河北河北衡水中学2021年高考数学高考数学压轴题 导数及其应用多选题分类

ffa一、导及其应用多题1．函数

有两个极值点x、x

xx1

，则下列结论正确的是（）A．b2ac

B．

x,x1

上单调递减C．

af1

只有一个零点

．在

，使得

1

0

【答案】【分析】利用极值点与导数的关系可判断A选项的正误；取a，利用函数的单调性与数的关系可判断选的正误；分、a两种情况论，分析函数

的单调性，结合图象可判断C选项的正误；计算出函数

的图象关于点

,

对称，可判断D选项的正误【详解】cx

x

2

.对于选，由题可知，关于的二次方程根，

ax

有两个不等的实则b

ac，得

2

ac，选项正确；对于选项，当时且当

x2

f

，此时函数

在区间

x,x1

上单调递增，选错误；对于C选，当时由

x或

；由

，可得.所以，函数

的单调递增区间为

x,2

，单调递减区间为

x,x1

，由

af

x1

，得f

x1

，此时，函数

的极大值为

1

，极小值为

2

1

，如下图所示：

由图可知，此时函数

有且只有一个零点，且零点在区间

x,2

内；当a时由

，可得

xx或xx

；由

，可得x.所以，函数

的单调递减区间为

x,2

，单调递增区间为

x,x1

，由

af11

，此时，函数

的极小值为

1

，极大值为

22

1

，如下图所示：由图可知，此时函数

有且只有一个零点，且零点在区间

x,2

内，选项正确；

322232f322232f3对于D选，由题意可知，、是方程ax1

bx的根，由韦达定理可得x

3a

c，x，f23

a

3

tx

2

2

2

，取

t

，则f3

bf3a

bb

2

bbbd2fa3a

，a所以，函数

的图象关于点

a

,

对称，x1

b3a

，f

b

，选正确故选：【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（）接法：对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（）造新函法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（）变量分法：由

分离变量得出

g为线

与函数

y

的图象的交点问题.2．下列不等式正确的有（）A．3ln3

B．ln

e

C．2

15

．eln22【答案】CD【分析】构造函数

f

lnx

，利用导数分析其单调性，然后由

f

fef2fef2f

、f

、(f)

得出每个选项的正误【详解】令

f

lnx，则fxx

，令

得

易得

f(x)

在

在

上单调递减所以

f

ln33

，即333，故A错误；②

f

ln

，所以可得ln，故B错；e③(f(4)

，即

424

，即ln1515所以ln15ln2

，以2

，故正确；④(8)f)

8，即

23e，即，e

ln2所以3eln2，故正；故选：【点睛】关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择3．若存在常数k和，使得函数

F意实数x都足：F

恒成立，则称此直线

为

F线．知函数f

2

（

），

g

12

（

），

，（为然对数的底数），则（）A．

m

在

x

内单调递减B．

之间存在“隔直，且b的最小值为C．

之间存在“隔直”，且k的值范围是

．

之间存在唯一的隔直”，程为

y

ex

e2【答案】【分析】对于A：令

m

，利用导数可确定

判断；

对于和C利用二次函数的性质以及不等式恒成立的知识求出b、的范围，进而作出判断；对于选项D：根据隔离直线过

的公共点，可假设隔离直线为ykx

e2

；可得到e，再利用恒成立得出的值，最后尝试利用22导数证明

h

e2

，进而作出判断【详解】对于A，

m

，22x

1x2x2

，当

x,0时m

x

单调递增，故A错；对于B，

，f

的隔离直线为

，x2

kx对任意x恒立，即x2b对意R恒立，所以

k1

2

，以b，又

12

kx对意x

恒成立，即2kx2对意

x

恒成立，因为

b

，所以

k且1

2

，所以

且

，

4

，得

，理

，所以b的小值为，的值范围是故确，

错误；对于D，

函数

x

和

h

x

的图象在

处公共点，

若存在

的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为

，则隔离直线方程为

y

e

e，

ye

e2

，则则

2e（R），得x2kx对R恒立，22e解得，此时隔离直线方程为：

y

ex

e2

，

eexex0,在eexex0,在下面证明，2ee令xlnx22

（

），则G

，x当x

，

；当0x时

G

；当xe时

G

；

当xe时，

最值，即

min

，

e2

在

上恒成立，即

h

e2

，函数f

存在唯一的隔离直线

y

ex

e2

，D正.故选：.【点睛】关键点睛：本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理“隔直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题，属于难题4．（多选）已知函数

fx)axlnx(a

，则下列说法正确的是（）A．若a则函数

f(x)

