2022年高中数学选择性必修第二册第四章§4.4 数学归纳法

2022年高中数学§4.4数学归纳法

【学习目标】1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的命题.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点数学归纳法

1.数学归纳法

一般地，证明一个与正整数”有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当〃=〃M"oGN*）时命题成立;

（2）（归纳递推）以当“KkWN*,时命题成立”为条件，推出“当”=4+1时命题也成

立”.

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从校开始的所有正整数〃都成立.这种证明方法叫

做数学归纳法.

2.数学归纳法的证明形式

记P（〃）是一个关于正整数n的命题.我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：

条件：（1）牛（硬）为真;（2）若P（丁为真,则PQ+1）也为真.

结论：如Q为真.

3.数学归纳法中的两个步骤

在数学归纳法的两步中，第一步验证（或证明）了当曰L时结论成立，即命题尸（〃o）为真;第

二步是证明一种递推关系,实际上是要证明一个新命题：若P（是为真，则PQ+1）也为真.只

要将这两步交替使用，就有如蛇真，P（〃o+1）真……尸（Q真,尸伐+1）真……，从而完成证明.

-思考辨析判断正误

1.应用数学归纳法证明数学命题时”o=l.（X）

2.用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可.（V）

3.推证〃=k+l时可以不用”=%时的假设.（X）

题型探究探究重点提升素养

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一、证明恒等式

例1用数学归纳法证明1—J+…==-47+士+…+=（“WN"）.

2342/?—12〃n~r1〃十22〃'

证明（1）当〃=1时，左边=1W，右边=；,命题成立.

（2）假设当〃=人（左21,左WN*）时，命题成立，即

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F1/…+目-犷布+中+…+荫

那么当n=k+1时，

左坦12十34十十2火-12k+2A+12k+2

_I,I,1,।।

~k+]k+2+2k+2hH2k+2

=I+2+it+3+…+2k+\+2k+2'

上式表明当"=%+1时，命题也成立.

由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立.

反思感悟用数学归纳法证明等式的策略

应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即：

(1)”=«0时,等式的结构.

(2)〃=%到"=k+l时，两个式子的结构：〃=%+1时的代数式比〃=上时的代数式增加(或减

少)的项.

这时一定要弄清三点：

①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项.

②代数式相邻两项之间的变化规律.

③代数式中最后一项(最后一个数)与〃的关系.

跟踪训练1求证:12-22+32-424------卜(2〃-l)2-(2〃)2=一〃(2〃+l)(〃GN*).

证明(1)当”=1时，左边=仔-22=—3,右边=一3,等式成立.

⑵假设当〃=k时，等式成立，即产一22+32—4?+…+(24-1)2一(2%)2=一曲24+1).

当〃=左+1时，l2-22+32-42H-----H2k—l)2-(2Q2+(2Z+l)2—(2A+2)2=—©2氏+1)+(2%

+1>—(2Z+2)2=-©2k+1)—(4k+3)=-(2R+5A+3)=—(Z+1)[2(%+1)+1],

所以〃=k+l时，等式也成立.

综上所述，等式对任何“GN*都成立.

二、证明不等式

例2用数学归纳法证明：

H------F*<l-5(〃22,"WN").

证明(1)当〃=2时，左边=*=:，

右边=一昌

明显54,所以不等式成立.

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(2)假设"=%(%22,ZCN*)时，不等式成立,

即抖抖++…+ST，

则当n=k+1时，

22+32+42^^F+6+1)2<1计依+1>

7(…一

T碎+1)2

=y+k+l_k(k+l)=l_

i碓+1>I&(k+l)2/+「

所以当〃=左+1时，不等式也成立.

综上所述，对任意"22的正整数，不等式都成立.

反思感悟用数学归纳法证明不等式的四个关键

(1)验证第一个”的值时，要注意"0不一定为1,若心©%为正整数)，则〃o=A+l.

(2)证明不等式的第二步中，从"=%到"=k+l的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用

归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.

(3)用数学归纳法证明与“有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求

进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.对第二类形式往往要先对〃取前k

个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个％值开始都成立的结论，常

用数学归纳法证明.

(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由”=%时成立，得〃=k+l时成立，主要方法有比较

法、放缩法等.

ill1〃—2

跟踪训练2求证：2----^亍77>”一(〃22).

证明(1)当〃=2时，左边=；>0=右边，

・•・不等式成立.

(2)假设当〃=%伏>2,k£N*)时，不等式成立.

11Ik——2

即----^声^一^成立.

那么“=A+1时，/+?+…+2尸]+2尸]+]+…+2*-]+2*-]

、广2,]」、.I、卜2

>+H卜…+/

22^'+l2A22k

左一2伙+1)—2

=-2^+~=2，

，当〃=攵+1时，不等式成立.

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由⑴⑵可知,不等式对一切"WN*且心2时成立.

