广西防城港市防城中学2021届高三上学期10月月考数学试卷含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精广西防城港市防城中学2021届高三上学期10月月考数学（文）试卷含答案防城港市防城中学2020年秋季期10月高三数学（文科）月考试题一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合，则（）A．[0，1］ B．（0,1］ C．[0，1） D．（﹣∞，1]2．若复数（为虚数单位）,则＝(）A．2 B．1 C． D．3．等比数列中，,则与的等比中项是（)A．±4 B．4 C． D．4．△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，则cosC＝（）A． B． C． D．5．已知向量与，则“”是“共线且方向相反”的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63,则判断框中的整数M的值是（）A．5 B．6 C．7 D．87．在空间中,a、b、c是三条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若a⊂α,b⊂β，α⊥β，则a⊥b C．若a∥α,b∥β,α∥β，则a∥b D．若α∥β，a⊂α,则a∥β8．设连续抛掷骰子两次所得的点数构成点，则点落在圆内的概率为（）A． B． C． D．9．函数的图象可能是（）A． B． C． D．10．已知，则a，b，c的大小关系为(）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a11．已知F1，F2是椭圆C：的左、右焦点,A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为(）A． B． C． D．12．定义在R上的奇函数满足,且在[0，1）上单调递减，若方程在［0，1）上有实数根，则方程在区间[﹣1,11]上所有实根之和是(）A．30 B．14 C．12 D．6二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数的定义域为.14．若x，y满足则的最大值为．15．已知函数的图象在点处的切线过点，则＝．16．已知，若不等式对一切x∈R恒成立,则的最大值为．三．解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必答题，每道试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设（1）求角的大小；（2)若，求．18．（本小题满分12分）手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位:百步),绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2)若该单位有职工200人,试估计职工一天行走步数不大于13000的人数;（3）在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间（150，170］的概率．19．（本小题满分12分)如图,直四棱柱的底面是菱形,，E，M分别是的中点．（1）证明:点在平面内；（2）已知在上，若，求线段的长．20．(本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为．（1)求椭圆C的方程;(2）斜率为的动直线与椭圆C交于A、B两点，点在直线上，求证无论直线如何转动,以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．21．（本小题满分12分)设函数。（1）讨论单调性；(2)若;对于任意的，使得恒成立，求的取值范围．22．(本小题满分10分)在直角坐标系中，点，直线的参数方程是(t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系下的标准方程；（Ⅱ）已知与圆C交于A，B两点，且，求的普通方程．23．（本小题满分10分）已知函数（1）时，求不等式的解集；（2）若函数的图象恒在直线y＝x的图象的上方（无公共点)，求实数m的取值范围．

防城港市防城中学2020年秋季期10月高三数学（文科）月考试题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．设集合M＝{x｜x2＝x}，N＝｛x|lgx≤0},则M∪N＝（）A．［0，1］ B．（0，1] C．［0，1） D．（﹣∞，1]【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．【解答】解：由M＝｛x｜x2＝x}＝｛0,1}，N＝｛x｜lgx≤0}＝（0,1］,得M∪N＝｛0，1｝∪(0,1]＝［0，1］．故选：A．【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．2．若复数（i为虚数单位）,则｜z|＝（）A．2 B．1 C． D．【分析】根据复数的运算性质计算即可．【解答】解：＝＝i，故｜z|＝，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算,复数求模问题，熟练掌握复数的运算性质是解题的关键．3．等比数列{an}中，，则a4与a8的等比中项是（）A．±4 B．4 C． D．【分析】利用等比数列的通项公式可得a6．再利用a4a8＝，即可得出a4与a8的等比中项．【解答】解：∵,∴a6＝a2×q4＝×24＝4．又a4a8＝＝16．