直角4A0D的面积加上扇形BOD的面积，再减去平面图形

PBQ的面积即减去:弓形QBF的面积，

设ZQOB=8,则NQOF=2。，

c__1c_版N

二3/IAOD=-XlXl=-,3弓形QBF二——'dQOF，

当0。=45。时,AP=X=1+¥=1.7,S弓形QBF=：-：X&X苧W，

y=i+---(--i)=-+-«1.15,

72422，48

当9。=30°时，AP=x=1.86,S弓形OBF=N-2x2xg=N-理,

,丫62264

1Tt1V3x1y[3it]4u

V=-d--------(--------)=-d------F-右1.45,

J242%47286

在4。选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项。符合题意.

故选：D.

根据点Q的位置，分点Q在AD上和点Q在弧BD上两种情况讨论，分别写出y和x的函数

解析式，即可确定函数图象.

此题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解

决问题是常见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键.

13.【答案】3(a+2)2;

【解析】解:原式=3(。2+4a+4)

=3(a+2产

故答案为：3(a+2)2.

直接提取公因式3,再利用完全平方公式分解因式即可.

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.

14.【答案】5;

【解析】解：原式=辰1+J|x2

=4+1

=5.

故答案为5.

利用乘法的分配律和二次根式的乘法法则运算.

此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法

则是解决问题的关键.

15.【答案】6;

【解析】解：设袋中红球的个数是x个，根据题意得：

4_40_

4+X-100’

解得：x=6,

经检验：x=6是分式方程的解，

即估计袋中红球的个数是6个，

故答案为6.

估计利用频率估计概率可估计摸到黑球的概率为盘，然后根据概率公式构建方程求解

即可.

此题主要考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位

置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集

中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.用频率估计概率得到的

是近似值，随试验次数的增多，值越来越精确.

16.【答案】240;

【解析】解：•.•从甲地驶往乙地的路程为200x3=600(km),

•••汽车行驶完全程所需的时间t(h)与行驶的平均速度"(km/h)之间的关系式为t=

当t=2.5h时，即2.5=竽

・•・v=240,

答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h.

故答案为：240.

依据行程问题中的关系：时间=路程+速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t(h)

与行驶的平均速度"(km/h)之间的关系式，把t=2.5h代入即可得到答案.

此题主要考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键.

17.【答案】6V2cm;

【解析】解：如图，作DE1BC于E,把4ABP绕点B逆时针旋转60。得到ZA'BP',

•••Za=30°,DE=3cm,

CD=2DE=6cm,

同理：BC=AD=6cm,

由旋转的性质，A'B=AB=CD=6m,BP'=BP,A'P'=AP,4P'BP=60。，

乙4'BA=60°,

••./P'BP是等边三角形，

BP=PP',

PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC,

根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC=AC时最短，连接AC,与BD的交

点即为P点，即点P到力，B,C三点距离之和的最小值是4c.

vZABC=ZDCE=4=30°,"'BA=60°,

•••"BC=90°,

■1•A'C=yjA'B2+BC2=V62+62=6V2(cm),

因此点P到力，B,C三点距离之和的最小值是6Vlem,

故答案为6&cm.

作DE1BC于E,解直角三角形求得AB=BC=6cm,把zlABP绕点B逆时针旋转60。得

到44'BP',由旋转的性质，A'B=AB=6cm,BP'=BP,A'P'=AP,NP'BP=60。，

4BA=60。，所以AP'BP是等边三角形，根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+

PC=AC时最短，连接AC,利用勾股定理求出AC的长度，即求得点P到4B,C三

点距离之和的最小值.

本题是四边形综合题，主要考查了旋转知识、三角形全等、特殊角直角三角形、等边

三角形的性质和勾股定理，熟练掌握旋转知识构建全等三角形是解答该题的关键.

18.【答案】解：(1)(x+^ii)

XX

2

_X2+2X+1.x-l

------------：-------

XX

=。+1)2>X

x(x-l)(x+l)

x+1

--------

1-2.

(2)(3%-2

4

解不等式①得：x"l,

解不等式②得：X<2,

不等式组的解集为：-lMx<2,

不等式组的整数解为：-1,0,1.;

【解析】

(1)先进行分式的加法运算，再进行除法运算即可；

(2)先把不等式组的解集求出来，再写出符合条件的解即可.

本题主要考查分式的混合运算，解一元一次不等式组，解答的关键是对分式的混合运

算的各种法则的掌握，对解不等式组的方法的掌握.

