河南省豫东豫北十所名校2021-2022学年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合人={》|言=则等于（）

A.{^-1<X<1}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1}

2.已知数列{q}的通项公式是4=/sin（驾贝！+4+q+…+%2=（）

A.0B.55C.66D.78

x-y+320

3.已知实数X，），满足约束条件,x+2yN0，则z=3x+y的最小值为（）

x<2

A.-5B.2C.7D.11

4.若点（二二;位于由曲线二=।二_口+」；与二=_；围成的封闭区域内（包括边界），贝k_.的取值范围是（）

A,[-3,1]B,[-3,5]C,(-x,-3]u[5,+X)D,(-x,-3]u[2,+x)

5.将函数/（x）=cos2x图象上所有点向左平移:个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（x）在区间［0,可上单

调递减，那么实数”的最大值为（）

7■兀乃3

A.—B.—C.—D.—71

8424

6.已知直线x+y=，与圆％2+丁=2.一产。€国有公共点，则《47）的最大值为（）

283232

A.4B.—C.—D.—

997

7.某几何体的三视图如图所示，若侧视图和俯视图均是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积为

正视图侧视图

8.在AABC中，a/,c分别为NA,NB,NC所对的边，/(x)=+bx2+(a2+c2-ac)x

+1有极值点，则E>B的范围是()

C.匕71叫-ID.《(H刃\

——1—

9.在AABC中，。在边AC上满足A£>=§。。，£为8。的中点，则屈=().

7___3___3__.7___3__.7___7___3___.

A.-BA.—-BCB.-BA一一BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

88888888

10.已知集合人=卜,<1},8=k|/<1},则()

A.AcB={x|x<l}B.Au8={x|x<e}

C.ADB={X|X<1}D.AcB={x[O<x<1}

若函数/(幻=在=处取得极值贝(力=()

11.0?+3/+/)；112,jq—

A.-3B.3C.-2D.2

12.AABC中，BC=2下,。为BC的中点，ZBAD=~,AD=\,则AC=()

4

A.275B.272C.6-V5D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2

13.过加(-2,0)且斜率为]的直线/交抛物线C:y2=2px(p>0)于AI两点，/为。的焦点若AMEB的面积等于

△ME4的面积的2倍，则，的值为.

14.已知数列｛4｝满足q=1,。2=§对任意〃22,〃eN*,若%（%+2%+|）=3%_必,用，则数列｛4｝的通项公式

15.已知点尸为双曲线E：/一a=1（。＞（））的右焦点，M,N两点在双曲线上，且M,N关于原点对称，若

J[JI

MF上NF,设NMNF=9,且，则该双曲线£的焦距的取值范围是_______.

126

16.已知数列｛《,｝满足，楠=3%，且％+%+/=9,则log八生+。7+%）=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Y-j6cosCL

17.（12分）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（。是参数），以原点。为极点，x轴的正半

y=sina

轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为夕Sin[。-血.

（1）求直线/与曲线C的普通方程，并求出直线的倾斜角；

（2）记直线/与y轴的交点为。,M是曲线c上的动点，求点W,。的最大距离.

18.（12分）设函数/（x）=|2x+a|+|2x-3|.

（1）当a=I时,求不等式〃力/6的解集;

（2）若不等式/（X）24恒成立，求实数a的取值范围.

19.（12分）[2018•石家庄一检旧知函数=一方）（aeE）・

（1）若a=l,求函数〃x）的图像在点处的切线方程；

（2）若函数/（X）有两个极值点芭，X”且王＜马，求证：/（x2）＞-1.

20.（12分）设椭圆E:]+y2=i,直线4经过点M（〃?,0）,直线4经过点N（〃,O）,直线小|直线4,且直线4,4

分别与椭圆E相交于A,3两点和C,。两点.

（1）若用，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线4,x轴，求四边形ABC。的面积；

（II）若直线4的斜率存在且不为0,四边形ABC。为平行四边形，求证:/〃+〃=0;

（DI）在（II）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由.

21.（12分）如图，在三棱柱45C-A4G中，平面ABC,ABLAC,且A8=AC=AB=2.

（1）求棱A4与BC所成的角的大小；

（2）在棱与G上确定一点P,使二面角P-AB-A的平面角的余弦值为半.

22.（10分）如图，已知E,尸分别是正方形ABC。边8C,CO的中点，EF与AC交于点。，PA,NC都垂直

于平面ABCD,且Q4=AB=4，NC=2,"是线段上一动点.

（1）当MO,平面EFN,求的值;

（2）当M是以中点时，求四面体M-E/W的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

先化简集合A,再与集合8求交集.

【详解】

x-2<x<1},B={-1,0,1},

因为A5号（°

所以Ac3={-l,0}.

故选：C

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.

