山东省滨州市2022届高三下学期5月二模考试 数学 试题（含答案）

高三数学试题

2022.5

本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

l已知全集V={xeNl-2<x<4},A={O,l}，则9;A=C)

A.{-1,2,3}B.{-1,0,2,3}

C{2,3,4}D.{2,3}

2.在正方体ABCD—AIBICIDI中，设直线BDI与直线AD所成的角为a,直线BDI与平面CDD,C,所成的

角为f3，则a+/J＝()

A芒B.!!__C产D竺

4323

1

3.设随机变量X~N(µ,CJ2)，则”µ~l”是“P(X<2)＜－＂的（)

2

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C充要条件D.既不充分也不必要条件

4函奻f(x)在[0,+oo)单调递减，且为偶涵数．若/(2)=-1，则满足f(x-3)之－l的X的取值范围

是

A.[l,5]B.[l,3]C.[3,5]D.[-2,2]

5.在“ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若瓦V=儿入B+µ及了（儿，

µeR),则A+µ的取值范围是()

c.[0,1]D.[1,2]

A［忖］B.[1』]

6已知直线l:（矿＋m+l)x+(3—2m)y—2m2—5=0，圆C:x2+y2-2x=0，则直线［与圆C的位置

关系是（)

A.相离B.相切C.相交D.不确定

兀

7函数f(x)=Asin(wx＋份）（A>O,w>O,|汾|＜-）的部分图像如图所示，现将函数f(x)的图像向左平移

2

冗

一个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图像，则

6

g(x)的表达式可以为（)

“~

X

冗冗

A.g(x)=2sin(x+—)B.g(x)=2cos(x--==-)

33

l冗l冗

C.g(x)=2sin(-::-x+~)D.g(x)=2cos(-::-x—一）

2623

8已知椭圆C，和双曲线c2有相同的左、右焦点F;'F2,若c,,c2在第一象限内的交点为P,且满足

乙POF2=2乙PF;F2，设e,,e2分别是c,,c2的离心率，则e,,e2的关系是（)

A.e1e2=2B.e~+妗＝2

C.e~+e凸＋e;=2D.e12＋约＝2el2约

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.欧拉公式e''=cosx+isinx（本题中e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创

立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的

天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是()

A.复数e号为纯虚数

B复数矿对应点位千第二象限

，冗＄l

C.复数'3的共辄复数为—-－－i

e22

D.复数ei0(0ER)在复平面内对应的点的轨迹是圆

10.若实数a,b满足lnb<lna<O,则下列结论中正确的是（)

11

A.a2<b2B.一＜一

ab

C.log03<logb3D.a">ba

II.设函数f(x)=IcosxI+cos2x,则下列结论中正确的是（)

A.f(x)的最小正周期为冗B.f(x)在［0，互］单调递减

3

冗

C.f(x)的图象关千直线x=－对称D.f(x)的值城为[-1,2]

4

12.在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E,F,M分别为BC,CD,BE的中点，分别沿AE,AF

及EF所在直线把A心沼，VAFD和6EFC折起，使B,C,D三点重合于点P,得到三棱锥

P-AEF，如图2所示，则下列结论中正确的是（)

A

Dp

F

A

E

BME

图l图2

A.PA..lEF

B.三棱锥M-AEF体积为4

C.三棱锥P-AEF外接球的表面积为24冗

D.过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为［冗，6元l

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13_log2sinl5°-log1cos345°=

14.某社区对在抗击疫悄工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留

念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为.

15.在心ABC中，内角A,8,C的对边分别为a,b,c,若a+c=4,且sinA,sinB,sinC成等差数

列，则心ABC的面积的最大值为

16.某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至

下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1,2,5,10,17,．．．的通项公式为,

编码99共出现次．

lll1ll...

I23456...

I357911...

I47101316...

159131721...

1611162126...

.....................

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.锐角t:.ABC的内角A.,8,C的对边分别为a,b,c,已知✓3bcosC=2asinA-✓3ccosB.

