2020-2021学年北京市一零一中学高二上学期期中考试数学试题

北京101中学2020-2021学年上学期高二年级期中考试数学试卷（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.在复平面内，复数1+i的共轭复数所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.直线的倾斜角的度数是（）A.30° B.45° C.60° D.90°3.点（0，1）到直线距离的最大值为（）A.1 B. C. D.24.直线与互相垂直，则实数a的值为（）A.-1 B.1 C.-1或1 D.以上都不对5.已知向量a=（1，x，-2），b=（0，l，2），c=（1，0，0），若a，b，c共面，则x等于（）A.-1 B.l C.1或-1 D.1或06.如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=A1B1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）A. B. C. D.7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个8.设复数z满足|z-1-i|=，则|z|的最大值为（）A. B.2 C.2 D.49.通过求两个向量的夹角，可以求两条直线的夹角。已知，，则l1，l2夹角的余弦值是（）A. B. C. D.10.已知，是不同的两点，点C（cos，sin），且·=，·=，则直线AB与圆的位置关系是（）A.相离 B.相切 C.相交 D.以上三种情况都有可能二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11.复数z=，则|z|=_________。12.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），则顶点D的坐标为__________。13.已知圆C：与直线，则圆心C的坐标为_________，若圆C关于直线l对称，则k=___________。14.直线与圆相交于A，B两点，当△AOB的面积达到最大时，k=__________。15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是侧面B1C1CB内（不包含边界）的一个动点，且AP⊥D1B，点H在棱D1D上运动，则二面角H-AC-P的余弦值的取值范围是________。三、解答题共5小题，共45分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。16.（本小题8分）已知复数（i是虚数单位）。（1）求；（2）如图，复数z1，z2在复平面上的对应点分别是A，B，求。17.（本小题8分）已知圆C的圆心在y轴上，且过（0，0），（0，2）两点。（1）求圆C的方程；（2）若圆C与圆有公共点，求r的取值范围。18.（本小题10分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形。BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=AD=1，E为线段AD的中点。PE⊥底面ABCD，且PE=，点F是棱PC的中点，平面BEF与校PD相交于点G。（1）求证：BE∥FG；（2）求直线PB与平面BEF所成角的正弦值；（3）设H为PB中点，DH平面BEF=M，求BM的长。19.（本小题10分）已知圆M：，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点。（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；（2）求四边形QAMB面积的最小值；（3）若|AB|=，求直线MQ的方程。20.（本小题9分）已知集合Rn={（x1，x2，…，xn）|xi∈R，i=1，2.…，n}（n≥1），定义Rn上两点A（a1，a2，…，an），B（b1，b2，…，bn）的距离d（A，B）=。（1）当时，以下命题正确的有_________（不需证明）；①若A（1，2），B（4，6），则d（A，B）=7；②在△ABC中，若∠C=90°，则[d（A，C）]2+[d（C，B）]2=[d（A，B）]2；③在△ABC中，若d（A，B）=d（A，C），则∠B=∠C；（2）当n=2时，证明R2中任意三点A，B，C之间的距离满足d（A，B）≤d（A，C）+d（C，B）；（3）当n=3时，设A（0，0，0），B（4，4，4），P（x，y，z），其中x，y，z∈Z，d（A，P）+d（P，B）=d（A，B）。求满足条件的P点的个数n，并证明从这n个点中任取11个点，其中必存在4个点，它们共面或以它们为顶点的三棱锥体积不大于。

参考答案1.D2.A3.D4.C5.A6.A7.B设长方体的棱长为a，建立空间直角坐标系，如图所示。则D（0，0，0），D1（0，0，a），C1（0，a，a），C（0，a，0），B（a，a，0），B1（a，a，a），A（a，0，0），A1（a，0，a），P（a，a，a），则，，，，，故有4个不同的取值，答案为B。8.C9.A10.C11.1。12.（5，13，-3）。提示：AC的中点坐标为（，，）。因为AC的中点同时为BD的中点，所以D的坐标为（，，，即（5，13，-3）。13.（1，2）；1。14.±。15.[，]。16.（1）因为z=1-i，所以。（2）因为，，所以。17.（1）因为圆C的圆心在y轴上，所以设圆C的方程为。因为圆C过（0，0），（0，2）两点，所以解得所以圆C的方程是。（2）r的取值范围为[-1，+1]18.（1）因为E为AD中点，所以DE=AD=1。又因为BC=1，所以DE=BC。在梯形ABCD中，DE∥BC，所以四边形BCDE为平行四边形。所以BE∥CD。又因为BE平面PCD，且CD平面PCD，所以BE∥平面PCD。因为BE平面BEF，平面BEF平面PCD=FG，所以BE∥FG。（2）因为PE⊥平面ABCD，且AE，BE平面ABCD，所以PE⊥AE，且PE⊥BE。因为四边形BCDE为平行四边形，∠ADC=90°，所以AE⊥BE。以E为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E-xyz。则E（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（-1，1，0），D（-1，0，0）。设P（0，0，），。所以=（0，1，0），=（），=（0，1，）。设平面BEF的法向量为n=（x，y，z），则即令x=，则z=1，所以n=（，0，1）。所以。所以直线PB与平面BEF的所成角的正弦值为。（3），所以，因为M线段DH，所以存在∈[0，1]，=，所以=（，，），所以=+=（-1，-1，）因为M平面BEF所以·n=0，所以=，|BM|=19.（1）设过点Q的圆M的切线方程为，则圆心M到切线的距离为1，所以，所以或0，所以QA，QB的方程分别为3x+4y-3=0和x=1。（2）因为MA⊥AQ，所以SMAQB=|MA|·|QA|=|QA|=。所以四边形QAMB面积的最小值为。（3）设AB与MQ交于P，则MP⊥AB，MB⊥BQ，所以|MP|=。在Rt△MBQ中，|MB|2=|MP||MQ|，即1=|MQ|，所以|MQ|=，所以。设Q（x，0），则，所以，所以，所以MQ的方程为或。20.（1）①。d（A，B）=|a1-b1|+|a2-b2|=|a1-c1+c1-b1|+|a2-c2+c2-b2|（2）≤|a1-c1|+|c1-b1|+|a2-c2|+|c2-b2|=|a1-c1|+|a2-c2|+|c1-b1|+|c2-b2|=d（A，C）+d（C，B）（3）首先确定满足条件的点P有125个，即n=125，它们分布在4×4×4的正方体格点上。下证从这125个点中任取11个点，必有4个点共面或构成的三棱锥体积不大于。记选出的11个点为P1，P2，…，P11。若其中有4个点共面则得证；否则，记Si={（x，y，i-1）|0≤x≤4，0≤y≤4，x，y∈Z}，i=1，2，3，4，