∴a4与a8的等比中项是±4．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与性质、等比中项,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，则cosC＝（）A． B． C． D．【分析】由已知及正弦定理可得sinC＝＝,又AB＜AC，利用大边对大角可得C为锐角，根据同角三角函数基本关系式即可求得cosC得值．【解答】解:∵AB＝2,AC＝3,∠B＝60°，∴由正弦定理可得：sinC＝＝＝，又∵AB＜AC，C为锐角,∴cosC＝＝．故选:D．【点评】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．已知向量与，则“k＝±2”是“共线且方向相反”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由向量共线的坐标运算可得，k＝±2，得到共线，方向相同或相反；反之，共线且方向相反，得到k＝﹣2，则k＝±2．【解答】解：由,，且共线，得k2﹣4＝0，解得k＝±2．当k＝2时，，，共线且方向相同；当k＝﹣2时,，＝，共线且方向相反．∴“k＝±2"是“共线且方向相反"的必要不充分条件．故选:B．【点评】本题考查充分必要条件的判定,考查向量共线的坐标运算，是基础题．6．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是（)A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由图知，每次进入循环体后，S的值被施加的运算是乘以2加上1，由此运算规律进行计算，经过运算后输出的结果是63，从而得解．【解答】解：由图知运算规则是对S＝2S+1，执行程序框图，可得A＝1，S＝1满足条件A≤M，第一次进入循环体后S＝2×1+1＝3，满足条件A≤M,第二次进入循环体后S＝2×3+1＝7，满足条件A≤M，第三次进入循环体后S＝2×7+1＝15，满足条件A≤M，第四次进入循环体后S＝2×15+1＝31，满足条件A≤M,第五次进入循环体后S＝2×31+1＝63，由于A的初值为1，每进入一次循环体其值增大1，第五次进入循环体后A＝5．故判断框中的整数M的值应为5，这样就可保证循环体只能被运行五次．故选：A．【点评】本题考查循环结构，已知运算规则与最后运算结果，求运算次数的一个题．是算法中一种常见的题型，属于基础题．7．在空间中，a、b、c是三条不同的直线，α、β是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是（）A．若a⊥c，b⊥c，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b C．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b D．若α∥β，a⊂α，则a∥β【分析】由空间中直线与直线的位置关系判定A；由空间中平面与平面垂直的定义及性质判断B;由直线与平面、平面与平面平行的性质判断C；由平面与平面、直线与平面平行的定义判断D．【解答】解:对于A,若a⊥c，b⊥c，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故A错误;对于B，若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a∥b或a与b相交或a与b异面，故B错误；对于C，若a∥α，b∥β,α∥β，则a∥b或a与b异面，故C错误；对于D，若α∥β，a⊂α，则a∥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．8．选D9．函数f（x）＝x•ln|x｜的图象可能是（)A． B． C． D．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．【解答】解：函数f（x）＝x•ln|x｜是奇函数，排除选项A,C;当x＝时，y＝,对应点在x轴下方，排除B；故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．10．已知a＝30。2,b＝log64,c＝log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】a＝30。2＞1，利用换底公式可得：b＝log64＝，c＝log32＝，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a＝30。2＞1,b＝log64＝，c＝log32＝＝，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c,故选:B．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力,属于中档题．11．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A． B． C． D．【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0）,F2(c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c,则P（2c,c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．【点评】本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想,属于中档题．12．