第01讲-静力学分析

第一讲静力学平面共点力的平衡平面力矩（偶）的平衡（A可任选）平衡的性质：稳定、不稳定、随与。判断方法：力（矩）、能量。（6、7、8）三维力系（9、10）虚功（11、12）杂题（13、14）（1、2、3、4、5）1．如图所示，n层支架由相同的等腰直角三角形板铰接而成，其顶部受两个力作用，其大小都为P，方向如图，现不计架子本身的自重，试求底部固定铰支座A，B处的约束反力。2③①②由②③式可得(2)将上面n-1个板隔离出来,用和(1)相同的方法,可求得解：(1)研究整体由①④式可知④最后(3)将板EDB隔离出来2。五根质量与长度均相同的匀质细杆用质量可略的光滑铰链连接，今将一个顶点悬挂在天花板上(如图)，试求平衡时五边形当中，每边与竖直方向的夹角φ1和φ2。(底边与竖直方向垂直)。（两种解法）Ny3Nx3Nx2Ny2Nx1Ny1Ny2Nx2对AC杆：解Ⅰ：从力的角度来解。对OC杆对AB杆联列以上各式可得：又解Ⅱ：以O点为势能零点，建立系统的重力势能表达式有：由几何约束，得：现在，系统处于平衡状态，则势能必然最低（稳定平衡）。先用φ1表示φ2，利用*式，有：故有：得： 用计算器逼近解可得：故3.直径为d和D的两个圆柱，置于同一水平的粗糙平面上，如图所示，在大圆柱上绕以绳子，作用在绳端的水平拉力为F，设所有接触处的摩擦系数均为μ，试求大圆柱能翻过小圆柱时，μ值必须满足的条件。解：①先考虑A、B两处那里更容易滑动？当D柱快离地时，B处的正压力为，摩擦力为F。此时对D取力为Mg（对D取F和fA的焦点为转轴）。所以A点更易滑动。可知A处摩擦力也为F。正压②对D用力必过E点，摩擦角为 （三力共点），可知A处d对D的全反其中即4.如图，已知匀质杆长为l，搁置于半径为R的圆柱上，各处的摩擦系数均为μ，求系统平衡时，杆与地面倾角α应满足的条件。N3f3N2f2N1f1OO’N3f3N2f2N1f1OO’解：设杆和圆柱体的重力分别为G1和G2。对杆对柱以上七个方程中只有六个有效。由最后一式可知，N1>N2，又因为f1=f2,所以一定是2处比1处容易移动。再来比较2处和O’处。１）如果是2处先移动，必有f2=μN2,代入④式，可得μ=tg（α/2）,将此结果代入①,③,④式,即有在这种情况下,如要，必须有杆要能搁在柱上，当然要因此在时，２）如果是Ｏ‘处先移动，必有代入前式，可有满足上式的α即为平衡时的α，这时要求ｆ２<μＮ２须有综上所述：当时，当时，α应满足5．如图，A，B，C，D处皆为光滑铰链，E处为光滑接触，杆长AB=3l，BC=4l，∠B=90°，DE∥AC，现在DE杆上作用一力偶，其力偶矩为m，作用面在杆平面内，方向如图，若各杆都为轻杆，试求A，C处的反力(D为AB中点)。3(1)分析DE杆,设BC杆对DE杆的弹力N1垂直与BC杆,AB杆对DE杆的作用力N2=N1,于是(2)分析AB杆,由受力平衡有因此有（1）（2）（1）（2）：(3)分析BC杆,由受力平衡有NNCx21=NNNByCx+=NNCyBx0=-MB0=åF0=å因此有所以最终6.用均匀材料制成的浮子，具有由两个半径皆为Ｒ的球冠围成的外形，像一粒豆子。浮子的厚度ｈ〈２Ｒ，质量为ｍ１。沿浮子对称轴向浮子插入一细辐条，穿过整个厚度。辐条长ｌ〉ｈ，质量为ｍ２。当将浮子辐条向上浸于水中时，浮子只有少部分没于水中。浮子的状态是稳定的吗？ 的垂直于纸面的直线作为转轴，此时浮力的力矩为O，只要浮子重力的力矩大于辐条重力的力矩，就是稳定平衡，否则则是随遇平衡或不稳定平衡。解：研究辐条稍微偏离平衡位置α角的情况，作用在浮子上的浮力沿竖直线，通过浮子水下部分的受力中心（浮心），且与辐条交于下球冠的球心C处。浮子重心P与的距离为辐条中心与的距离为取过 M=m1g(R-h/2)sinα-m2g(l/2-R)sinα =(m1+m2)Rg-(m1h+m2l)g/2