(1)求A;

(2)若b=2,D为AB的中点，求CD的取值范围．

19新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短

缺的压力．在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青眯，新能源汽车产业也必将

成为未来汽车产业发展的导向与目标．某车企随机调查了今年3月份购买本车企生产的汽车的100位车

主，经统计其购车种类与性别情况如下表：

单位：人

购置新能源汽车购置传统燃油汽车总计

男性501060

女性251540

总计7525100

(1)根据表中数据，在犯错误的概率不超过2.5％的前提下，是否可以认为购车种类与性别有关：

(2)用样本估计总体，用本车企售出汽车样本的频率代替售出汽车的概率，从该车企今年3月份售出的

汽车中，随机抽取3辆汽车，设被抽取的3辆汽车中属千传统燃油汽车的辆数为X,求X的分布列及数学

期望

n(ad-bc)2

附：x2=,n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a=P(x2江）0.150IO0.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.84150246.6357.87910.828

2l已知公差为d的等差数列{a,，}和公比q<O的等比数列｛丸｝中，a.=b1=1,a2+b3=3,

a3+b1=2.

(1)求数列忆｝和｛丸｝的通项公式；

(2)令c,,=3""·b,~(neN*)，抽去数列忆｝的第3项、第6项、第9项、．．．．、第3n项、．．．余下的项

的顺序不变，构成一个新数列｛凡｝，求数列｛凡｝的前n项和S,尸

23.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA上底面ABCD,底面ABCD是等腰梯形，ADIiBC,

BC=2AB=2AD=6✓2,E是PB上一点，且PB=3PE.

p

---勹,A--.::二一、二

B芷--飞一、C

(1)求证：PD/／平面AEC;

(2)已知平面AEC.l_平面PBC,求二而角A-CE-D的余弦值．

1

25已知抛物线C:x2=2py(p>0)在点M(Ly。)处的切线斜率为一．

2

(1)求抛物线C的方程；

(2)若抛物线C上存在不同的两点关千直线l:y=2x+m对称，求实数m的取值范围．

27.已知函数f(x)==x-lnx.

(1)若对任意XE(0，七Y:>),f(x)~m.x-1恒成立，求实数m的取值范围；

(2)设函数h(x)==f(x)+(2-x)e.｀在（扣］上的最小值为a,求怔：(a-3)(a-4)<0.

高三数学试题

2022.5

本试卷共4页，共22小题，满分150分，考试用时120分钟．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

l已知全集V={xeNl-2<x<4},A={O,l}，则9;A=C)

A.{-1,2,3}B.{-1,0,2,3}

C.{2,3,4}D.{2,3}

【I题答案】

（答案】D

【韶析】

【分析】根据给定条件，用列举法求出全集U,再利用补集的定义计算作答．

【详解】依题意，全栠U={0,1,2,3}，而A={0,1},

所以9;A={2,3}

故选：D

2.在正方体ABCD—AB1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为a,直线BD1与平面CDD,CI所成的

角为/3'则a+/3＝()

冗冗

冗B一c一2冗

A.-32D.

43

【2题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据异面直线所成角及线面角的定义，可得直线BD1与直线AD所成的角a＝乙D,BC,直线BDI

与平面CDDICI所成的角/3=乙D1BC,从而即可求解

【详解】解：在正方体ABCD-AB,C,D,中，

因为ADIIBC,所以直线BDI与直线AD所成的角a＝乙DIBC,

因为BCJ_平面CDD1C1,所以DIC为D心在平面CDDICI上的射影，

所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角fJ＝乙BD,C,

又BC.l平面CDDIC)，所以BC.lD1C,

冗冗

所以乙D,BCiBC+＋乙L.BDI,CC==~—'即a+/3＝－,

22

D1

^C1

A1

I.、le

D广－－丫

/产>\

//\

A

故选：C.

