初三升高中数学衔接讲义

第一讲.数与式的运算--绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的

绝对值仍是零.即

a>

0,

/仇

Qa-

O

<

0,-见a

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：|a-b|表示在数轴上，数a和数b之间的距离.

例1解不等式：|x-l|+|x-3|>4.

练习1.填空:

(1)若|x|=5,则下——;若|x|=|-4|,则尸―

(2)如果同+闻=5,且a-1,贝Ib=若|1一c|=2,则c

2.选择题:

下列叙述正确的是()

(A)若|a|=出|,则a=b(B)若|a|>\b\,则a>b

(C)若a<b,则|a|<161(D)若=网，则a=±b

3.化简：|x—51—12x—131(才>5).

4.观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2,3与5,-2与-6,-4与3.

并回答下列各题：

(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？

(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离

可以表示为.

(3)结合数轴求得仅-2|+|x+3|的最小值为，取得最小值时x的取值范围为

(4)满足|x+1|+|x+4|>3的x的取值范围为

5,(阅读理解题)阅读下面材料：

点A、B在数轴上分别表示实数a、b,A、B两点之间的距离表示为|AB|.当A、

B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,

IAB|=|OB|=|6|=|a—b\；

?(A)pQ94.p??[”

0b0abba0b0a

图1图2图3图4

当AB两点都不在原点时，

①如图2,点A、B都在原点的右边，

IAB|=IOB|—IOA|=|6|—|aI=b~a=\a~bI；

②如图3,点A、B都在原点的左边，

IAB|=IOB|—IOA|=\b\—\a\=—b~(—a)=Ia~b\；

③如图4,点A、B在原点的两边，

IAB|=IOA|+IOB|=Ia|+|Z?|=a+(—6)=|a-b\.

综上，数轴上A、B两点之间的距离IAB|=\a-b\.

(2)回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示一2和一5的两点

之间的距离是,数轴上表示1和一3的两点之间的距离是;

②数轴上表示x和一1的两点A和B之间的距离是,如IAB|=2,那么x

为;

③当代数式Ix+1I+I”一2|取最小值时，相应的x的取值范围是.

第二讲.数与式的运算-一乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(2)完全平方公式

(1)立方和公式(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；

(2)立方差公式(a—h)(a2+ab+b2~)=a3—b3t

(3)三数和平方公式(<a+b+c')2=a2+b2+c2+2(ab

(4)两数和立方公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；

(5)两数差立方公式(a—b)3=a3—3a2b+3ab2—b3.

对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.

例1化简：(X+l)(x-1)(/-x++%+1).

例2已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求&2+炉+©2的值.

练习1.填空：(1)：a2-=Cb+ja)();

(2)(4m+)2=16m2+4m+();

222

(3)(a+2b—c)=a+4/J2+c+().

2.(1)若小+之血工+人是一个完全平方式，则k等于()

(A)m2(B)-m2(C)-m2(D)—m2

4316

(2)不论a,b为何实数，M+匕2_2Q-4b+8的值()

(A)总是正数(B)总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数

2.公式及运用

例1.计算：(1)(2%+3)(4/—6%+9)(2)(a?一3)(Q4+：02力+：82)

思考：化简(1)(a+2)(。—2)(。2—2a+4)(Q2+2a+4)

(2)x(x—l)2—(x2—x+1)(%+1)

(3)(1—x)(l+x+%2)

(4)(1-x)(l+x+%2+%3)

例2.因式分解（1）x6-y6

(2)m6+n6+2m3n3

(3)9(%+l)2(x—l)2+6(x2—1)4-1

(4)x3+3x2-4

例3：已知x+y=2,xy=2,求二+/的值

思考：（1）已知Q+b=2,求a?+6ab+/的值。

（2）已知%—1=3,求/—妥的值。

练习：1化简（1）(%+y)2(%2—xy+y2)2

(2)(2y—z)[2y(z+2y)4-z2]

(3)x2-汉汉

2.已知a2+5a+l=0,试求下歹恪式的值：

(1)a+i(2)a2+^(3)a3+^(4)a4+4

aa"QJar

3.已知a+b+c=4,ab+be+ac=4,求a?+b?+©2的值.

第三讲.数与式的运算一-二次根式

一般地，形如《（aNO）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽

方的式子称为无理式.例如3a+V^Tb+2b,，（^+炉等是无理式,而

x24-\/2xy+y2,等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化.为了进行分母(子)有理化，

需要引入有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二

次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如我与鱼，3VH与伞，8+遥与6-

V6,28-3企与28+3企，等等.一般地，a4与正，aH+b方与(1爪-b4，aVx+b

与a豉-b互为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过

程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中

要运用公式=而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式,

然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的

基础上去括号与合并同类二次根式.

2.二次根式必的意义"=同=匕,：丸：

例1将下列式子化为最简二次根式：

(1)V12b；(2)Va26(a>0)；(3)y/4x6y(x<0).

例2计算：遍+(3-次).

例3试比较下列各组数的大小:

（1）viz-vn#vii-vio；（2）高和2或一遍.

例4化简：（V3+例）2。。4.（V3-例）2。05.

