甘肃省会宁二中2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精甘肃省会宁二中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题含答案2019-2020学年度第二学期会宁二中期中试卷高二数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分,共60分．在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M＝｛x|﹣4＜x＜2}，N＝{x｜x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3｝ B．｛x|﹣4＜x＜﹣2} C．{x|﹣2＜x＜2｝ D．｛x｜2＜x＜3}2．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12π B．π C．8π D．4π3．某商品销售量y(件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）A．＝﹣10x+200 B．＝10x+200 C．＝﹣10x﹣200 D．＝10x﹣2004．下列四组函数中，表示同一函数的是(）．A．f（x)＝|x|,g(x)＝B．f(x)＝lgx2，g(x）＝2lgxC．f(x)＝,g（x）＝x＋1D．f（x)＝·，g（x）＝5．已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2y﹣6＝0，则两圆的公共弦长为（）A． B．2 C．2 D．16．方程2x＝2－x的根所在区间是（）。A．(－1，0) B．(2，3) C．（1,2) D．(0,1)7．已知复数，则｜z｜＝（）A． B． C． D．8．圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0上到直线x+y+1＝0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．已知a＝log30.5，b＝log0。50.6，c＝30.2，则()A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．已知m,n为两条不同直线,α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（）①若m∥α,α∥β,则m∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β;③若m⊥α,n⊥β，α∥β，则m∥n;④若m⊥α，n⊥β，α⊥β,则m⊥n；A．1 B．2 C．3 D．411．直线l过点P（﹣1，2)且与以点M（﹣3，﹣2）、N(4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（)A．［﹣，5］ B．[﹣,0)∪(0，2] C．(﹣∞，﹣］∪[5，+∞） D．（﹣∞,﹣]∪[2,+∞）12．对任意实数a,b定义运算“⊗”：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(b，a－b≥1，,a，a－b〈1.））设f（x）＝（x2－1）⊗（4＋x），若函数y＝f(x）＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点，则k的取值范围是()A．(－2,1)B．[0,1]C．[－2,0) D．［－2，1)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是3，点M、N分别是棱AB、AA1的中点，则异面直线MN与BC1所成的角是．14．函数y＝log2（3﹣2x﹣x2)的值域为．15．已知幂函数是奇函数,且f(5)＜1，则m的值为．16．阿基米德(公元前287年﹣公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为．三、解答题（本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知A＝｛x|﹣3≤x﹣2≤1},B＝｛x｜a﹣1≤x≤a+2｝（a∈R）．（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B；(Ⅱ)若A∪B＝A，求实数a的取值范围．18．(12分)如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1;(2)若AE＝A1E,AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．19．(12分)2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果，一次节目结束后,现随机抽取了500名观众（含200名女性)的评分（百分制）进行分析,分别得到如图所示的两个频率分布直方图．（Ⅰ）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；（Ⅱ）若把评分低于70分定为“不满意”,评分不低于70分定为“满意”．（i）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由;(ii）完成下列2×2列联表，并回答是否有95％的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．女性观众男性观众合计“满意”“不满意”合计参考数据:K2＝P（K2≥k）0。050.0100.001k3。8416.63510。82820．（12分）已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．（1）求a,b的值；(2）若对任意的t∈R,不等式f(t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范围．21．(12分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（﹣1，3)、B（3,﹣4),边AC上的高线所在的直线方程为2x+3y+6＝0，边BC上的中线所在的直线方程为2x+3y﹣7＝0．(1）求点B到直线AC的距离；（2）求△ABC的面积．22．(12分)已知函数f（x)＝log5（3ax+b）,其中a，b为常数，且f（40）＝3，f(0）＝1．（1）求实数a,b的值；（2）若对于任意x∈［﹣1,+∞)，不等式5x＞m﹣f（x）恒成立，求实数m的取值范围．