清华大学微积分高等数学课件第讲简单常微分方程一市公开课金奖市赛课一等奖课件

作业P227习题8.11(2)(4)(6)(8).4.P236习题8.21(2)(4)(6).10/10/1第1页第1页第二十一讲简朴常微分方程(一)一、微分方程基本概念二、一阶常微分方程10/10/2第2页第2页十七世纪末，力学、天文学、物理学及工程技术提出大量需要寻求函数关系问题。在这些问题中，函数关系不能直接写出来，而要依据详细问题条件和一些物理定律，首先得到一个或几种含有未知函数导数关系式，即微分方程，然后由微分方程和一些已知条件把未知函数求出来。一、微分方程基本概念10/10/3第3页第3页重力切向分力[解]10/10/4第4页第4页依据牛顿第二定律,得到注意到从而有微分方程初始条件定解条件定解问题10/10/5第5页第5页

定义1:含有未知函数导数方程称为微分方程.未知函数是一元函数,含有未知函数导数微分方程称为常微分方程.未知函数是多元函数,含有未知函数偏导数微分方程称为偏微分方程.比如10/10/6第6页第6页比如二阶未知函数导数最高阶数称为微分方程阶.定义2:(微分方程阶)10/10/7第7页第7页未知函数及其各阶导数都是一次整式微分方程称为线性微分方程.定义3:(线性与非线性)10/10/8第8页第8页定义4:(微分方程解)称为微分方程通解.微分方程通解：10/10/9第9页第9页10/10/10第10页第10页微分方程特解：一个常微分方程满足定解条件解称为微分方程特解通解有时也写成隐式形式称为微分方程通积分10/10/11第11页第11页10/10/12第12页第12页有n个定解条件10/10/13第13页第13页定义5:(积分曲线与积分曲线族)积分曲线族10/10/14第14页第14页二、一阶常微分方程初等积分法所谓初等解法,就是用不定积分办法求解常微分方程.初等解法只适合用于若干非常简朴一阶常微分方程,以及一些特殊类型二阶常微分方程.10/10/15第15页第15页(一)

变量可分离型(三)一阶线性方程(二)可化为可分离变量(五)全微分方程(四)伯努利(Bernoulli)方程(六)积分因子10/10/16第16页第16页两边积分通解分离变量这两个方程共同特点是变量可分离型(一)

分离变量法10/10/17第17页第17页(1)[解]两边积分分离变量即10/10/18第18页第18页(分离变量时,这个解被丢掉了!)于是得到方程通解10/10/19第19页第19页(2)[解]分离变量两端积分,得通解奇异解10/10/20第20页第20页(二)可化为可分离变量这两个方程共同特点是什麽?可化为齐次型方程10/10/21第21页第21页求解办法这是什麽方程？可分离变量方程！10/10/22第22页第22页分离变量两端积分10/10/23第23页第23页取指数并且脱去绝对值由此又得到通解10/10/24第24页第24页10/10/25第25页第25页两端积分得通解10/10/26第26页第26页10/10/27第27页第27页(三)一阶线性微分方程10/10/28第28页第28页性质1：性质2：性质3：10/10/29第29页第29页性质4：性质5：10/10/30第30页第30页(1)如何解齐次方程？非齐次齐次可分离型！原则形式：什麽类型？一阶线性微分方程10/10/31第31页第31页分离变量是p(x)一个原函数不是不定积分！齐次通解解得注意：齐次通解结构：10/10/32第32页第32页(2)用常数变异法解非齐次方程假定(1)解含有形式将这个解代入(1),经计算得到10/10/33第33页第33页化简得到即10/10/34第34页第34页积分从而得到非齐次方程(1)通解非齐次通解或10/10/35第35页第35页非齐次通解结构：特解非齐次特解10/10/36第36页第36页10/10/37第37页第37页这是线性方程吗？是关于函数x=x(y)一阶线性方程！[解