高中数学二章平面向量23平面向量的数量积233向量数量积的坐标运算与度量公式示范

向量数目积的坐标运算与胸怀公式示范教课设计整体设计教课剖析这一节，主假如把数目积运算完整坐标化．向量的数目积，教材将其分为三部分．在第一部分向量的数目积中，第一研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数目积的定义，最后研究了向量数目积的基本运算法例和基本结论；在第二部分中特意研究了数目积知足的运算律，在第三部分平面向量数目积的坐标表示中，在平面向量数目积的坐标表示的基础上，利用数目积的坐标表示商讨了平面向量所成角的计算方式，获得了两向量垂直的判断方法，本节是向量数目积的第三部分．前面我们学习了平面向量的数目积，以及平面向量的坐标表示．一方面在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数目积后，就自然而然地要考虑到平面向量的数目积能否也能用坐标表示的问题．另一方面，因为平面向量数目积波及了向量的模、夹角，所以在实现向量数目积的坐标表示后，向量的模、夹角也都能够与向量的坐标联系起来．利用平面向量的坐标表示和坐标运算，联合平面向量与平面向量数目积的关系来推导出平面向量数目积以及向量的模、夹角的坐标表示．教师应在座标基底向量的数目积的基础上，推导向量数目积的坐标表示．经过例题剖析、讲堂训练，让学生总结概括出关于向量的坐标、数目积、向量所成角及模等几个要素，知道此中一些要素，求出其余要素基此题型的求解方法．平面向量数目积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数目积的基础长进一步学习的，这都为数目积的坐标表示确立了知识和方法基础．三维目标1．经过研究平面向量的数目积的坐标运算，掌握两个向量数目积的坐标表示方法．2．掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数目积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．3．经过平面向量数目积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数目积的认识，提高学生的运算速度，培育学生的运算能力，培育学生的创新能力，提高学生的数学素质．要点难点教课要点：平面向量数目积的坐标表示．教课难点：向量数目积的坐标表示的应用．课时安排课时教课过程导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不一样，对其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数目积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数目积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．思路2.在平面直角坐标系中，平面向量能够用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也能够用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数目积以后，它可否用坐标来表示？若能，如何经过坐标来实现呢？平面向量的数目积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？经过回首两个向量的数目积的定义和向量的坐标表示，指引学生推导、研究平面向量数目积的坐标表示．推动新课新知研究提出问题平面向量的数目积可否用坐标表示？2已知两个非零向量a＝x1，y1，b＝x2，y2，如何用a与b的坐标表示a·b呢？如何用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？你可否依据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动：教师指引学生利用前面所学知识对问题进行推导和研究．前面学习了向量的坐标能够用平面直角坐标系中的有序实数对来表示，并且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都能够用坐标来表示．两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自但是然地想到既然向量拥有数目积的运算关系，这类运算关系可否用向量的坐标来表示呢？教师与学生一同研究以下：向量内积的坐标运算成立正交基底{e1，e2}．已知a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a·b＝(a1e1＋a2e2)·(b1e1＋b2e2)＝a1b1e1·e1＋a1b2e1·e2＋a2b1e2·e1＋a2b2e2·e2.因为e1·e1＝e2·e2＝1，e1·e2＝e2·e1＝0，所以我们获得数目积的坐标表达式a·b＝a1b1＋a2b2.实质上，a1b1＋a2b2表示两个向量的数目积，只与长度和角度有关，与坐标系的选择无关，它是分析几何中一个重要的不变量．在胸怀几何中有侧重要应用．这样，碰到几何中的胸怀问题，便可经过成立坐标系，用代数方法来办理．教课时指引学生自己推导数目积的坐标表达式．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件假如a⊥b，则a·b＝0；反之，假如a·b＝0，则a⊥b.上述两个向量垂直的条件，换用两向量的数目积坐标表示，即为：假如a⊥b，则a1b1＋a2b2＝0；假如a1b1＋a2b2＝0，则a⊥b.所以a⊥ba1b1＋a2b2＝0.有了这个条件，就能够经过计算数目积办理有关的垂直问题．指引学生写出向量(a1，a2)垂直的向量坐标形式，即：a1a2当b1b2≠0时，条件a1b1＋a2b2＝0，能够写成＝＝k.12这就是说，假如a⊥b，则向量(a1，a2)与(－b2，b1)平行，上式中的k是比率系数．于是获得：对随意实数k，向量k(－b2，b1)与向量(b1，b2)垂直．向量的长度、距离和夹角公式指引学生自己推导公式．如图

1，已知