19.【答案】(1)证明：•.•四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,

/.ZDFE=ZCBE,

为CD边的中点，

；.DE=CE,

在^BCE和^FDE中,

ZBEC=ZFED

4CBE=4DFE,

.CE=DE

/.△BCE^AFDE(AAS)；

(2)解：四边形AEFG是矩形，理由如下：

・・♦四边形ABCD是平行四边形，

・・・AD=BC,AD//BC,

AZAFB=ZFBC,

由(1)得：△BCEgz^FDE,

ABC=FD,BE=FE,

・・・FD=AD,

VGD=DE,

・・・四边形AEFG是平行四边形，

,・，BF平分NABC,

AZFBC=ZABF,

.\ZAFB=ZABF,

AAF=AB,

VBE=FE,

AAE±FE,

・・・ZAEF=90°,

・•.平行四边形AEFG是矩形.；

【解析】

(1)由AAS证明/BCE三4FDE即可；

(2)先证四边形AEFG是平行四边形，再证4AEF=90。，即可得出结论.

此题主要考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与

性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明

4BCE三4FDE是解答该题的关键.

20.【答案】解：(1)设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进

价是(x-6)元，

依题意得：——=--X-,

xX-65

解得:x=30,

经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，

x-6=24(元).

答：甲品牌洗衣液每瓶的进价是30元，乙品牌洗衣液每瓶的进价是24元；

(2)设可以购买甲品牌洗衣液m瓶，则可以购买(120-m)瓶乙品牌洗衣液，

依题意得:30m+24(120-m)<3120,

解得：m*0.

依题意得：y=(36-30)m+(28-24)(120-m)=2m+480,

Vk=2>0,

；.y随m的增大而增大，

...m=40时，y取最大值，y最大值=2x40+480=560.

120-40=80(瓶)，

答：超市应购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶，才能在两种洗衣液完全售

出后所获利润最大，最大利润是560元.；

【解析】

(1)设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是6)元，根据

数量=总价+单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于％的分式方

程，解之经检验后即可得出结论：

(2)设可以购买TH瓶乙品牌洗手液，则可以购买(100-TH)瓶甲品牌洗手液，根据总价=

单价X数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于ni的一元一次不等式，解之即

可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论.

本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题.

21.【答案】9721210;

【解析】解：(1)方便筷使用数量在5<%<15范围内的数据有17个,

Aa=50-14-17-10=9,

故答案为：9；

(2)360°X=72%

故答案为：72；

(3)将方便筷使用数量在10<x<15范围内的数据按从小到大的顺序排列为10,10,

11,12,12,12,13,

由上述数据可得C组数据的众数是12,

B组的频数是10,C组的频数为7,。组的频数为9,

.•.第25,26个数均为10,

.•・调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是北券=10.

故答案为:12,10；

(4)2000x鬻=760(人)，

答：估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760人.

(1)由总组人数减去其他组人数即可求解；

(2)利用360。XE组所占的比例即可得E组对应扇形的圆心角度数；

(3)根据众数，中位数的定义求解即可；

(4)2000x5月份使用方便筷数量不少于15双的人数所占比例即可求解.

此题主要考查统计表、用样本估计总体以及扇形统计图，应结合统计表和扇形统计图,

利用部分与总体之间的关系进行求解.

设CE=x,

在RSDPE中，PE=x・tan27°R.51x,

VBD=10米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，

：.AE=(x+10)米，AF=2(x+10)米，

在RSAMF中,MF=2(x+10)•tanl0°-0.36(x+10)米,

VMF=PE,

.,.0.51x=0.36(x+10),解得：x=24,

/.PE=0.51x24=12.24(米)，

PQ=PE+EQ=PE+AB=12.24+1.2=13.44=13.4(米)，

答：路灯的高度约为13.4米.；

【解析】

过点4作AF_LMN于点F,交PQ于点E,设CE=x,利用三角函数解直角三角形可得PE、

MF,根据PE=MF得到x的值，即可得PE的长度，PE加上测倾器的高度即可得路灯的

高度.

此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角的三角函数概念是

解题关键.