1

3设随机变昼X-N(µ,a-2)，则”µ2l”是“P(X<2)＜一”()

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【3题答案】

【答案】B

【斛析】

【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案．

ll

【详解】当µ=l时，根据正态曲线的对称性可知P(X<2)＞一，故µ~1不是P(X<2)＜一的充分条件；

22

ll

反之，若P(X<2)＜一，由对称性可知µ~1,故µ~1是P(X<2)＜一的必要条件；

22

1

故µ之1是P(X<2)＜一的必要不充分条件，

2

故选：B

4函数．f（x)在[O,+oo)单调递减，且为偶团数．若f(2)=-1，则满足f(x-3)之－l的X的取值范围

是

A.[1,5]B.[l,3]c.[3,5)D.[-2,2]

【4匙答案】

（答案】A

【解析】

【分析】先根据函数奇偶性以及单调性转化不等式，再解含绝对值不等式得结果

【详解】因为函数f(x)为偶函数，所以/(x-3)~-1=/(2)等价于J(lx-3|）之f(2)，

因为函数J(x)在[o,扛o)单调递减，所以lx-31::;2,-2::;x-3::;2,':::;X:::;，选A.

【点睛】解抽象函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x)）的形式，然后根据

函数的单调性去掉“f",转化为具体的不等式（组），此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义

域内

5在“ABC中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若瓦V＝几砐＋µA<.了（儿，

)

µeR),则儿＋µ的取值范围是（

C.[0,1]D.[1,2)

A［叶］B［昙］

【5题答案】

（答案】C

【韶析】

【分析】设兀v=t元if,(O:s;区1)，当t=O时可得A=µ=O,从而有入＋µ=0;当O<t~I时，有

—一入—µ—l.m

AM=—AB+—AC，根据M、B、C三点共线，可得－＋－＝l,进而可得入＋,Ll=tE(0,1]1,从而即

ttt

可求解

【详解】解：由题意，设瓦v=t瓦订，（0三t三l),

Bc

ilf

当t=O时，瓦V=O，所以儿五B+µAC=O,

所以入＝µ=0，从而有入＋µ=0;

当O<t:=;;l时，因为瓦V＝几豆让µA<了（入，µeR),

A—µ—

所以t瓦订＝入-AB+µAC-，即AM=—－AB+－AC

tt

因为M、B、C三点共线，所以仁巴＝1,即A+µ=tE(0,1]

tt

综上，入＋µ的取值范围是[0,l].

故选：C.

6已知直线l:（矿＋m+l)x+(3—2m)y—2m2—5=0，圆C:x2+y2-2x=0，则直线l与圆C的位置

关系是（)

A.相离B.相切C.相交D.不确定

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】求出直线l过的定点，再判断此定点与圆C的位置关系即可作答

【详解】直线l:（矿＋m+1)x+(3-2m)y-2m2-5=0，即（x-2)m2+(x-2y)m+(x+3y-5)=0,

由｛言＝0O解得厂勹，因此，直线l恒过定占A(2,l),

x+3y-5=0

又圆C:x2+y2-2x=O,即（x－l)2+y2=l，显然点A在圆C外，

所以直线l与圆C可能相离，可能相切，也可能相交，A,B,C都不正确，D正确

故选：D

冗

7.函数f(x)=Asin(wx＋份）（A>O,w>O,|吩|＜－）的部分图像如图所示，现将函数f(x)的图像向左平移

2

—个单位长度，再将图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图像，则

6

g(x)的表达式可以为（)

U

X

冗冗

A.g(x)=2sin(x+—)B.g(x)=2cos(x-—)

33

l冗l冗

C.g(x)=2sin(-:-x+~)D.g(x)=2cos(-::-x--=:--)