222a＝(a1，a2)，则|a|＝a·a＝(a1，a2)·(a1，a2)＝a1＋a2.图1所以|a|＝2212这就是依据向量的坐标求向量长度的计算公式．这个公式用语言能够表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．→假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，进而→2－y12|AB|＝x2－x1＋y2.②→AB的长就是A，B两点之间的距离，所以②式也就是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中获得的两点距离公式完整同样．由向量数目积的坐标表达式和向量长度计算公式，以及向量数目积的定义，就能够直接推得求两个向量夹角余弦的坐标表达式a1b1＋a2b22.cos〈a，b〉＝2222211议论结果：略．应用示例思路1例1已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求a·b，|a|，|b|，〈a，b〉．活动：本例直策应用公式运算，可由学生自己达成．解：a·b＝(3，－1)·(1，－2)＝3＋2＝5；|a|＝a·a＝3，－1·3，－1＝10；|b|＝b·b＝1，－2·1，－2＝5；a·b52因为cos〈a，b〉＝|a||b|＝10×5＝2，π所以〈a，b〉＝4.例2已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，试判断△ABC的形状，并给出证明．活动：教师指引学生利用向量数目积的坐标运算来解决平面图形的形状问题．判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长能否相等，角能否为直角．可先作出草图，进行直观判断，再去证明．在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或许模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或许由两边所在向量的数目积为零，则此三角形为等腰三角形或许为直角三角形．教师能够让学生多总结几种判断平面图形形状的方法．解：在平面直角坐标系中标出A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)三点，我们发现△ABC是直角三角形．下边给出证明．→－2)＝(1,1)，∵AB＝(2－1,3→－2)＝(－3,3)，AC＝(－2－1,5→→∴AB·AC＝1×(－3)＋1×3＝0.→→∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形.变式训练→→，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值．在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1解：因为题设中未指明哪一个角为直角，故需分别议论．→→→→若∠A＝90°，则AB⊥AC，所以AB·AC＝0.2于是2×1＋3k＝0.故k＝－3.11同理可求，若∠B＝90°时，k的值为3；若∠C＝90°时，k的值为3±13.22113±13故所求k的值为－3或3或2.例3(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的数目积a·b＝x1x2＋y1y2和模|a|＝2222x1＋y1，|b|＝x2＋y2的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦a·b＝x1x2＋y1y22.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角值，即cosθ＝222|a||b|x1＋y1·x2＋y2大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，免得出现不用要的错误．解：→－(2，－2)＝(3,3)→－(2，－2)＝(－1,6)，(1)AB＝(5,1)，AC＝(1,4)→→∴AB·AC＝3×(－1)＋3×6＝15.→22→＝－12237，又∵|AB|＝3＋3＝32，|AC|＋6＝→→15574AB·AC37＝∴cos∠BAC＝→→＝32·74.|AB||AC|(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝52.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝a·b－1523π|a||b|＝3×52＝－2.又∵0≤θ≤π，∴θ＝4.变式训练→1→若点P分有向线段AB所成的比为－3，则点B分有向线段PA所成的比是()311A．－2B．－2C.2D．3答案：A例4已知点A(a，b)与点A′(b，a)，求证：直线y＝x是线段AA′垂直均分线(图2)．图2活动：向量垂直的坐标表示xx＋yy＝0与向量共线的坐标表示xy－xy＝0很简单12121221混杂，应认真比较并熟记，当难以划分时，要从意义上鉴识，两向量垂直是a·b＝0，而共线是方向同样或相反．教师可多增强反例练习，多给出这两种种类的同式变形训练．证明：设线段AA′的中点为M(x，y)，则依照中点公式，有x＝a＋b，y＝b＋a.22由此得x＝y，点M在直线y＝x上．在直线y＝x上，任取一点P，则可设P(x，y)，于→是OP＝(x，x)．→又因为AA′＝(b－a，a－b)，→→所以OP·AA′＝x(b－a)＋x(a－b)＝0.→→所以OP⊥AA′.所以，直线y＝x是线段AA′的垂直均分线．评论：此题主要考察学生对公式的掌握状况，学生能娴熟运用两向量的坐标运算来判断垂直或许共线，也能娴熟地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.变式训练1求证：一次函数y＝2x－3的图象(直线l1)与一次函数y＝－2x的图象(直线l2)相互垂直．解：在l1：y＝2x－3中，令x＝1得y＝－1；令x＝2得y＝1，即在l1上取两点A(1，－1)，B(2,1)．同理，在直线l2上取两点C(－2,1)，D(－4,2)，于是：→AB＝(2,1)－(1，－1)＝(2－1,1＋1)＝(1,2)，→CD＝(－4,2)－(－2,1)＝(－4＋2,2－1)＝(－2,1)．由向量的数目积的坐标表示，可得→→AB·CD＝1×(－2)＋1×2＝0，→→∴AB⊥CD，即l1⊥l2.讲堂小结1．