23.【答案】解：(1)将点A坐标代入到反比例函数y=：中得，

4n=4,

n=l,

，点A的坐标为(4,1),

VAB=OA,0(0,0),

.•.点B的坐标为(8,2),

：BC〃x轴，

，点C的纵坐标为2,

令y=2,则：=2,

.♦.x=2,

.♦.点C的坐标为(2,2)；

(2)；BC〃x轴，

；.BC_Ly轴，

又AD_1.BC,

；.AD〃y轴，

.♦.D的横坐标为4,

在BC上，

••.D的纵坐标为2,

AD(4,2),

'/SAOBC=|,BC,2=BC=8-2=6»

,

SAADB=|BDAD=1X4X1=2,

四边形OCDA的面积为：SAOBC-SAADB=6-2=4.;

【解析】

(1)先由反比例函数解析式求出4点坐标，再由中点坐标公式求得B点坐标，由于BC//X

轴，得到点B和点C的纵坐标相同，从而得到点C的纵坐标，再由反比例函数解析式求

出点C的横坐标，即可解决；

(2)由于BC//y轴，点B和点C坐标(1)中已经求解，故可以得到BC的长度，进而求得

4OBC的面积，由于AD1BC,可以证明AD〃y轴，从而求得。点坐标，得到线段AD和

BD的长度，进一步得到/ADB的面积，4OBC与/ADB的面积之差即为四边形OCDA的

面积.

此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知平行于坐标轴的直线上的点的

坐标特征，是解决本题的关键.

(1)证明：连接OF,

VPF=PG,

:.ZPFG=ZPGF,

VZBGE=ZPGF,

AZPFG=ZBGE,

VOF=OB,

ZOFB=ZOBF,

VCD±AB,

・•・ZBGE+ZOBF=90°,

JZPFG+ZOFB=90°,

〈OF是。0半径，

・,.PF为。O切线；

(2)解：连接AF,过点P作PM_LFG,垂足为M,

TAB是。O直径，

JZAFB=90°,

AAB^AP+BF2,

VOB=10,

AAB=20,

VBF=16,

AAF=12,

在RtAABF中,tanB=-,cosB=-,

45

在RSBEG中，苧=+年

84GB5

AGE=6,GB=10,

VBF=16,

AFG=6,

VPM1FG,PF=FG,

AMG=-2FG=3,

VZBGE=ZPFM,ZPMF=ZBEG=90°,

.,.△PFM^ABGE,

.•.空=曳，即，些，

GEGB610

解得:PF=5,

.♦.PF的长为5.；

【解析】

(1)连接OF,由CD_LAB,PF=PG,OF=OB得到4PFG+NOFB=90。，即可证明；

(2)连接AF,过点P作PMJ.FG,垂足为M,由OB=10,BF=16,求得AF的长度，

继而利用三角函数求得tanB=三，cosB=3求出GE,GB,再利用/PFMS/BGE,即

可求出PF的长.

此题主要考查了切线的判定方法，利用等角之间的转化，能够求得半径与直线的垂直

是证明切线的关键，能够灵活应用三角函数和三角形相似是解决线段长度的关键.

25.【答案】解：(1)；A的坐标为(-1,0),

.\OA=1,

VOC=2OA,

：.OC=2,

；.c的坐标为(0,2),

将点C代入抛物线y=-*咛・x堞(m>0),

得£=2,即m=4,

二抛物线对应的函数表达式为y=-|x2+|x+2；

(2)如图，过P作PH〃y轴，交BC于H,

由(1)知，抛物线对应的函数表达式为y=-#+|x+2,m=4,

，B、C坐标分别为B(4,0)、C(0,2),

设直线BC解析式为丫=1«+11,

则解得忆3

・,・直线BC的解析式为y=-|x+2,

设点P的坐标为(m,-1m2+|m+2)(0<m<4),则H(m,-1m+2),

222

.•.PH=-|m+|m+2-(-lm+2)=-lm2+2m=-l(m-4m)=-i(m-2)+2,

,**SAPBC=SACPH+SABPH，

22

**•SAPBc=jPH*|xfi-xc|=|[-^(m-2)+2]x4=-(m-2)+4,

・•・当m=2时,ZkPBC的面积最大,此时点P(2,3)；

(3)存在，理由如下：

•.•直线y=》+b与抛物线交于B(m,0),

二直线BG的解析式为y=》，m①，

•.•抛物线的表达式为y=-12+号・x琛②，

联立①②解得，[=一之„1_1或卜=0，

；.G的坐标为(-2,-lm-1),

..•抛物线筲咏目的对称轴为直线x二号，

点F的横坐标为等，

设E的坐标为(t,-卡咛・t+£),

①若BG为边且E在x轴上方，如图，过点E作EHLx轴于H,

,/ZGBF=90°,

ZOBG=ZBFH,

tanZOBG=tanZBFH=T^=-,