M>0对应稳定平衡；

M=0对应随遇平衡；

M<0对应不稳定平衡。 7.一种“平衡吊”如图，它主要由杆ABD，DEF，BC，CE四杆铰接而成，而A处轴可以固定在竖直槽的不同位置，从而调整F处吊钩上重物的高度，杆ABD可绕A在竖直平面内转动，C点能在光滑水平槽内滑动，不计全部摩擦，用l1表示AD的长度，l2

表示AB的长度，l3表示DF的长度，l4表示BC的长度。(1)若将各杆都视为轻杆，且无配重物时，试论证l1l2l3l4应满足何种关系，才能使平衡吊的吊钩(包括重物)位于同一水平面的不同位置时平衡吊都能平衡？(2)若考虑各杆自重，为使平衡吊的吊钩位于同一水平面的不同位置时都可平衡，必需在杆ABD的P处加一重物，P距A为lp，设配重物重量为Gp，AD，DF，BC，CE重量分别为G1，G3，G4，G5，不计AP的重力，问当l1，l2，l3，l4和lp已知，且l1=l3，l2=l4时，Gp的值为多少？解：（1）由于A点为固定转轴，则系统对A点的力矩必为0，由参考图可知化简得：由于题目要求α，β取不同值时*式均成立。故 ，即（2）下面换用能量法考虑，取A为势能零点，则系统势能表示为：故总的势能为由则Vt化为：使Vt为定值，要求cosβ的系数为0。故由 ，得：

评析：本题与前题有所不同，先用受力法分析，再用势能，但都抓住“不变”这一条件作文章，即将变数的系数记为0，这十分有用，应牢记。8.在盛有密度为ρ1的液体的大容器中放入一只底面积为Ｓ的小的圆柱形容器，在这个容器的底部又插入一根长为ｌ的细管。两只容器壁均静止不动。在小的容器中注入密度为的染了颜色的液体，使其高度至Ｈ，以使与外面容器的液面相平，然后打开细管的下端，可以看到重液由细管内流入大容器中，但经过一段时间轻液开始进入小容器中，以后这个过程重复地进行着。如果假设液体不会混合以及表面张力可忽略不计，试求第一次从小容器里流出的重液的质量是多少？在以后的每次循环中，流进小容器的轻液的质量和从小容器里流出的重液的质量各是多少?解：①设小容器的液面下降Δx后A面平衡上压强PA1'=P0+ρ2g(H-Δx+l)下压强PA1''=P0+ρ1g(H+l)由 PA1'=PA1''可得 Δx=(ρ2-ρ1)(H+l)/ρ2

Δm1=ρ2Δxs=(ρ2-ρ1)(H+l)s

故第一次流出液体质量②这是一种不稳定平衡，如果由于某种微扰使细管内液体上升x（由于小容器截面比细管大得多，因此此微扰不会改变小容器内液面的高度）这样下压强大于上压强，将把两种液体的分界面一直推到B处，然后轻液开始浮到重液上面，直至B处上、下压强相等③关心B处向下的扰动…….④如此循环，直至小容器内重液全部流出至大容器底部。下面计算每次流入小容器的轻液质量Δmk和小容器中流出的重液质量Δmn。每次轻液流入从PAk'=PAk''开始，设在小容器中流入Δxk高的轻液后，B处上下压强相等，则PAk'-ρ2gl+ρ1gΔxk=PAk''-ρ1gl

得 Δxk=(ρ2-ρ1)l/P1,Δmk=ρ1Δxks=(ρ2-ρ1)ls

每次重液流出从每次重液流出从PBn'=PBn''开始，设小容器内液面下降Δxn后，A处上下压强相等开始，设小容器内液面下降Δxn后，A处上下压强相等，即PBn'+ρ2gl-ρwgΔxn=PBn''+ρ1gl