在知识层面上，先指引学生概括平面向量数目积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次指引学生总结数目积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一同回首研究过程顶用到的思想方法和数学思想方法，如类比，分类议论等，使自己的认识在这一大节知识方法的整合中得以提高．作业课本本节习题2.4A组8、9、10.设计感想因为本节课是对平面向量的进一步研究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，所以教课设计设计流程是研究、发现、应用、提高，这切合新课程理念，切合新课标要求．我们知道平面向量的数目积是本章最重要的内容，也是高考取的要点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多同立体几何、分析几何综合考察)，故学习时要娴熟掌握基本观点和性质及其综合运用．并且数目积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的地点，是分析几何的一个基本特点，进而以坐标为桥梁能够成立向量与分析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又能够交流向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与分析几何及三角函数交汇的综合性问题．平面向量数目积的坐标表示使得向量数目积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径．经过学习本节的内容，要更为加深对向量数目积观点的理解，同时擅长运用坐标形式运算解决数目问题，特别是有关向量的夹角、长度、垂直等，常常能够使问题简单化．灵巧使用坐标形式，综合办理向量的线性运算、数目积、平行等，综合地解决向量综合题，表现数形联合的思想．在本节的学习中能够经过对实质问题的抽象来培育学生剖析问题、解决问题和应用知识解决实质问题的意识与能力．备课资料一、|a·|≤||||的应用bab若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数目积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤222222222．x1＋y1x2＋y2(x1x2＋y1y2)≤(x1＋y1)(x2＋y2)不等式22222由此还能够推行到一般(柯(x1x2＋y1y2)≤(x1＋y1)(x2＋y2)有着特别宽泛的应用，西不等式)：(a1b1＋a2b2＋＋anbn)2≤(a1＋a2＋＋an)(b1＋b2＋＋bn)．例1(1)已知实数x，y知足x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值是________；已知实数x，y知足(x＋2)2＋y2＝1，则2x－y的最大值是________．分析：(1)令m＝(x，y)，n＝(1,1)．∵|m·n|≤|m||n|，∴|x＋y|≤x2＋y2·2，即2(x2＋y2)≥(x＋y)2＝16.2222的最小值是8.∴x＋y≥8，故x＋y(2)令m＝(x＋2，y)，n＝(2，－1)，2x－y＝t.由|m·n|≤|m||n|，得|2(x＋2)－y|≤x＋22＋y2·5＝5，即|t＋4|≤5.解得－4－5≤t≤5－4.故所求的最大值是5－4.答案：(1)8(2)5－4π)，试比较2＋b2例2已知a，b∈R，θ∈(0，a22与(a＋b)2的大小．2cosθsinθab解：结构向量m＝(cosθ，sinθ)，n＝(cosθ，sinθ)，由|m·n|≤|m||n|得acosθ＋b2a2＋b222(sinθsinθ)≤(22θ)(cosθ＋sinθ)，cosθcosθsin2a2b2∴(a＋b)≤cos2θ＋sin2θ.同类变式：已知a，b∈R，m，n∈R，且mn≠0，m2n2>a2m2＋b2n2，令M＝m2＋n2，N＝a＋b，比较M、N的大小．abq|得解：结构向量p＝(，)，q＝(n，m)，由|p·q|≤|p||nmab222ab22(×n＋×m)≤(2＋2)(m＋n)nmnm

2222am＋bnn2m2(m2＋n2)<m2＋n2，∴M>N.2例3设a，b∈R，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n∈Z}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m＋15，m∈Z}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是直角坐标平面xOy内的点集，议论能否存在a和b，使得A∩B＝与(a，b)∈C能同时成立．解：此问题等价于探求a、b能否存在的问题，它知足na＋b＝3n2＋15，①a2＋b2≤144.②设存在a和b知足①②两式，结构向量m＝(a，b)，n＝(n,1)．由|m·n|2≤|m|2|n|2得(na＋b)2≤(n2＋1)(a2＋b2)，∴(3n2＋15)2≤144(n2＋1)n4－6n2＋9≤0.解得n＝±3，这与n∈Z矛盾，故不存在a和b知足条件．二、备用习题1．若＝(2，－3)，＝(x,2x)，且a·＝4，则x等于()abb3A．3B.1C1D．－33．－32．设a＝(1,2)，b＝(1，m)，若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是()1B1A．m>．m<2211C．m>－2D．m<－23．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若→→→AB＝(2,4)，AC＝(1,3)，则BD等于()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3,5)D．(2,4)4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延伸线与CD→→→)交于点F，若AC＝a，BD＝b，则AF等于(11B.21A.a＋ba＋b4233C.21a＋41bD.31a＋32b5．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么a·b的值为__________．6．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－