没有极值B．，函数f()

有极值C．函数有只有两个零点，则实数的值范围是．函数

有且只有一个零点，则实数a的值范围是

(【答案】【分析】先对

进行求导，再对

进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判.【详解】解：由题意得，函数

f(x)

的定义域为且f)

1axxx

，当a时

f

恒成立，此时

f(x)

单调递减，没有极值，又

当x趋于0时

f(x)

趋近于x趋于，f()

趋近于，∴()

有且只有一个零点，当

a

时，在

上，

f

，

f(x)

单调递减，,

0，f()

单调递增，

在在当x

时，

f(x)

取得极小值，同时也是最小值，∴f(x)

fmin

ln

，当趋近于时，

ln

趋近于

，

f(x)

趋近于

，当趋近于，f()

趋近于当a，

1e

时，

f(x)

有且只有一个零点；当

1a，0

e

时，

f(x)

有且仅有两个零点，综上可知ABD正确，错．故选：．【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直求零点：令

，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零存在性定理：利用定理不仅要函数在[，b]

上是连续不断的曲线，且

，还必须结合函数的图象与性(如调性、奇偶才确定函数有多少个零点；(3)利图象交点的个数：将函数变形为两个数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．5．已知函数

f

x

e

2

x2

，则下列说法正确的是（）A．函数

y

是偶函数，且在

上不单调B．数

yf

是奇函数，且在

上不单调递增C．数

yx,0

上单调递增．任意m，都有

f

【答案】AD【分析】由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A、C、【详解】解：对，

f

x

ex

2

x2=x2x

，定义域为R，关于原点对称，

2222f

e

xx)fe

，f

是偶函数，其图像关于轴对称f)

在

上不单调，故A正确；对B

f

x

12sinxe

，f

1xex

，f

是奇函数，令

g(x)x

1e

x

，则

g+

1e

2cos

，f

在

上单调递增，故B错；对，

fx

1ex

2sinx

，且

f)

在

上单调递增，又

f

，x,0f

，πfx在,0

上单调递减，故C错误；对，

y

是偶函数，且在

上单调递增，f)f(0)

，故D正.故选：【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在用导数讨论函数的单调区间时，首先确定函数的定义域；(2)不随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集式；(3)利导数解决含参函数的单调性问题时，般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应.6．对于定义在D上函数f1

和定义在D上函数g2

，若直线

R

同时满足：

D，1

，

x

，则称直线

kx

为

x

与

g

x

的隔直”若

f

lnx

，

，则下列为

的隔离直线的是（）

yyA．

B．

yx

12

C．

y

x3e

．

y

1x2【答案】【分析】根据隔离直线的定义，函数

y

的图象总在隔离直线的下方，

yg

x

的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，结合函数的图象和函数的单调性，以及直线的特征，逐项判定，即可求解【详解】根据隔离直线的定义，函数

y

的图象总在隔离直线的下方，

yg

的图象总在隔离直线的上方，并且可以有公共点，由函数

f

x

lnx，可得xx

，所以函数

上单调递减，因为

，此时函数

处的切线方程为

x

，且函数

的图象在直线

x

的下方；又由函数

，可得

，

单调递增，因为

，所以函数

g

在点

(1,1)