三、归纳一猜想一证明

例3数列｛斯｝中，0=1,"2=1，且或+1=S二""("22,"GN*),求。3，04>猜想斯的表

今VICln

达式，并加以证明.

解*；02=：,

(n~l)a„

且斯+i—(n^2),

n-an

1

r2X：

2a3______7__1_

“4===11=记

J7

猜想：斯='匕(〃62*).

下面用数学归纳法证明猜想正确：

(1)当”=1,2时易知猜想正确.

(2)假设当〃=M%22,&CN*)时猜想正确，

即ak=3k^2-

当n=k+l时，

(k-l"k(kT>3k—2

〃什|==>=一1

3k—2

k-\

3k—2______k-1

=3/c-2k-i=3l^-2k-l

3k-2

k~\

=(3A+1)(I)

____1_________]

=3左+1=3(4+1)—2,

...当n^k+l时猜想也正确.

由(1)(2)可知，猜想对任意〃GN*都正确.

反思感悟(1)利用数学归纳法可以探索与正整数〃有关的未知问题、存在性问题，其基本模

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式是“归纳—猜想—证明”.

(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合

的问题是最常见的问题.这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式.

跟踪训练3已知数列｛儿｝的首项5=1,其前〃项和瓦=/〃+1)6“，求数列伯”)的通项公式.

13

解由已知条件〃i=l,+1)/?„,得32="+匕2=/2,

*,•历=2.

83=61+62+63=263,

：.b3=3.

84="+历+83+仇=54,

，d=4.

由此猜想：雇(〃£N*)为数列｛6〃｝的通项公式.

下面用数学归纳法证明.

(1)当H=1时，加=1,等式成立.

(2)假设当〃/21,女WN*)时，等式成立.

即bk=k,则当n=k+l时,

①+1=&+]—&=/(2+1+1)勿+1—亨(女+1)仇，

攵+1

整理得bk+\=~1•仇=攵+1,

K

即当〃=攵+1时，bk+i=k+l.

由⑴(2)知，对任意〃£N*,都有儿=儿

随堂演练基础巩固学以致用

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1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+5+3)=("+3T”+4)5WN*),验证〃=1时，左边

应取的项是()

A.1B.1+2

C.1+2+3D.1+2+3+4

答案D

解析当”=1时，左边=1+2+3+4.

111

-_--+

2.在数列｛%｝中,2+■34犷7-五，则,等于()

a

A.ak++1B.k+2k+2~2k+4

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C'ak+2k+2D-ak+2k+\~2k+2

答案D

命尾.1,1.11

解析6/1=1-2，&2=1+,一加

斯=i-温讨+…+^C，

以=1-打2+…+壮7-吉，

a

所以^l=ak+2k+l-2k+2.

3.用数学归纳法证明"当"为正奇数时，乂'+产能被x+y整除”的第二步是（）

A.假设〃=2攵+1时正确，再推〃=2k+3正确

B.假设〃=2%—1时正确，再推几=2攵+1正确

C.假设〃=2时正确，再推〃=攵+1正确

D.假设，zW©左21），再推〃=4+2时正确（以上左RN*）

答案B

解析因为〃为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第左个正奇数也成立，

本题即假设〃=2%—1正确，再推第（4+1）个正奇数即〃=2R+1正确.

〃4+层

4.用数学归纳法证明：1+2+3+…+/=一^,则当〃=4+1时，左端在〃=4时的左端

加上_____________________________________.

答案（标+1）+（3+2）+…+（&+1）2

解析〃=左时，左端为1+2+3+…+F,n=k~\-1时，

左端为1+2+3H---bF+（F+1）+仅2+2）+…+（左+I）2.

5.观察下列不等式：1>:，1+[+、4,1+；+枭--1+Z+T4-------FT7>2J-

5

>-

2…，由此猜测第n个不等式为（n£N*）.

答案1+2+3']----

■课堂小结

1.知识清单：

（1）数学归纳法的概念.

（2）数学归纳法的步骤.

2.方法归纳：归纳一猜想一证明.

3.常见误区：

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（1）对题意理解不到位导致〃0的取值出错;

（2）推证当n=k+1时忽略n=k时的假设.

课时对点练注重双基强化落实

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g基础巩固

1.用数学归纳法证明3"》〃3（〃23,nCN）,第一步应验证（）

A.n—\B.n=2C.n=3D.〃=4

答案c

解析由题意知，〃的最小值为3,

所以第一步验证〃=3是否成立.

2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1一£+上一：+…+言一5=2（春+舟+…+即

时，若已假设〃=%（ZN2）为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）

A.〃=%+1时等式成立

B.〃=A+2时等式成立

C.〃=2k+2时等式成立

D.〃=2（&+2）时等式成立

答案B

解析因为已知〃为正偶数，

故当〃=&时，下一个偶数为k+2.

