2020-2021学年安徽省皖八联盟高一下学期统测数学试题

2020-2021学年安徽省皖八联盟高一下学期统测数学试题考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：必修第二册第六章至第八章．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数（a为实数）为纯虚数，则（）A．B．C．D．2．在中，已知，则（）A．3B．2C．D．3．下列判断正确的是（）A．空间中任意三点确定一个平面B．垂直同一个平面的两条直线互相垂直C．一个西瓜切3刀最多可切成8块D．垂直同一个平面的两个平面互相平行4．已知向量，若，则（）A．20B．12C．5D．05．已知O为复平面内的原点，复数在复平面内对应的点分别为A，B，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．已知的是两个不共线的向量，，若A，B，C三点共线，则（）A．B．C．D．7．如图，在直三棱柱中，点O为的中点，，则异面直线与所成角的正切值为（）A．2B．3C．D．8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则（A．B．C．D．9．已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是的中点，则（）A．B．C．D．310．某几何体由圆锥挖去一个圆柱而得，且圆柱的上底面与圆锥内接，如图所示，已知该圆锥的底面半径，圆柱的底面半径，且圆锥侧面展开图的圆心角为，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．若向量满足，且当时，的最小值为，则（）A．B．C．6D．12．如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为棱上的点，且，现有下列结论：①当时，平面；②存在，使得平面；③当时，点C到平面的距离为；④对任意，直线与都是异面直线．其中所有正确结论的编号为（）A．①②B．①③C．②④D．③④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．复数的共轭复数是_________．14．已知向量与的夹角为，且，则_________．15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且的面积为，则内切圆的面积为_________．16．在长方体中，，则以点A为球心，半径的球的球面与长方体表面的交线的总长度为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数满足．（1）求；（2）若复数的虚部为1，且是实数，求．18．（12分）如图，已知，且．（1）求；（2）设与交于点P，求的值．19．（12分）如图，正四棱锥的每个侧面均为等边三角形．（1）证明：平面．（2）若四棱锥的体积为，求该四棱锥的表面积．20．（12分）如图，缉私艇在A处通过卫星发现正东方相距的P处有一艘走私船，走私船正以的速度往它的东北方向的公海逃窜，此时距离公海．缉私艇立即以的速度追缉．（1）为了尽快将走私船截获，缉私艇应该往哪个方向进行追缉？（2）缉私艇能否在该走私船进入公海前将其截获？21．（12分）如图，在正方体中，M为棱的中点．（1）试作出平面与平面的交线l，并说明理由；（2）用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，求的值．22．（12分）如图,在平面四边形中，．（1）设，证明：为定值．（2）若，记的面积为，的面积为，，求S的最大值．2020级高一年级第二学期皖八联盟统测数学参考答案1．A因为为纯虚数，所以，则．2．B由正弦定理，得．3．C空间中任意三点不一定可确定一个平面，垂直同一个平面的两条直线互相平行，垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确，其余选项均错误．4．C由可得，解得，所以，则．5．B因为，所以A的坐标为，又B的坐标为，所以．6．B．因为A，B，C三点共线，所以，即，，则解得．7．A如图，连接，设与的交点为E，连接，易得点E为的中点，又因为点O为的中点，所以，且，所以即异面直线与所成角．在直三棱柱中，，又因为，所以平面，从而平面，可得．因为，所以，所以．8．C因为，所以，即，又，则，从而，又，故．9．A如图，设正方形的中心为O，连接，则平面，．设的中点为H，连接，则，所以．在中，，所以由余弦定理可得，所以．10．C因为圆锥侧面展开图的圆心角为，所以，则，圆锥的高，设圆柱的高为，则，解得，所以该几何体的体积为．11．D由向量的减法法则可得，当向量与垂直时，取得最小值，则，解得，则，故．12．D若平面，如图，连接，记交于S，交于T，连接，则，又T为的中点，故S也为的中点．延长交的延长线于Q，可知，即，故①错误．若平面，则，这是不可能的，故②错误．利用等体积法求得点C到平面的距离为，故③正确．连接（图略），平面，点平面，点平面，利用异面直线的判定定理“过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线异面”，故④正确．13．，故复数的共轭复数是．14．2因为，所以．15．由，可得，结合化简可得，因为，所以，则，因为，所以．又，所以，因为，所以，故内切圆的半径，内切圆的面积．16．交线由四段弧构成．如图，其中两段（前侧面和下底面）弧是以A为圆心，半径为，圆心角为的圆弧；另两段（上底面和后侧面）弧是分别以和D为圆心，半径为1，圆心角为的圆弧．17．解：（1）．4分（2）设，则，6分因为是实数，所以，解得，8分所以．10分18．解：（1），则．5分（2）等于向量和的夹角．，7分，9分则．12分19．（1）证明：在正四棱锥中，底面为正方形，则，2分因为平面平面，所以平面．4分（2）解：设底面，O为垂足，则O为正方形的中心，5分取的中点E，连接．因为底面，所以．6分设，则，7分则，8分所以四棱锥的体积，10分解得，从而该四棱维的表面积．12分20．解：（1）假设t小时后缉私艇在点M处将走私船截获．在中，，解得，则，即缉私艇应该往东偏北方向追缉．6分（2）在中，根据余弦定理得，化简得，解得，此时走私船前进了．所以缉私艇可以在该走私船进入公海前将其截获．12分【用正弦定理利用也可以求解】21．解：（1）作法：如图，连接，在平面内过M作，交于N，则直线即平面与平面的交线l．3分理由：因为平面平面，又平面平面，平面平面，所以．因此，在平面内过M作，而，即，则直线即所求作的交线l．6分（2）由（1）知在三角形中，，M为棱的中点，所以N为棱的中点．在正方形中，延长交的延长线于点P（图略），所以B为棱的中点．由于N为棱的中点，所以延长交的延长线于点P，所以几何体是三棱台．8分设正方体的棱长为a，则的面积的面积，所以三棱台的体积，10分另一个几何体的体积，因为用平面去截正方体，所得两部分几何体的体积分别为，，所以，所以．12分22．（1）证明：设，则．