珠海市2012年高中数学竞赛(高二卷)参考答案

_____________号位座_________号室考________________名姓____________级班______________校学

.珠海市2012年高中数学竞赛（高二卷）参照答案时间：2012年12月23日9：00——11：00注意：能够使用计算器，但不得相互借用。监考老师不回答任何与内容相关的问题．一、填空题（每题6分共60分）1．函数yg(x)的定义域是[3,2)，则yg(x2)的定义域是_______________．(2,2)2．察看右式，找出规律，并给出结果：21.12121223．函数f(x)log2x，g(x)2xm，关于随意x1,x2[1,8]，f(x1)g(x2)恒建立，则m的范围是.（区间形式）(,16]3sin(x)4．函数y3的值域是_____________．[1,1]2cos(x)35．设数列an满足a11，an13an2n1，则a2012_________________．23201220126．将函数y3cos(2x3)的图象上的每个点的横坐标扩大为原来的2倍,然后将所得图象向右平移6个单位,再将所得图象上每个点的纵坐标缩小为原来的二分之一，获得函数3cos(x___________________的图象.y)267．若向量e1212121+2与e知足：|e|=2|e|=2，e与e所夹的角为60°，则|ee|=____________．78.已知:a0,b0,ab43的最小值为_____________．7431,则的ba9.在棱长为1的正方体内一点动点P，它到正方体某共极点三个面的距离之和为2，则它的运动轨迹组成的图形面积为____________．3210.已知定义在R上的函数yf(x)知足：f(1x)f(1x),f(2x)f(2x)0，且在[9,10）上f(x)xlog2(x9)。则f(20123___________．37)24;..二、解答题(共60分)（20分）已知直角梯形ABCD，A（0，0），B（3，0），C（2，2），D（0，2），请在四边形ABCD内找一点P，使它到四边形四个极点的距离之和最短，求出P的坐标，并说明原因。解：设AB直线与BD直线的交点为P，则PAPCPBPDACBD，DCP设四边形之内另一点Q，连结AQ，BQ，CQ，DQ，则有：QAQCAC，QBQDDB，AQB∴QAQBQCQDACBD。AC(20,20)(2,2),BD(03,20)(3,2)设P(x,y)，则有AP(x,y)AC(2,2)，∴xy，BP(x3,y)BDk(3,2)，∴2(x3)3y，解得：y666)。x，∴P(,555;..12.（20分）正三角形ABC的边长为1，D和E分别为边AB和AC上的点，将三角形沿DE对折，极点A恰巧落在边BC上的点F处，设BDx,BFy，求（1）知足x,y的关系式；（2）x的取值范围。解：连结DF，在三角形BDF中，由余弦定理，即DF2BD2BF22BDBFcos60，所以y2xy2x10,0y1，令t2y，则x1y21(2t)2(t3)24,1t2，2ytt所以，x的取值范围为[0,423];..13．（20分）在数列{an}中，a11,3anan1anan10(n2).（1）求数列{an}的通项；（2）若an1对随意n2的整数恒建立，求实数的取值范围；an1（3）设数列bnan，{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn2(3n11)3解（1）将3anan1anan10(n113(n2)2)整理得：an1an所以113(n1)3n2，即an1an3n2n1时，上式也建立，所以，1an23n（2）若an1恒建立，即3n1恒建立an13n2整理得：(3n1)(3n2)3(n1)令cn(3n1)(3n2)3(n1)cn1cn(3n4)(3n1)(3n1)(3n2)(3n1)(3n4)3n3(n1)3n(n1)因为n2，所以上式0，即{cn}为单一递增数列，所以28c2最小，c2，283所以的取值范