2019—2020学年度第二学期会宁二中期中试卷高二数学（文科)答案详解一．选择题(共12小题）1．已知集合M＝{x｜﹣4＜x＜2｝，N＝{x｜x2﹣x﹣6＜0｝，则M∩N＝()A．｛x|﹣4＜x＜3｝ B．｛x｜﹣4＜x＜﹣2} C．｛x|﹣2＜x＜2｝ D．{x｜2＜x＜3｝【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的运算即可得出．【解答】解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0｝＝{x｜﹣2＜x＜3｝，∴M∩N＝｛x｜﹣2＜x＜2｝．故选：C．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和交集的运算，属基础题．2．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（)A．12π B．π C．8π D．4π【分析】先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2,正方体的体对角线为＝2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为＝12π．故选：A．【点评】本题考查学生的空间想象能力，体积与面积的计算能力，是基础题．3．某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件)负相关，则其回归方程可能是（）A．＝﹣10x+200 B．＝10x+200 C．＝﹣10x﹣200 D．＝10x﹣200【分析】本题考查的知识点是回归分析的基本概念，根据某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件)负相关，故回归系数应为负，再结合实际进行分析，即可得到答案．【解答】解：由x与y负相关,可排除B、D两项，而C项中的＝﹣10x﹣200＜0不符合题意．故选：A．【点评】两个相关变量之间的关系为正相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为正;两个相关变量之间的关系为负相关关系，则他们的回归直线方程中回归系数为负．4．下列四组函数中，表示同一函数的是（）．A．f（x)＝|x|，g（x)＝B．f（x)＝lgx2，g(x)＝2lgxC．f（x)＝，g（x)＝x＋1D．f(x）＝·，g(x）＝故选A5．已知圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2y﹣6＝0，则两圆的公共弦长为（）A． B．2 C．2 D．1【分析】把两个圆的方程相减可得相交弦所在直线方程，通过半弦长,半径,弦心距的直角三角形，求出半弦长，即可得到公共弦长．【解答】解：圆x2+y2＝4与圆x2+y2﹣2y﹣6＝0的方程相减可得公共弦所在的直线方程为y＝﹣1,由于圆x2+y2＝4的圆心到直线y＝﹣1的距离为1，且圆x2+y2＝4的半径为2,故公共弦的长为2＝2，故选：B．【点评】本题是中档题，考查两个圆的位置关系，相交弦所在的直线方程，公共弦长的求法,考查计算能力．属于基础题6．方程2x＝2－x的根所在区间是(）.A．（－1，0） B．(2，3) C．(1，2） D．(0,1)故选:D．7．已知复数，则｜z｜＝（）A． B． C． D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求｜z｜．【解答】解：∵，∴．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法,是基础题．8．圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0上到直线x+y+1＝0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0可化为（x+1）2+(y+2）2＝8，过圆心平行于直线x+y+1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1＝0的距离为的平行线与圆相切,只有一个交点．【解答】解:圆x2+y2+2x+4y﹣3＝0可化为(x+1)2+（y+2）2＝8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d＝＝，∴过圆心平行于直线x+y+1＝0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1＝0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C．【点评】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系与交点个数问题，属基础题．9．已知a＝log30.5，b＝log0.50。6,c＝30.2,则()A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b【分析】容易得出，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵log30。5＜log31＝0，0＝log0.51＜log0.50.6＜log0。50。5＝1，30.2＞30＝1，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】考查对数函数、指数函数的单调性，以及增函数和减函数的定义．10．已知m，n为两条不同直线，α,β为两个不同的平面,则下列说法中正确的个数是(）①若m∥α，α∥β，则m∥β；②若m∥α,m∥β,则α∥β；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β,α⊥β，则m⊥n;A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个命题得答案．【解答】解：对于①，若m∥α,α∥β，则m∥β或m⊂β，故①错误；对于②，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β,故②错误；对于③,若m⊥α,α∥β，则m⊥β,又n⊥β,∴m∥n,故③正确；对于④，若m⊥α，n⊥β,α⊥β，则m⊥n，故④正确．∴说法正确的个数是2．故选:B．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．11．直线l过点P(﹣1,2）且与以点M(﹣3，﹣2）、N(4，0）为端点的线段恒相交，则l的斜率取值范围是（）A．[﹣,5］ B．