2.D

【解析】

2〃+l

先分〃为奇数和偶数两种情况计算出sin------71的值，可进一步得到数列｛2｝的通项公式，然后代入

2

q+%+4+…+%转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.

【详解】

2〃+l71,：71=sin包r

解：由题意得，当〃为奇数时，sin--------兀=sinnjr-\——=sinTT-\——

22I22

2/1+1.冗1

当〃为偶数时，sin万=sinnji+—sin—=1

2JI22

所以当〃为奇数时，a「心当〃为偶数时，an=rr,

所以q+%+ClyH---F6!12

=-l2+22-32+42-----1P+122

=(22-l2)+(42-32)+---+(122-ll2)

=(2+l)(2-l)+(4+3)(4-3)+---+(12+i1)(12-11)

=l+2+3+4+…+11+12

_12x(1+12)

2

=78

故选：D

【点睛】

此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档

题.

3.A

【解析】

根据约束条件画出可行域，再将目标函数化成斜截式，找到截距的最小值.

【详解】

x-y+320

由约束条件<x+2y>0,画出可行域△ABC如图

x<2

2=31+），变为^=一31+2为斜率为-3的一簇平行线，2为在）'轴的截距,

•••二最小的时候为过。点的时候，

x—y+3=0x=-2,、

解cc得｛,所以。（一2,1）,

x+2y=0[y=l''

此时z=3x+y=3x（-2）+1=-5

本题考查线性规划求一次相加的目标函数，属于常规题型，是简单题.

4.D

【解析】

画出曲线二=|：_2|+j与二=.；围成的封闭区域，「表示封闭区域内的点（二二和定点（二_,连线的斜率，然后结合

图形求解可得所求范围.

【详解】

画出曲线二=r_2|+1与二=.；围成的封闭区域，如图阴影部分所示.

一表示封闭区域内的点二二;和定点二（二―：连线的斜率,

设一，结合图形可得->或-v

LT口+'J——口口14I

-=—

由题意得点A,B的坐标分别为二（3,0）,二（j,丁

二二21或二<-3»

二口+i的取值范围为（7,-3]U□，+"）•

—

故选D.

【点睛】

解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把丁,看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线

三

所围成的封闭区域.考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题.

5.B

【解析】

根据条件先求出g（X）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.

【详解】

将函数/（x）=COS2x图象上所有点向左平移:个单位长度后得到函数g（X）的图象，

贝!Jg（%）=cos2x+—=cos2x+—,

TT

设e=2x+—,

2

,）i

则当OvxW。时，0<2x<2a,一<2xH—W2aH—,

222

TT八c7C

即一<e«2〃+—,

22

要使g（x）在区间［0,a］上单调递减，

TTTCTC

则2a+J<乃得2a<2,得。《巴，

224

兀

即实数”的最大值为一，

4

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题.

6.C

【解析】

根据f+y2=2,一产"eR）表示圆和直线x+y=f与圆+V=2/-产。GR）有公共点，得到04Y。，再利用

二次函数的性质求解.

【详解】

因为f+>2=2f-"GeH）表示圆,

所以2,一产>0,解得Oct<2,

因为直线x+y=z与圆/+丁=2/—产«£尺）有公共点，

所以圆心到直线的距离d4八

4

解得（）<,<§,

4

此时0</<一，

3

,「4'

因为/•（。=〃4—/）=—产+射=一”—2）一+4,在0,-递增,

所以r(4-。的最大值

故选：C

【点睛】

本题主要考查圆的方程，直线与圆的位置关系以及二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

7.C

【解析】

由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是边长为2的等边三角形，三棱锥的高为百，所以该几何体的体积

V=-xlx2x2x—xG=l,故选C.

322

8.D

【解析】

12

试题分析：由已知可得尸(x)=炉+2区+("+c-«c)=0有两个不等实根

\、、、c厂+c~—b~1(兀

=>△=43-4(tr+c-一ac\>0^>a'+c'-b~<ac=>cosB=---------<—=^>Be.

v'lac213J

考点：1、余弦定理；2、函数的极值.

【方法点晴】本题考查余弦定理，函数的极值，涉及函数与方程思想思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑

思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先利用转化化归思想将原命题转化为

/'(x)=x2+2Z?x+(«2+c2-ac)=0有两个不等实根，从而可得

△=4Z72-4(a2+c2—ac\>0=>a2+c2-b2<ac=>cosB-'+'---<—=>BeIT,Tt•

k)2ac213；

9.B

【解析】

由印方=3万e,可得C»=[C4,CE^-(CB+CD)^-(CB+^CA),再将包=丽—配代入即可.

【详解】

___]______3_____,]______1__3__.

因为无力=§加，所以前=1瓦，故怎:会至+而)=](至+疝而)=

1—.3―■3―■3—7—

-(-BC+-BA--BC)^-BA——BC.

24488

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.

10.c

【解析】

求出集合8,计算出AC3和AUB,即可得出结论.

