人教版八年级数学上册课题学习《最短路径问题》练习题

13.4

课题学习

最短路径题．最短路径问题求线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异的个点，在l找一个点，使CACB最，这时点是线l与的点．求线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同的个点，在l找一个点，使CACB最，这时先作点B于直线l的对称点B′，则点是线l与AB的交点．为了证明点位置即为所求不妨在直线上另外任取一点C′AC′′，B′C′，证明＋CB′＋CB如：证明：由作图可知，点和B′关于直线l对，所以直线l是段′的垂直平分线．因为点C与′直线l，所以BC′，′＝′C′在eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)′C′中，′＜′＋′′所以AC′＜′＋′C′，所以AC＜AC＋′B【例】在图直线l上到一点，它到，两点的距离和最小．分：确定其中一个点关于直线l的称，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为求的点．解如图所示：作点关直线l的称点′(2)连接′交直线l于M.(3)则点M即所求的点．点拨运用轴对称变换及性质将在一条直线上的两条线段转化到一条直线上后“点之间线段最短”解问.

运用轴称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质所线段之和转化为一条线段的长解距离之和最小问题的基本思路论题目如何变化运用时要抓住直线同旁有两点这两点到直线上某点的距离和最小这核心，所有作法都相同．警区利用轴对称解决最值问题应注题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系通过比较来说明最问题是常用的一种方法决这类最值问题时要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题清导致答非所问．．利用平移确定最路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上果点在一条直线的同侧时两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大果两点在一条直线的异侧时两的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小可以用三角形三边关系来推理说明常据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时我们通常利用轴对称移变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例】如图小河边有两个村庄，，在河边建一来水厂向A村村水．(1)若要使厂部到A，B的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)若要使厂部到A，B村的水管最短，应建在什么地方？分：(1)到AB两距离相等，可联想“段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，又要在河边，所以作的直平分线，与交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、的距离之和最短，可联想“两点之间线最”作(B点关于对称点，连接对称点与B点与EF的点即为所求．解(1)如图，取线段的点G过中点画AB垂线，交于，则PA，B的离相等．也可分别以、B为圆心，以大于为径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点即为所求．(2)如图，画出点关于河岸EF的称点′连接A′B交EF于，则P，B的距离和最短．【例3如，从A地B地过一条小(河岸平行)，今欲在河上建一座与两垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地路程最？思路导引：从到要的线是A→→B，图所示，而MN是值，于是要使路程最短，只要＋BN最即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移到AC

从C到B应是余下的路程，连接的段即为最短的，此时难说明点N即建桥位，MN即所的桥．解(1)如图，过点A作垂于河岸，且使等河宽．(2)连接与岸的一边交于点(3)过点N作岸垂线交另一条河岸于点M.则为所建的桥的位置．．生活中的距离最问题由两点之间线段最短或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问，就是运用等量代换的方式把几条线的和想办法转化在一条线段上从而解决这个问题运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图AO＋BO＝AC的．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例】(实应用题茅坪民族中学(2)举行文艺晚会子摆成如图所两直排(图中的)AO桌上摆满了橘子面上摆满了糖果，站在C的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a

图b解如图b.(1)作点于OA的对点C，D点于OB的对称点D，(2)接D分别交11OA，OB于Q那么小明沿C→P→→D路线行走，所走的总路程最短．运用轴称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键其中一点关于对称轴的对称点然连接对点和另一个点所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例】如所示，A，两点在直线l的侧，在l上一点，使点C到AB的距离之差最大．分题的突破点是作点A或)关于直线l的对称点′(或B′线A′BAB′)与直线l交点C把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边解决．解如图所示，以直线l为称轴，作点A关直线l的对称点′A′的线交l于点C为所求线l上找一点C′(异于点)′C′.因为点A，A′关于直线l对，所以l线段AA的垂直平分