例5化简：（1）V9-4V5；(2)lx2+^—2(0<x<1).

1.填空:

(1)1-V3

1+V3

(2)若7(5—%)(%—3)2=(x—3)V5—x，则％的取值范围是

(3)若“多则鬻售+鬻磊

2.选择题:

等式=成立的条件是()

(A)%。2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若仁里产，求a+b的值.

4.比较大小：2-##一亚(填“>”，或"V”).

第四讲.数与式的运算一一十字相乘法

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外

还应了解求根法及待定系数法.

例1分解因式：

(1)*—3x+2；(2)系+4x—12；

(3)x2—(a+b)xy+aby2；

课堂练习

一、填空题：1、把下列各式分解因式:

2

(1)%+5%-6=o

2

(2)%—5%+6=o

2

(3)%4-5%+6=o

2

(4)x-5x—6=o

(5)%2—(a+1)%+a=<

2

(6)%-llx+18=o

2

(7)6x+7%+2=o

(8)4m2—12m+9=。

2

(9)54-7%-6x=o

(10)12x2+xy-6y2=______________________________________________________

2、若/+Q%+人=(%+2)(%-4)贝!JQ=,b=o

二、选择题：(每小题四个答案中只有一个是正确的)

1>在多项式(1)x2+7%4-6(2)/+4%+3(3)%2+6%+8(4)%24-7%+10

(5)/+15久+44中，有相同因式的是()

A、只有(1)(2)B、只有(3)(4)

C、只有(3)(5)D、(1)和(2)；(3)和(4)；(3)和(5)

2、分解因式小+8ab-33b2得()

A、(a+11)(a—3)B、(a4-lib)(a—3b)C、(a—lib)(a—3h)D、(a—lib)(a+3Z?)

3、(a+b)2+8(a+b)—20分解因式得()

A、(a+b+10)(a+b—2)B、(a+b+5)(a+b—4)

C、(a+Z?+2)(Q4-b—10)D、(Q+/?+4)(Q4-b—5)

4、若多项式--3x+Q可分解为(％-5)(%-b),则Q、b的值是()

A、a=10,b=2B、a=10,b=-2C、a=-10,b=-2D>a=-10,b=2

5>若%2+HI%-io=(%+Q)(%+b)其中Q、b为整数,则w的值为()

A、3或9B、±3C、±3D、±3或±3

三、把下列各式分解因式

1、6(2p—q)2—ll(q-2p)+32、a3—5a2b+6ab2

4、h4-2b2-8

（二）十字相乘法与分组分解法

、十字相乘法：

两个一次二项多项式mx+n与依+1相乘时，可以把系数分离出来，按如下方式进行演

_n）的系和

&T4■八的票和

mkml+nknl

即(jnx+n)(kx+/)=mkx2+(m/+nfc)x+nl

把以上演算过程反过来，就可以把二次三项式m/cM+(m/+n/c)x+位分解因式

即?n/c%2+(mZ+nk)x4-nZ=(jnx+n)(fcx+Z)

这说明，对于二次三项式a/+以+c(acH0),如果把Q写成7nk,c写成九，时，b恰好是m/4-

nk,那么Q/+故+c可以分解为(mx+n)(kx+Z)

二、运用举例

例1.分解因式(十字相乘法)

(1)x—3x+2；(2)/+4x—12；

(3)%2—(a+b)xy+aby2;(4)xy—1+x—y.

(5)3x2+10%+8(6)-2x2+%+1

(7)-2x2y2+xy+6(8)2x2-9xy-5y2

例2.分解因式(分组分解法)

(1)x3-3x2y+3xy2-y3

(2)x3—2x2+3x-6

(3)/+9+3x2+3%

练习：1分解因式(1)m4—3m2—4(2)4a4—37a2b2+9h4

(3)1-a2+2ah-b2(4)x2-2x-15

(5)12x2-5x-2(6)%2+5%—24

(7)%3—3%+2(8)5+7%—6x2=

(9)%2—(a4-l)x+a=(10)4m2—12m4-9=

2.用因式分解法解下列方程：

(1)3x2-4%-4=0(2)(2%-l)2+(%-l)2=%

x-2y=-----

3.不解方程组落;，求代数式9/一15孙-6y2的值。

(3x+y=—

第五讲一元二次方程及韦达定理

一、求根公式：对于一元二次方程a/+必+c=O(Q0o)用配方法可变形为:

(%+£/=［箸，因右边大于o.所以

(1)当2=从一4ac>0时，方程有根%=若@,必=若包

(2)当Z=b2-4ac=0,方程有根%=七=一盘

(3)当/=b2-4ac<0,方程没有实数根。

例1、不解方程，判断下列方程根的情况：

(1)x2—x+1=0(2)—5x2=6x+2

(3)2x2-5x-3=0(4)(3+2V2)x2-2(1+V2)x+1=0

例2、k为何值时,关于x的方程2/一(妹+1)%+21-i=o

(1)有两个不相等的实根；

(2)有两个相等的实根；

(3)没有实根。

二、韦达定理

由求根公式得：/+%2==£（即为韦达定理），1%1-％21=湍

特别地,如果方程为%2+P%+q=0,且方程的二根为%1，%2,则％1+%2==q

同时，以%i，%2为两根的一元二次方程（二次项系数为1）是/-（久1+%2）%+=0

例1、求下列方程的两之根和与两根之积

(1)3%2+5%-7=0(2)x2—x—1=0

2

(3)-#+3%-1=。(4)(V5+1)%-2x-(V5-1)=0

例2、已知关于％的方程18/一9x+a=0的一根是-？，求另一根及a的值。

6

例3、设方程2/+4%+1=0的两根为

求(1)后+慰；(2)三+工；(3)%一%21

Xix2

例4、求一个一元二次方程，使它的两个根为3+e,3-夜

练习：1.m取何值时，多项式/一(2m+2h+/+5=0是一个完全平方式;

2.a取何值时，关于x的方程3ax2—2V5（a-l）x+a=0

（1）只有一个实数根；（2）两个相等的实数根；（3）没有实数根。

3.设孙孙是方程2毛-6%+3=0的两个根,不解方程，求下列各式的值。

-

(1)(%i-3)(X23)(2)3+支(3)xf+X2

第六讲二元二次方程组

1.定义

（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是二的方程叫二元二次方程。

（2）由一个二元二次方程和一个二元一次方程，或者由两个二元二次方程组成的方程

组，都叫二元二次方程组。

解二元二次方程组的基本思路是消元，降次，消元就是用消去一个未知数的方法将

二元方程转化为一元方程；降次就是采用因式分解等方法将二次方程转化为一次方

程。

二元二次方程组最基本的类型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程构成的

方程组，其他类型都要转化为这种类型来解，解法主要采用消元法。

2.由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组。这种形式的方程组都可以

用代入法来解。

例1.解方程组：生+广工工„

（户+y，+%+y=32

例2.解方程组：+y=!

3.由两个二元二次方程组成的方程组。（只讨论一些特殊情况）

X24-y2=10

例3.解方程组:

x2-3xy+2y2=o

例4.解方程组:Q才选爹)+2=0

思考：解方程组:缁线=25

练习：1。方程组俨了好；25的解是。

(%+y=7--------------

2.方程组『24Rn的解是____________

kxy+2(%+y)+3=0-----------------------

3.方程组｛(二厘］：＞°)的解的情况是

A恒有一组解B恒有两组解C恒有四组解D解的组数与p值有关

4.方程组｛♦二3+,2=9的解的组数是

A1B2C3D4

5.解下列方程组:

(2x—y=5

2x—y=1(2)忸—=]

(1)22

10x-y-x+1=0vxy

x2—5xy+6y2=o(4)x2—2xy—y2=0

(3)

2%-y-6=0.2x2-5xy-3y2=0

⑸巴+y：+x+y=18(6)%+y：+x+y=18

(.x+y/-2%—4y=24%—y=6

x2—2xy—y2=2(xy+x+y=34

(7)

xy+y2=4lx2+y2—x—y=42

第七讲二次函数的图像及性质

二次函数的三种表示形式:

(1)y=ax2+bx+c(aW0)-----~1般式

(2)y=a(x-m)24-n-----顶点式(m,几)为顶点

(3)y=-----零点式(两根式)

为a/+必+c=0的两根，或y=ax24-4-C(QH0)与%轴的两交点的横左标。

二、二次函数丫=。/+鼓+武。。0)的图象及性质：

a>0,开口向上a<0,开口向下

A

当x=

2ab

X=---

2a

图象

X的取值范围为一切实数X的取值范围为一切实数

4ac—b24ac—b2

y>------y<------

)一4a7-4a

当X=_2时当T，寸y4ac，

2Q'4Qmin4amax

当寸，y随X的增大而减小当时，y随x的增大而增大

当％z一/时，y随》的增大而增大

性质当寸，y随x的增大而减小

例1.(1)已知二次函数的图象通过4(1,6),B(2,15),C(-1,0)三点，求这个二次函数的解析

式；

(2)已知二次函数的图象的顶点为4(3,-2),并且它的图象过点8(5,6),求这个二次

函数的解析式;

(3)已知二次函数的图象与x轴的两个交点坐标为4(1,0),B(3,0),且又过点C(0,3),求这

个二次函数的解析式；

(4)已知二次函数f(x)的二次项系数为a,f(x)=0的两根为1,3,且方程f(x)+l=0

有两个相等的根，求“X)的解析式。

练习

1.y=-3(X-2)2+9的顶点坐标为()

A、(1,6)B、(0,-3)C、(2,9)D、(-2,9)

2.y=|x-2-3/的对称轴为()

A^x=--B、x=-C、x=——D、x=-

412124

3.抛物线y=-6公一％+2与y轴的交点坐标是

与x轴的交点坐标是

4.已知对称轴为x=-l的抛物线经过4(1,-1),8(-2,2)两点，求这条抛物线所对应的二次

函数。

5.二次函数丫=a/+bx+c(a。0)的图象过点(-2,0),(3,0),函数的最大值为5,

求这个二次函数。

6.二次函数的图象的顶点为(2,-4),在x轴上所截得的线段长为5,求这个二次