2623

【7题答案】

【答案】B

【解析】

冗7冗T7冗3T

【分析】先由图像中最大值及/(0)=-1求出A=2、¢=－－，再结合八一－）＝0及一＜一一＜－－求得

6l22l24

冗

妒2,即可求得f(x)=2sin(2x-－），最后通过平移伸缩变换得到g(x)即可

6

【详解】由图像可知：A=2:f(0)=2sin¢=-l,又协I<:，所以从＝—:；由

卢）＝2sin（。气＿勹＝0，可归互＿巴＝k冗，k立，解得Q＝旦卢，又仁互卫，即

12l26126772124

12冗7n32冗1218冗

一·—<—<－·—，解得—<Q<—，故k=l.m=2,即f(x)=2sin(2x-~)，将函数f(x)的图

2ol24o776

像向左平移芒个单位长度得y-2sin[2(x＋冗-)-—冗l=2sin(2x+-¾(冗，再将图像上所有点的横坐标伸长为

66)66

原来的2倍得g(x)=2sin(x+i)=2sin(x千f)=2cos(x-f)

故选：B.

8.已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左、右焦点E,F2，若C,,C2在第一象限内的交点为P,且满足

乙POF2=2乙PF;F2,设e,,e2分别是C1,C2的离心率，则e,,e2的关系是（)

A.e1e2=2B.e12+e;=2

C.忒＋e凸＋e;=2D.e12+e;=2e12妗

【8题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】由乙POF2=2乙PF;F2结合外角定理可得乙PF;F2=乙F;PO,然后可得PF;..lPF2,

再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得

【详解】因为乙POF2＝乙PE凡＋乙F;PO,乙POF2=2乙PF;F2

所以乙PF尤＝乙F;PO,所以OF;=OP=OF2=c

所以PE..lPF2,

记椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2,PF;=m,PF2=n

则由椭圆和双曲线定义可得：m+n=2a1...(D

m—n=2a2…@

穸＋＠可得2(ni2+n2)=4(a~+a;)

由勾股定理知，m2+n2=4c2,代入上式可得2c2=a}+ai

a2a211

整理得1+=2，即下十六＝2

c2c2e1-e;

所以忒＋e;=2e沁

故选：D

X

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.欧拉公式e''=cosx+isinx（本题中e为自然对数的底数，］为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创

立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被眷为“数学中的

天桥”依据欧拉公式，则下列结论中正确的是（)

只．

A.复数万为纯虚数e

B.复数矿对应的点位千第二象限

冗.jj1

C复数＇了的共扼复数为—-－-i

e22

D.复数e]。(BER)在复平面内对应的点的轨迹是圆

【9匙答案】

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据纯虚数、共辄复数的定义，及复数的几何意义，对各选项逐一分析即可求解．

，巴

【详解】解：对A:因为复数e2=cos产＋isin王＝i为纯虚数，故选项A正确；

22

对B:复数e;2=cos2+isin2,因为cos2<0,sin2>0,所以复数矿对应的点为(cos2,sin2)位于第二象

限，B正确；

，巴冗冗l§lJ5

对C:复数e3=cos-＋isin-＝－＋-－i的共枙复数为－－－－i'故选项C错误；

332222

对D:复数e;0=cos0+isin0(0eR)在复平面内对应的点为(cos0,sin0),

因为cos20+sin20=1，所以复数e;o(0ER)在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D正确．

故选：ABD.

10.若实数a,b满足lnb<lna<O,则下列结论中正确是（)

11

A.a2<b2B.-<-

ab

C.log03<logb3D.ab>b"

(10题答案】

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据给定条件，求出a,b的关系，再利用不等式性质判断A,B;指对数函数、幕函数单调性分析

判断C,D作答

【详解】因lnb<lna<O,则O<b<a<l,千是有矿＜矿，A不正确；

llb-all

-－－＝—<0，即一＜一，B正确；

abab·ab

由O<b<a<l得：log3b<log3a<0¢::>~<~<0,因此，log03<logb3,C正确；

logb3log"3

因O<b<a<l,函数y＝矿在R上单调递减，函数y=x。在(0,+co)上单调递增，则矿＞aa>ha'D正

确

故选：BCD

ll．设函数f(x)=IcosxI+cos2x,则下列结论中正确的是（)