处的切线方程为

，即，此时函数

g

的图象在直线y的上方，根据上述特征可以画出

y

的大致图象，如图所示，直线

x

和分别是两条曲线的切线，这两条切线以及它们之间与直线平的直线都满足隔离直线的条件，所以A都合；设过原点的直线与函数

y

相切于点

x,00

，根据导数的几何意义，可得切线的斜率为

k

1x

，又由斜

k

yx0x

ln1lnx，可得0，得x

x0

，所以

k

11()2

，可得切线方程为

y

x

，又由直线

y

x3e

与曲

y

相交，故C不符合由直线

y

1x2

过点

，斜率为，曲线

y

处的切线斜率为1，明显不满足，排除D.故选：

m12m12【点睛】对于函数的新定义试题：（）真审题正确理解函数的新定义，合理转化；（）据隔离线的定义，转化为函数

y

的图象总在隔离直线的下方，

yg的图象总在隔离直线的上.7．已知函数

有两个零点x、x，x1

，则下列结论不正确的是（）A．

0m

1e

B．

x2

的值随的大而减小C．

0

．

x2【答案】【分析】由

得出m

ln

，构造函数

g

lnxx

，利用导数分析函数

g

的单调性与极值，数形结合可判断ACD选项的正误；任取、

，且

mm1

，设g

12

，其中

11

2

；设

g

12

，其中1

2

，利用函数

g

的单调性结合不等式的基本性质得出

22

，可判断选项的正.【详解】令

，可得m

ln

，构造函数

g

lnxx

，定义域为

，g

1lnxx

.当

0

时，

g

，此时函数

g

单调递增；当时，

g

，此时函数

g

单调递减.所以，

g

x

g

1e

，如下图所示：

mm12m由图象可知，当

0m

1lnx时，直线与函数gex

的图象有两个交点，选正确；当x

时，

g

，由图象可得

11

，

x2

，选项错误D选正确；任取、

，且

mm1

，设

g

1

2

2

；设

g

12

，其中1

2

.由于函数

g

上单调递增，且

g

1

11

；函数

g

上单调递减，且

g

2

22

.由不等式的基本性质可得

则121222

.所以，

x2

的值随的大而减小，选正确故选：【点睛】在利用导数研究函数的零点问题个数中，可转化为判定

有两个实根时实数应满足的条件，并注意

g

的单调性、奇偶性、最值的灵活应用．另外还可作出函数yg

的大致图象，直观判定曲线交点个数，但应注意严谨性，进行必要的论证．8．已知函数

x

，则下列说法正确的是（）A．当

a

时，

单调递增B．

a

时，

处的切线为轴C．时，

存在唯一极小值点，

．任意，

一定存在零点【答案】【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答.【详解】

3πex43πex444对于A当

a

时，

x，f

，因为

x

时，

1,cos

，即

x

，所以

在

上单调递增，故正确；对于，

a

时，

x

sin，f

x

x

，则

0

sin0，f

0

，即切点为0,1，线斜率为0，故切线方程为，错；对于，当时

x，f

，当

x

时，sin

，x，

x

恒成立，即

x

cos在

上单调递增，又

f

，ππf444

π4

，因为

3

π

，所以πf

π4

，所以存在唯一

πx

，使得

0

成立，所以

0

上单调递减，在

0

上单调递增，即

存在唯一极小值点x，由0

x0

，可得f

x0sinx0x0x0sin

，因为

x

3π42

，所以

x4

3π4

，则f2x4

，故C正确；对于选项D，

x

，

x

，令

x

，得

sinxe

，sinx，e

，则cossinxx

π2sinx

，令

gx

0

，得

sin4

，则

xkZ

，令

gx

0，

4

5，则kkZ

，此时函

44π444π4数

g

单调递减，令

gx

0，

4

π9π，则π2kkkZ

，此时函数

g

单调递增，所以

xk

π

Z

取得极小值，极小值为πgk

5π4kkZπ52k4

，在

g

的极小值中，

3gg4

4π

最小，当

x

3π4

时，

g

单调递减，所以函数

g

的最小值为g

54

12e

π

，当

2e

π

时，即

3π4

时，函数

g

1a

无交点，即

在

不存在零点，故D错.故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题9．已知f

x（）A．

的零点个数为

B．

的极值点个数为3C．轴曲线

y

的切线

．

，则x11【答案】【分析】首先根据

x

x

，分别画出

y

x

和

x

的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答.【详解】

x2x2f

x

cosx，f

x

cosx

.分别画出

y

x

和

的图像，如图所示：由图知：

x

x

有三个解，即

有三个解