【详解】

=3=卜,*<1}={X|X<0},AcB=„<()},Au3={x|x<l}.

故选：C.

【点睛】

本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.

11.A

【解析】

f/,(l)=0

对函数/(力求导，可得;小C，即可求出。力，进而可求出答案.

.”1)=2

【详解】

因为/(幻=办3+3/+人,所以/(劝=3℃2+6》,则<［小、,…解得。=—2力=1,则。一匕=一3.

f(Y)-a+3+h=2

故选:A.

【点睛】

本题考查了函数的导数与极值，考查了学生的运算求解能力,属于基础题.

12.D

【解析】

在AA8D中，由正弦定理得sin6=10；进而得cosNAZ)C=cos

8=—,在AAOC中，由余弦定理可得

10臣5

AC.

【详解】

ADBDr—r—

在A4BD中，由正弦定理得忑万=.万，得sinB=W?,又BD>AD,所以8为锐角，所以cosB=名",

sin41010

[7t

cos/.ADC=cos—+8

u

在AAQC中，由余弦定理可得AC?=AO2+OC2-2AO.£)CCOSNAOC=4,

AC=2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2

【解析】

联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可.

【详解】

如图，设A（X],M）,B®，必），由S.MFB=2S.MFA，则%=2%,

y=-（x+2）,,16

由〈3可得y2—3py+4〃=O,由/>0,则2>一，

y2=2px9

,16

所以y+%=3p,y%=2p-=4p,得P=2>§.

故答案为：2

【点睛】

此题考查了抛物线的性质，属于中档题.

1

14.

2"-1

【解析】

/、11C/11、11C"

由4（%-1+24+1）=34_1%+|可得--------=2（---------）,利用等比数列的通项公式可得-------=2,再利用

aaa

n+lnnfln-l%+1

累加法求和与等比数列的求和公式，即可得出结论.

【详解】

由%,(a,i+2%)=3%_四用，得^———=2(---)

Un+\UnUnUn-\

11c,11]

------=2,数列｛---------｝是等比数列，首项为2,公比为2,

«244Man

aa

4+1nn4-1

I一■?”

=2"T+2"-2+…+2+i=_L^=2T,

1-2

,1,1

〃=L—=1,满足上式，

q2"-1

故答案为:J二.

2"-1

【点睛】

本题考查数列的通项公式，递推公式转化为等比数列是解题的关键，利用累加法求通项公式，属于中档题.

15.[272,273+2]

【解析】

设双曲线的左焦点为L，连接由于所以四边形F'NFM为矩形，故户]=2c,由双

曲线定义INF\-\NF'|=|^|-|FM|=2。可得,=&cos（6+[，再求=0cos（6+?）的值域即可.

【详解】

如图，

设双曲线的左焦点为尸，连接叱'，八下'，由于MF_LML所以四边形尸M7W为矩形,

故|MN|=|"]=2c.

在RtANFM中IFN\=2ccos0,\FM|=2csin0,

由双曲线的定义可得

2=2。=|Nb|一|NF'|=|NF\-\FM\=2ccos6-2csin0=2岳cos（9+.）

.1

0cos（e+

・・•一<0<—：,—<0+—<—

12693412

..-------W>/2COS0d—W—

2t4；2

:.42<c<y/3+\,2V2<2c<2>/3+2.

故答案为：[20,26+2]

【点睛】

本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.

16.-5

【解析】

数列｛4｝满足%M=34知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得1084%+%+。9）的值即

可.

【详解】

数列｛4｝是以3为公比的等比数歹U,

又。2+&+。6=9,

二.%+%+为=9x3之=35,

「.log।（%+%+%）=-/ogs?5=-5

3

故答案为：-5.

【点睛】

本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

?7t

17.(1)—+/=1,y=x+2,直线/的倾斜角为一

64

3730

5

【解析】

X-夕cos.

(1)由公式Sil?a+cos2a=1消去参数得普通方程，由公式”.八可得直角坐标方程后可得倾斜角;

y-psin，

(2)求出直线/与y轴交点Q,用参数表示M点坐标，求出|阿，利用三角函数的性质可得最大值.

【详解】

(1)由F="c°sa，，消去&得c的普通方程是：+/=1

y=sina,6

由psin[e_?=V2,得夕sin®—/7cos，=2,

将[yX=-OCOS。0代入上式'化简得kA?

直线/的倾斜角为四

4

(2)在曲线C上任取一点cosa,sina),

直线/与)'轴的交点。的坐标为(0,2)

则|MQ、=Q(娓cosa-0)+(2—sina)2=>/-5sin2a-4sina+10

当且仅当sina=-1时，取最大值考0.

【点睛】

本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，属于基础题.求两点间距离的最值时,

用参数方程设点的坐标可把问题转化为三角函数问题.