A.f(x)的最小正周期为冗B.f(x)在［0，气］单调递减

冗

C.f(x)的图象关于直线x=－对称D.f(x)的值城为[-1,2]

4

【11题答案】

［答案】AD

［解析】

【分析】求出函数的周期性判断A;讨论f(x)在子区间上单调性判断B;举例说明判断C;分段讨论函数

并求出值域判断D作答．

【详解】依题意，f(x＋冗）叫cos(x＋冗）I+cos2(x＋冗）＝IcosxI+cos2x=f(x)，则f(x)的最小正周期

为冗，A正确；

2冗l

当王三立—时，令t=COSXE[—一，0],f(x)=2cos2x-cosx-1=2t2-t-1,

23-2

1冗2冗冗2兀

而函数y=2t2-t-l在[—一，0］上单调递减，t=cosx在［一，一－］上单调递减，因此，f(x)在［一，—-］上

22323

单调递增，B不正确；

冗冗7t

因f(0)=2,f(—)＝—1,即f(x)图象上的点（0,2)关千直线x=—对称点（一，2）不在f(x)的图象上，C

242

不正确；

l29

当cosx<O时，f(x)=2cos2x-cosx-1=2(cosx-—)－-，则f(x)e(-1,2],

48

当cosx以0时，f(x)=2cos2x+cosx-1E[-1,2]，因此，f(x)的值城为[-1,2],D正确

故选：AD

12.在边长为4的正方形ABCD中，如图1所示，E,F,M分别为BC,CD,BE的中点，分别沿AE,AF

及EF所在直线把么儿邓，VAFD和丛EFC折起，使B,C,D三点重合千点P，得到三棱锥

P-AEF，如图2所示，则下列结论中正确的是（)

A

Dp

FF

A

E

BME

胆l图2

A.PA上EF

B.三棱锥M—AEF的体积为4

C.三棱锥P—AEF外接球的表面积为24冗

D.过点M的平面截三棱锥P—AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为［兀，6兀］

【12题答案】

［答案】ABD

［解析】

【分析】将三棱锥补形为边长为2,2,4的长方体，对A:由AP上平而PEF即可判断；对B:由

VM-A£F=~VP-AEF即可求解；对C:三棱锥P-AEF外接球即为补形后长方体的外接球，从而即可求解；

2

对D:由最大截面为过球心0的大圆，最小截面为过点M垂直于球心0与M连线的圆即可求解．

【详解】解：由题意，将三棱锥补形为边长为2,2,4长方体，如图所示：

A

-－－－－刁

/

/l

E~:

对A:因为AP..lPE,AP..lPF,PEnPF=P,所以AP..l平面PEF,所以PA..lEF,故选项A

正确；

llll4

对B：因为M为BE的中点，所以VM-AEF=~VP-AEF=~x~x~x2x2x4=－，故选项B错误；

22323

对C:三棱锥P-AEF外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径

(2R)2=22+22+42=24，所以三棱锥P-AEF外接球的表面积为S=4冗R2=24冗，故选项C正确；

对D:过点M的平面截三棱锥P-AEF的外接球所得截面为圆，其中最大截而为过球心0的大圆，此时

截面圆的面积为冗R2＝冗（高）＝6冗，最小截面为过点M垂直于球心0与M连线的圆，此时截面圆半

径r=JR2-0户＝』仁3=1，截面圆的面积为1rr2＝冗，所以过点M的平面截三棱锥P-AEF的外

接球所得截面的面积的取值范围为［冗，6冗］，故选项D正确．

故选：ABO.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13_log2sinl5°-log.!.cos345°=

【13题答案】

【答案】－2

【解析】

【分析】根据诱导公式可得cos345°=cos15°'进而根据对数的运算性质及二倍角正弦公式化简即可求解．

【详解】解：因为cos345°=cos(360°-15°)=cosl5°,

所以log2sin15°—log_I_cos345°=log2sin15°+log2cosl5°=log2(sin15°cosl5°)

=log2(½sin30°)=Jog2=—2,

2¼4

故答案为：—2.