3.某个命题与正整数有关，如果当〃=AOteN*）时，该命题成立，那么可推得当〃=k+l时，

该命题也成立.现在已知当”=5时，该命题成立，那么可推导出（）

A.当〃=6时命题不成立

B.当”=6时命题成立

C.当〃=4时命题不成立

D.当〃=4时命题成立

答案B

4.用数学归纳法证明不等式工+工+…+七＞m（〃©叶）的过程中，由n=k至Un=k

〃十1〃+2n-vn24、

+1时，不等式左边的变化情况为（）

A，增加2（4+1）

B.增加7+1+26+1）

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C・增加2>+1+2么+2'减少中

D.增加"zT，减少7^77

2Z十1攵十1

答案C

5.在数列｛〃〃｝中，0=2,研1=7号T7(/£N*),依次计算〃，2〃3,〃4归纳推测出数列｛斯｝的

3(1)1\1

通项公式为()

22

A，4/?-3B，6n-5

22

r--------D-------

4H+32〃-1

答案B

222

解析6/1=2,。2=子的=百，四=而，…，

可推测斯=一2W

6〃一5

6.设X〃)=1+3+WH-HETTSWN)那么_____.

乙。jfi1

答案—+---+―--

U木3〃十3〃+1十3/1+2

解析注意末项与首项，所以#〃+1)—/(〃)=一+鼻[]+&

7.证明:假设当〃=MkCN")时等式成立，即2+4+…+2&=3+上那么2+4+…+2A+20t

+l)=F+&+2(%+1)=(%+1户+(4+1),即当”=%+1时等式也成立.因此对于任意n6N

等式都成立.

以上用数学归纳法证明“2+4+…+2〃="2+〃(〃£”)”的过程中的错误为.

答案缺少步骤归纳奠基

8.已知5»=IX3+3X5+5X7H卜(2〃-1)(2”+1)'"*N*,则5|=——>52=——‘S3

=,54=，猜想5„=.

较全1234"

1=1柔35792〃+1

解析当〃=1时，Si=|；

2

当n=2时，S2=g；

当n=3时，$3=1；

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4

当〃=4时，S4=§.

观察猜想得S尸两.

9.证明:；+.+&!----1■亍*+*=1—/(〃GN*).

证明⑴当〃=1时，左边=g,

右边=1—；=；,等式成立.

(2)假设当〃=袱》1,&GN*)时，

等式成立，即打去+/-1—F£T+/=I一

那么当n—k+\时,

4--4,-1.1,1,11__,1,J__._2~1,

左边一2十22+23^'2k~]2A+2"+1一-2*十2k^]~^~2^+l-

所以当〃=k+l时，等式也成立.

根据(1)和(2),可知等式对任意〃£N*都成立.

11

求

O证+>5>2N*

石e

+2\H

?+

证明(1)当〃=2时，

左边=舁:+卜白界>1，

不等式成立.

(2)假设当"=%("22,AGN*)时不等式成立，即

1,1,.±.5

k+\+k+2++3*>6-

则当"=A+1时，

],],,±,_!_,],_L__1।1,,±,

(k+l)+l(%+1)+23&+3A+13A+23%+3-%+1左+23%十

(3Z+13A+23k+3k+l)

5

>-+

十

弘

弘

6弘++

>1+(3义3氏+3一申)=|・

所以当〃=%+1时不等式也成立.

由(1)(2)可知，原不等式对一切〃22,〃£N*都成立.

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营综合运用

11.对于不等式［滔二<"+l(“eN*),某同学用数学归纳法的证明过程如下：

(1)当”=1时，3rH<1+1,不等式成立.

⑵假设当且ZWN")时，不等式成立，即92+YZ+1,则当n=k+i时，

yj(k+l)2+(k+\)=#4+3&+2<yl(lc+3k+2)+k+2=yj(k+2)2=(k+1)+1,

当〃=氏+1时，不等式成立，则上述证法()

A.过程全部正确

B.n—\验证不正确

C.归纳假设不正确

D.从〃=%到〃=%+1的推理不正确

答案D

解析在〃=4+1时，没有应用〃=%时的归纳假设，不是数学归纳法.

12.记凸k边形的内角和为负k),则凸k+1边形的内角和加1+1)=加1)+.

答案兀

解析由凸k边形变为凸Z+1边形时，增加了一个三角形图形，故)=,/(%)+兀

13.已知加)=1+打打…+/eN"),用数学归纳法证明火2")引时,火2门)一")=.

答案舟'+去+..•+/

解析12行1)=1+3+；+…+*+木+杰+…+/

=解)+露+圣+•••+册

.•犹2*+1)—火2")=卡+会+“・+/.

14.用数学归纳法证明34"+I+52"+!(”WN)能被8整除,当〃=%+1时，3.+凶+52的D+1应

变形为.

答案81X(34LI+52*+I)-56X52"+I(或25X(34*+i+52F)+56X34Zi)

解析3«"+1)+1+5维+1)+1=3软+5+5次+3=81*3曲+1+25X52^+1=81X3"i+81X52LI-

56X52k+'=81X(34A+1+5次+1)-56X52k+