18.(1){x|-l<x<2}(2)(-oo,-7]U[h+°°)

【解析】

(1)利用分段讨论法去掉绝对值，结合图象，从而求得不等式/(X)<6的解集;

⑵求出函数“X)的最小值，把问题化为了GL24,从而求得”的取值范围.

【详解】

(1)当4=1时,

—4x+2,xW—,

2

贝(j/(x)=＜4,—3＜无＜微,

3

4-x-2,x2万,

所以不等式/(X)<6的解集为{x\-l<x<2}.

(2)等价于|2x+a|+|2x-3|Z4,

而|2x+a|+|2x-3|z|a+3],

故等价于|a+3|N4,

所以Q+324或a+3<-4,

即a21或a4—7,

所以实数a的取值范围为(f,-7]U[Le).

【点睛】

本题考查含有绝对值的不等式解法、不等式恒成立问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻

辑推理能力、运算求解能力，难度一般.

19.(1)x+y=O(2)见解析

【解析】

试题分析：(1)分别求得/(I)和/'(1),由点斜式可得切线方程；

(2)由已知条件可得/'(力=/加+1-2以有两个相异实根再，x2,进而再求导可得0<a<g,结合函数的单调性

可得/(工2)>/(1)=一”>一!，从而得证.

试题解析：

(1)由已知条件，/(x)=x(lnx-x),当x=l时,/(x)=-l,

,f(x)=lnx+l-2x,当x=l时，/'(x)=—1,所以所求切线方程为x+y=O

(2)由已知条件可得/'(x)=lnx+l-2以有两个相异实根西，超，

令/'(x)=〃(x)，则〃,(x)=L_2a,

D若aKO,则〃«)>0,〃(x)单调递增，/'(X)不可能有两根；

2)若。>(),

令/f(x)=O得工=或，可知〃(x)在(0,()上单调递增，在上单调递减，

令解得0<。<,，

\^a)2

,11七112a

由_<丁有/_=—<0,

e2a\eje

从而0<a<g时函数/(x)有两个极值点，

当x变化时，/'(X),/(X)的变化情况如下表

X2个（七㈤（三,+8）

再x2

f区—0+0—

/1X）单调递减、fM单调递增/单调递减、

因为=所以/(x)在区间口，/］上单调递增，

二/(%2)＞八1)=-。＞-；.

另解：由已知可得/'(力=加+1-2分，则2a=令g(x)=H^,

则g'(x)=F，可知函数g(x)在(0,1)单调递增，在(I,w)单调递减，

若尸(x)有两个根，则可得玉<1<々，

当时，1+1nx>2a,/'(x)=lnx+l-2ox>0,

所以/(x)在区间［1,引上单调递增，

所以/(工2)>/(1)=_4>_：.

20.(I)2正；(口)证明见解析；(皿)不能，证明见解析

【解析】

（⑸/、

(I)计算得到故A-1,，B-1,---,C1,^-,D1,一号，计算得到面积.

I2J2

\77

_4k2m

'2汽+1，计算IAB|=VT7淳46k2一一病把,同理

(H)设4为丁=%。—加)，联立方程得到，

2k2m2-2112k2+\

g=HF

|CD|=ViTF8A.1+8,根据|AB|=|C。得到〃=〃2,得到证明.

(DI)设AB中点为尸(〃/)，根据点差法得到a+2妨=0,同理c+2k/=0,故攵=一二。一?，得到结论.

2kk

【详解】

（⑹\_、一

（I）M（-1,O）,N（l,0）,故ABT--—，C1,—，D1,---

22

I27k27k27

故四边形A3CD的面积为S=2J5.

2

X

------1-y2=]

(H)设4为白=左(％一加),则｛2,故（2左2+1卜2-4攵25+2加攵2-2=0,

y=k^x-m

4k2m

x,+x.=―；——

1-2父+1

设A（x，y）,B（x29y2）9故,

2k2m2-2

卬”中广

\AB\=Jl+%2lx一司=J]+q2J（X]+*2）2_4%|工2=4^+^————:"+8

2k+1

川6/一8/〃2+8

同理可得［C£)|=Jl+%2

2k1+\

加风故府MJ/二后美手

即M=〃2,m^n,故加+〃=0・

皿)设AB中点为P(M),则与+城=1,迂+0=1,

相减得到区理生出+(,+%)(%-%)=0,即a+2妨=0,

同理可得：8的中点Q(c,d),满足c+2AZ=0,

故即。='心=故四边形ABC。不能为矩形.

°c-a-2kd+2kb2kk

【点睛】

本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

21.(1)y(2)P(1,3,2)

【解析】

试题分析：(1)因为ABLAC,AiB_L平面ABC,所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y

轴，以过A,且平行于BAi的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=AiB=2求出所要用到的点的坐标，求出棱

AAi与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AAi与BC所成的角的