定义在R上的奇函数f（x）满足f(2﹣x）＝f（x）,且在[0，1)上单调递减，若方程f（x)＝﹣1在［0,1）上有实数根，则方程f（x）＝1在区间[﹣1，11］上所有实根之和是(）A．30 B．14 C．12 D．6【分析】根据条件可得出f（x）的图象关于x＝1对称，f（x）的周期为4，从而可考虑f（x）的一个周期，利用[﹣1，3]，根据f（x）在[0，1）上是减函数可得出f（x)在(1，2］上是增函数,f(x）在（﹣1，0）上是减函数,在[2，3）上是增函数，然后根据f(x)＝﹣1在[0，1）上有实数根,可判断该实数根是唯一的．并可判断f（x)＝﹣1在一个周期［﹣1，3]内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出f（x）＝﹣1在区间[﹣1，11]这三个周期内上有6个实数根，和为30．【解答】解：由f（2﹣x）＝f（x）知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，∵f（2﹣x）＝f（x),f（x)是R上的奇函数，∴f(﹣x）＝f（x+2)＝﹣f（x），∴f（x+4）＝f（x），∴f（x)的周期为4，考虑f（x）的一个周期,例如[﹣1，3],由f(x)在［0，1）上是减函数知f（x）在(1，2]上是增函数，f（x）在(﹣1，0］上是减函数，f(x）在［2,3）上是增函数,对于奇函数f（x)有f(0）＝0，f（2)＝f(2﹣2）＝f（0)＝0,故当x∈（0，1）时,f（x）＜f（0）＝0，当x∈（1，2)时,f（x）＜f（2）＝0，当x∈（﹣1，0)时,f（x)＞f（0）＝0，当x∈（2，3）时，f（x）＞f（2）＝0，方程f（x）＝﹣1在［0,1）上有实数根，则这实数根是唯一的，因为f（x）在（0，1）上是单调函数，则由于f（2﹣x)＝f（x）,故方程f（x）＝﹣1在（1，2）上有唯一实数，在(﹣1,0）和(2，3）上f（x）＞0，则方程f(x）＝﹣1在（﹣1，0)和(2，3）上没有实数根,从而方程f（x）＝﹣1在一个周期内有且仅有两个实数根，当x∈[﹣1，3]，方程f（x)＝﹣1的两实数根之和为x+2﹣x＝2，当x∈［﹣1,11]，方程f（x）＝﹣1的所有6个实数根之和为x+2﹣x+4+x+4+2﹣x+x+8+2﹣x+8＝2+8+2+8+2+8＝30．故选：A．【点评】本题考查了由f(2a﹣x）＝f（x）可判断f（x）关于x＝a对称，周期函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题．二．填空题（共4小题）13．14．若x，y满足则z＝x+2y的最大值为2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大,结合可行域可知当直线z＝x+2y过点B时z最大，求出B的坐标，代入z＝x+2y得答案．【解答】解:由足约束条件作出可行域如图，由z＝x+2y,得y＝﹣+．要使z最大，则直线y＝﹣+的截距最大，由图可知，当直线y＝﹣+．过点A时截距最大．联立，解得，∴A(0，1），∴z＝x+2y的最大值为0+2×1＝2．故答案为:2．【点评】本题考查了简单的线性规划，解答的关键是正确作出可行域，是中档题．15．已知函数f（x)＝ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7）,则a＝1．【分析】求出函数的导数,利用切线的方程经过的点求解即可．【解答】解:函数f（x)＝ax3+x+1的导数为：f′（x）＝3ax2+1，f′（1）＝3a+1,而f（1）＝a+2,切线方程为：y﹣a﹣2＝（3a+1）(x﹣1），因为切线方程经过（2，7），所以7﹣a﹣2＝（3a+1)（2﹣1），解得a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．16．已知f（x）＝，若不等式f（x﹣2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则a的最大值为﹣．【分析】根据分段函数的表达式,分别讨论x的取值范围，利用参数分离法求出a的范围即可得到结论．【解答】解:∵不等式f（x﹣2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，∴若x≤0，则x﹣2≤﹣2．则不等式f(x﹣2）≥f（x）等价为,﹣2（x﹣2）≥﹣2x，即4≥0,此时不等式恒成立，若0＜x≤2，则x﹣2≤0，则不等式f(x﹣2）≥f(x）等价为，﹣2(x﹣2）≥ax2+x，即ax2≤4﹣3x,则a≤＝﹣，设h（x）＝﹣＝4（﹣）2﹣，∵0＜x≤2，∴≥，则h（x）≥﹣，∴此时a≤﹣,若x＞2,则x﹣2＞0，则f（x﹣2）≥f（x)等价为，a（x﹣2）2+(x﹣2)≥ax2+x，即4a（1﹣x)≥2，∵x＞2，∴﹣x＜﹣2，1﹣x＜﹣1，则不等式等价,4a≤＝﹣即2a≤﹣则g（x）＝﹣在x＞2时，为增函数,∴g（x）＞g(2）＝﹣1，即2a≤﹣1，则a≤﹣，故a的最大值为﹣，方法2：作出函数f（x）和f(x﹣2）的图象，当a≥0时，f（x﹣2)≥f(x）对一切x∈R不恒成立，当a＜0时，f（x）＝﹣2x,x≤0,f（x﹣2）＝﹣2（x﹣2），则f（x﹣2过定点（2，0），当x＞0时，f（x）＝ax2+x的两个零点为x＝0和x＝﹣，要使不等式f（x﹣2）≥f（x)对一切x∈R恒成立，则只需要﹣≤2，得a≤﹣,即a的最大值为﹣,故答案为：﹣【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用分类讨论的数学思想，结合参数分离法进行求解即可．三．解答题（共7小题）18．手机运动计步已经成为一种新时尚．