可得Δxn=(ρ2-ρ1)l/ρ2,Δmn=ρ2Δxns=(ρ2-ρ1)ls=Δmk

9。半径为r、质量为m的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两相互接触．用一个高为1.5r的圆柱形刚性圆筒(上下均无底)，将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持接触，但相互无作用力．现取一个质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中．设四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同物质构成，其相互之间的最大静摩擦因数均为μ=0.775．问：R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来?解:设系统已被提离桌面而能保持平衡，受力分析如图所示，平衡方程为：上球 下球整体下球由④⑤两式可得：①③④⑤②⑥因为⑥式代入①式得： ⑥、⑦代入②式得：为了使物体之间不滑动，必须满足下列二式：因为4+cosθ≥1+4cosθ，所以只要⑩式满足，⑨式必定满足．也就是说如果发生滑动，首先在上、下球之间发生．因为μ=（0.775），由⑩式得：⑦⑧⑨⑩等式两边平方并整理后得：128cos2θmax+24cosθmax-77=0可解得设R=br，借助于俯视图可知但是b又不能太小，要使上球不从三球中掉下，必须使所以R取值范围为 即 0.1547r<R≤O.6796r10．质量为m、长为l的均质细杆AB一端A置于足够粗糙地面，另一端B斜靠在墙上。自A至墙引垂线AO，已知∠OAB=α，杆上端与墙面的摩擦系数为μ。求杆B端不至滑下时，杆与AO所在平面与铅垂面的最大倾角θ以及此刻墙对杆B端的支承力N。

分析与解:设图为临界状态时的系统位形，坐标OXYZ如图中所示。OYZ为墙面，O为A在墙上的垂足，Z轴铅直向上。杆上受力为三维空间受力。若B端在墙上滑动，将画出一个以O为圆心，lsinα为半径的半圆，如图中虚线所示。杆B端受摩擦力f与圆相切，且与y轴夹θ角，还受支承力N，指向x轴正向。杆上A端受力未知，图中未画出。尽管一起先我们并不知道如何写平衡方程会使求解简化。但可以试着写出转动方程，使与题无关的未知力不要出现在方程中。先写出杆上受力对AO轴的力矩平衡方程，方程中不出现A端受到的未知力，B端受到的支承力N的力矩为零，只有B端受到的摩擦力f和重力mg对AO轴有力矩，平衡方程为：又联立解得：①②③由于ƒ未知，此式还不能得到角θ。由于图中所示为临界状态，ƒ与N有关系：联立方程②、④、⑤，得经分析，再写出对A点的铅直轴AE的力矩平衡方程。同样，杆上A端未知力不出现在方程中，重力mg不产生力矩，只有B端受到的支承力N和摩擦力在y方向分力对轴AE有力矩，平衡方程为：④⑤⑥联立方程③、④、⑥，得到支承力表达式：11。如图，由4根长杆AD、BC、CF、DE和4根短杆AO1、BO1、EO4、FO4构成一个框架（各连接处都是铰链），总质量为M。下面再挂一个m，θ1θ2之间用轻绳连接，使框架呈三个正方形，求绳上的张力。解：假设O2O3绳缩短了Δx，那么m将升高3Δx，整个框架的重心将升高1.5Δx，这些势能的获得正是由于O2O3绳做了功。设上的张力是T可解得：12.如图所示，一光滑的圆截面之半圆环管内装满2n个相同的滚珠，每珠重P，与管恰好密合，放在铅直平面内且两端等高，如Nm是由顶端起第m个和第（m+1）个珠间的压力，证明：（两种解法）解Ⅰ：每个球对圆心的张角因此第m个小球E(见图)Nm与OE的夹角为 将E球的重力P、Nmax、Nm投影到垂直于OE的方向用力的方法来解题因而其中(凑积化和差)因而即解Ⅱ：设想从第1到第m个球都发生小位移ΔS，则第k个小球上升的高度为Δhk，有：设每个小球所对的圆心角为Δθ，有：故有： 因而从第1到第m小球的总势能增量为：用能量的方法为求上述值，须借助矢量法，