向量组的相关性

关于向量组的相关性第1页，共22页，2023年，2月20日，星期三第三节向量组的线性相关性

§1.3.1向量组的相关性定义1.6

（线性组合、线性表示）为向量组A的一个线性组合，b在该线性组合下的组合系数.称向量也称b可由向量组A

线性表示或线性表出，第2页，共22页，2023年，2月20日，星期三例

设a1=(1,0,2,0),a2=(3,-1,0,1),a3=(0,1,-1,0),令b=(-2,3,0,-1)则b为向量组a1,a2,a3

的一个线性组合，

也可说b可由a1,a2,a3

线性表示。第3页，共22页，2023年，2月20日，星期三例

设n维向量a是向量b1与b2的线性组合，而b1与b2又都是g1,g2,g3的线性组合,求证a是g1,g2,g3的线性组合第4页，共22页，2023年，2月20日，星期三

如果向量组S1中每一个向量均可由向量组S2线性表示，则称向量组S1可由向量组S2线性表示，如果同时S2也可由S1线性表示，

则称S1和S2是等价向量组，或称它们是等价的。约定

(1)在一个向量组中所有向量的维数相同；(2)

向量组中允许有相同的向量；(3)

向量组中的向量可以是有限的，也可以是无限的，但每一个线性组合中的向量个数是有限的。第5页，共22页，2023年，2月20日，星期三如果存在不全为零的常数k1,k2,…,km,使得等式(1.14)才成立，则称这m个向量线性无关线性相关，定义1.7

（线性相关、线性无关）k1a1+k2a2+…

+kmam

=0,(1.14)线性无关，即：如果只有当

k1=k2=…

=km=0时，第6页，共22页，2023年，2月20日，星期三向量组相关性的说明性质1

包含零向量的向量组必线性相关性质2包含两个相等向量的向量组必线性相关第7页，共22页，2023年，2月20日，星期三

一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组都线性无关．性质3第8页，共22页，2023年，2月20日，星期三定理1.13

当m≥2时,向量组A:a1,a2,…,am

线性相关的充要条件是其中某一向量可表示为其余向量的线性组合第9页，共22页，2023年，2月20日，星期三定理1.14

若向量组a1,a2,…,am

线性无关,但添加一个向量b后向量组a1,a2,…,am,b线性相关,则b是a1,a2,…,am的线性组合,且其线性表示是唯一的.第10页，共22页，2023年，2月20日，星期三习题1.3第4题(由性质3)(由定理1.14)第11页，共22页，2023年，2月20日，星期三定理1.15

设A为n阶方阵，则A的n个列向量线性相关的充要条件是|A|=0第12页，共22页，2023年，2月20日，星期三定理1.15

的另一种叙述:n个n维向量线性相关的充要条件是其构成的方阵行列式|A|=0,即n

个n

维向量a1＝(a11,a12,…,a1n),a2＝(a21,a22,…,a2n),…,an＝(an1,an2,…,ann)线性相关的充要条件是第13页，共22页，2023年，2月20日，星期三故由定理1知向量组a1

a2

a3线性相关练习

试讨论向量组a1(111)

a2(025)

a3(247)

线性相关性解由向量组构成的行列式第14页，共22页，2023年，2月20日，星期三定理1.16

n+r个n维向量必线性相关,这里r≥0第15页，共22页，2023年，2月20日，星期三定理1.17

设

n维向量组x1,x2,…,xr

可由向量组h1,h2,…,hs

线性表出,若r>s,则x1,x2,…,xr线性相关第16页，共22页，2023年，2月20日，星期三向量组的极大线性无关组定义1.8(极大无关组)设有向量组S

如果在S中能选出r个向量a1

a2

ar

满足(1)向量组M

a1

a2

ar线性无关

(2)往M中再添任一S中的其它向量,则这r+1个向量构成的向量组线性相关.那么M

a1

a2

ar称为向量组

A的一个极大线性无关组（极大无关组，极大组）第17页，共22页，2023年，2月20日，星期三

故由定理1.15知向量组a1

a2

a3线性相关

例试求向量组a1(111)

a2(025)

a3(247)

的一个极大线性无关组解由向量组构成的行列式

又显然向量组a1

a2线性无关，因此a1

a2就是所求向量组的一个极大线性无关组。

同样a2

a3也是向量组的一个极大线性无关组。第18页，共22页，2023年，2月20日，星期三性质1

向量组中任一向量都可由其极大无关组线性表示(由定理1.14)

向量组的极大线性无关组一般不是唯一的，但有性质2在一个向量组中，不同极大线性无关组中所包含的向量的个数是相同的

第19页，共22页，2023年，2月20日，星期三定义1.9(向量组的秩)向量组A的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组A的秩记作

rank(A