某单位统计了职工一天行走步数（单位:百步），绘制出如下频率分布直方图：（1）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；（2）若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数;(3）在（2）的条件下,该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间(150，170］的概率．【分析】（1）由频率和为1,列方程求出a的值，再利用中位数两边频率相等,求出中位数的值;（2）由频率×样本容量求出对应的频数即可；（3)根据分层抽样原理抽取6人,利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1)由题意,得0.002×20+0.006×20+0.008×20+a×20+0.010×20+0。008×20+0。002×20+0。002×20＝1，解得a＝0。012；设中位数为110+x，则0。002×20+0.006×20+0.008×20+0。012x＝0。5，解得x＝15,所以中位数是125;（2）由200×（0.002×20+0。006×20+0.008×20+0.012×20）＝112，所以估计职工一天步行数不大于13000步的人数为112人；（3)在区间(150，170]中有200×0.008×20＝32人,在区间（170，190]中有200×0。002×20＝8人，在区间（190，210]中有200×0.002×20＝8人,按分层抽样抽取6人，则从（150，170］中抽取4人，(170，190］中抽取1人，（190,210］中抽取1人；设从（150，170]中抽取职工为a、b、c、d,从(170，190]中抽取职工为E，从(190，210]中抽取职工为F,则从6人中抽取2人的情况有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF共15种情况，它们是等可能的，其中满足两人均来自区间(150，170]的有ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6种情况，所以P＝＝；所以两人均来自区间（150,170］的概率为．【点评】本题考查了频率分布直方图与古典概型的概率计算问题，是基础题．20．已知椭圆C：+＝1(a＞b＞0）的离心率为,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2．(1)求椭圆C的方程；（2）斜率为k的动直线I与椭圆C交于A、B两点,点S(﹣，0）在直线l上，求证无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T(1，0）．【分析】（1）根据题意,列式即可得a＝，c＝1，根据b2＝a2﹣c2＝1，进而解得椭圆方程；（2)根据题意，可得直线l的方程为：y＝k（x+），联立直线方程与椭圆方程，通过•＝0,进而证明无论直线l如何转动，以AB为直径的圆恒过点T（1，0）．【解答】解：(1）由题可知，解得,∵b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程为:+x2＝1．（2）证明：由题,直线l的方程为：y＝k（x+），设A(x1，y1），B（x2，y2），则代入椭圆方程+x2＝1，整理得(k2+2)x2+k2x+＝0．∵点S（﹣,0）在椭圆内，此方程必有两个实根，，∴•＝（x1﹣1，y1）•(x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）（x2﹣1)+k（x1+）•k(x2+）＝（k2+1）x1x2+（k2﹣3）（x1+x2）+（k2+9）＝[（k2+1）（k2﹣18）﹣2k2(k2﹣3)+（k2+9）(k2+2）］＝0，∴⊥,∴以AB为直径的圆恒过点T(1，0）．【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合应用，向量法与椭圆的结合应用,考查学生转化的思想与计算能力，属于综合题．21．设函数f（x）＝lnx﹣ax2+a(a∈R）．（1）讨论f（x）单调性;(2）若；对于任意的x∈（1,+∞），使得f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．【分析】(1）求导,分a≤0及a＞0两种情况讨论即可；（2）构造函数，依题意，h（x)＞0在x∈（1，+∞）恒成立，求导利用导数转化求解即可．【解答】解：(1)函数的定义域为（0，+∞)，，当a≤0时，1﹣2ax2＞0，f′（x)＞0,故f（x）在(0，+∞）上递增，当a＞0时，令f′（x）＝0,解得,易知,当时，f′（x)＞0，f（x）单调递增,当时，f′(x)＜0，f（x)单调递减；（2）f（x）＜g（x）恒成立，即恒成立，即恒成立，令，则,∵h(1）＝0，h（x）的定义域为(1，+∞）,若h′(1）＜0，则必存在x0∈（1，+∞）,使得h（x0）＜h（1）＝0，不合题意，∴必须h′(1）＝2a﹣1≥0，解得，，令，，∴k（x）在（1,+∞)递增,∴k（x）＞k(1)＝0，故h（x）＞0满足题意，∴实数a的取值范围为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性及不等式的恒成立问题,考查分类讨论思想及运算求解能力,属于中档题．22．在直角坐标系a中,点P(1,0），直线l的参数方程是（t为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2+8ρcosθ﹣3＝0．（Ⅰ)求圆C的直角坐标系下的标准方程；(Ⅱ）已知l与圆C交于A，B两点,且，求l的普