14.某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士和1位社区工作人员进行表彰并合影留

念．现将这6人随机排成一排，则3位医生中有且只有2位相邻的概率为.

(14题答案】

3

【答案】－＃＃0.6

5

【解析】

【分析】由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，然后将3位医生分成两组，一组2人一组］

人，最后利用插空法即可得3位医生中有且只有2位相邻的排法，从而根据古典概型的概率计算公式即可

求解

【详解】解：由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，有忒种排法，然后将3位医生分成两

组，一组2人一组］人，有C；种分组方法，然后插入到2位护士和1位社区工作人员所排成的4个空中的

2个空，有忒种插空方法，最后交换相邻2位医生的位置有A；种方法，所以3位医生中有且只有2位相邻

共有A;C;及A;=432种排法，又6人随机排成一排有A~种排法，

A盓A：忒3

所以所求概率为p==-

A65

3

故答案为：一．

5

15.在t:..ABC中，内角A,8,C对边分别为a,b.c,若a+c=4,且sinA.sinB,sinC成等差数

列，则t:..ABC的面积的最大值为.

【15题答案】

【答案】§

【解析】

【分析】由sinA,sinB,sinC成等差数列，结合正弦定理可得2b=a+c,进而可得b=2,由余弦定

理结合基本不等式可得ac(l+cosB)=6,2~ac(l-cosB)，从而根据AABC的面积公式即可求解．

【详解】解：因为sinA,sinB,sinC成等差数列，

所以2sinB=sinA+sinC,

由正弦定理可得2b=a+c,又a+c=4,所以2b=4,即b=2,

所以由余弦定理可得22=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,即ac(l+cosB)=6,

又22=a2+c2-2accosB~2ac-2accosB，即2~ac(l-cosB)，当且仅当a=c时等号成立，

所以2x6~ac(l—cosB)xac(l+cosB)，即2x6~(acsinB)2,

因为sinB>O,所以acsinB~2✓3,

所以S心ABC=~acsinB~✓3,

2

所以心ABC的面积的最大值为§.

故答案为：石．

16某资料室在计算机使用中，出现如表所示的以一定规则排列的编码，表中的编码从左至右以及从上至

下都是无限的，此表中，主对角线上的数字构成的数列1,2,5,10,17,的通项公式为,

编码99共出现次．

11I111...

123456...

1357911...

147101316...

159131721...

I611162126...

.....................

【16题答案】

【答案】CD.n2-2n+2®·6

【解析】

【分析】观察表中形成的数列1,2,5,10,17,．．．，第二项比第一项大1,第三相比第二项大3,第四相比第三

项大s,第五相比第四项大7,依此类推，后一项与前一项的差形成一个公差为2的等差数列，用叠加法可

求解第一空；观察可得第m行的第n个数为l+(n—J)(m—l)，令l+(n—l)(m—1)=99，则（n—l)(m—1)=98,

解出满足条件的m,n即可求解第二个空

【详解】解：设主对角线上的数字构成的数列I,2,5,10,17,．．为{a11},

因为a广q=1,

生一生＝3,

a4一生＝5,

a11-a11_,=2(n-1)-1,

将以上n-1个式子相加，可得

(n—t)[l+(2n—3)]2

a11=1+3+5+···+(2n-3)+1=~+1=()(n-lr+1=n2-2n+2;

由编码观察可得，第m行是首项为1，公差为m-l的等差数列，则第m行的第n个数为

l+(n-l)(m-1),

令I+(n-l)(m—I)=99,则（n-l)(m-1)=98,

所以{mn—-11==981或{nlm-1-1==492或{nlm-l-1==147或{n-1lm-1==198或{nlm-l-1=49=2或{lmn-l-1==714

所以99共出现6次．

故答案为：n2-2n+2;6.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.锐角“ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知✓3bcosC=2asinA-✓:,ccosB.

(1)求A;

(2)若b=2,D为AB的中点，求CD的取值范围．

(17题答案】

【答案】Cl)A=.