［﹣,0)∪（0，2] C．（﹣∞,﹣]∪［5,+∞) D．（﹣∞，﹣］∪［2,+∞)【分析】由题意画出图形，求出PM、PN所在直线的斜率，数形结合得答案．【解答】解:如图，∵P（﹣1，2）、M（﹣3,﹣2）、N(4,0），∴，．由图可知，使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是（﹣∞,﹣]∪[2，+∞)．故选:D．【点评】本题考查直线的斜率,考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12．对任意实数a，b定义运算“⊗"：a⊗b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（b，a－b≥1，，a，a－b<1.)）设f（x）＝（x2－1)⊗（4＋x),若函数y＝f（x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点,则k的取值范围是（)A．（－2，1)B．[0，1]C．［－2,0) D．［－2，1)解析解不等式x2－1－（4＋x）≥1，得x≤－2或x≥3,所以f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，,x2－1，x∈(－2，3)。））函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同的交点转化为函数y＝f(x）的图象和直线y＝－k恰有三个不同的交点．如图,所以－1<－k≤2，故－2≤k〈1.二．填空题（共4小题）13．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是3，点M、N分别是棱AB、AA1的中点，则异面直线MN与BC1所成的角是．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1是等边三角形则∠A1BC1为，从而求出异面直线MN与BC1所成的角．【解答】解：如图，连接A1B，A1C1，MN∥A1B,则∠A1BC1为直线MN与BC1所成的角棱长为3,则A1B＝A1C1＝BC1＝3，∴三角形A1BC1为等边三角形则∠A1BC1为从而异面直线MN与BC1所成的角是故答案为．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力,解题本题的关键寻找异面直线所成角，易错在计算．14．函数y＝log2（3﹣2x﹣x2）的值域为(﹣∞，2］．【分析】可看出0＜3﹣2x﹣x2≤4，然后根据对数函数的单调性即可得出原函数的值域．【解答】解：∵0＜3﹣2x﹣x2＝﹣（x+1）2+4≤4,∴，∴原函数的值域为：（﹣∞，2］．故答案为：(﹣∞，2]．【点评】本题考查了配方求二次函数值域的方法，对数函数的定义域和单调性，考查了计算能力，属于基础题．15．已知幂函数是奇函数，且f(5)＜1，则m的值为0．【分析】根据题意利用函数的性质列出不等式求出m的值，再验证即可．【解答】解：因为幂函数，且f(5)＜1，＜1，即2m2+m﹣3＜0,解得﹣＜m＜1;又因为m∈Z,所以m＝﹣1，或m＝0；当m＝﹣1时,2m2+m﹣3＝﹣2，不符题意,舍去;当m＝0时，2m2+m﹣3＝﹣3，符合题意；所以m的值为0．故答案为：0．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．16．阿基米德(公元前287年﹣公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球"的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为．【分析】设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高为2r，利用圆柱的表面积可得r＝2,进而可求出圆柱的体积,再根据阿基米德的结论,即可求出该圆柱的内切球体积．【解答】解：设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r，所以圆柱的表面积为：2πr×2r+2πr2＝24π，解得：r＝2,所以圆柱的体积为:πr2×2r＝16π,根据阿基米德的结论，该圆柱的内切球体积为:16π×＝,故答案为:．【点评】本题主要考查了圆柱的结构特征，以及球的体积公式，是基础题．三．解答题（共6小题）17．已知A＝｛x|﹣3≤x﹣2≤1｝，B＝｛x｜a﹣1≤x≤a+2}（a∈R）．(Ⅰ）当a＝1时，求A∩B；（Ⅱ）若A∪B＝A,求实数a的取值范围．【分析】(Ⅰ）a＝1时,可得出B＝{x｜0≤x≤3｝,并可求出A＝{x|﹣1≤x≤3}，然后进行交集的运算即可;（Ⅱ）根据A∪B＝A即可得出B⊆A,从而得出，解出a的范围即可．【解答】解:(Ⅰ）a＝1时，B＝{x｜0≤x≤3}，且A＝｛x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝［0,3］；（Ⅱ)∵A∪B＝A,∴B⊆A,∴，解得0≤a≤1，∴实数a的取值范围为[0，1]．【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集的定义及运算，子集的定义,考查了计算能力,属于基础题．18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E,AB＝3,求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．【分析】(1）由线面垂直的性质可得B1C1⊥BE，结合BE⊥EC1利用线面垂直的判定定理可证明BE⊥平面EB1C1；（2）由条件可得AE＝AB＝3,然后得到E到平面BB1C1C的距离d＝3，在求四棱锥的体积即可．【解答】解:（1）证明：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1,B1C1∩EC1＝C1，∴BE⊥平面EB1C1;（2）由（1）知∠BEB1＝90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，∴E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝3,∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18．【点评】本题考查了线面垂直的判定定理和性质,考查了四棱锥体积的求法,属中档题．19．2019年中央电视台在周日晚上推出的一档新的综艺节目，为了解节目效果,一次节目结束后，现随机抽取了500名观众（含200名女性）的评分（百分制)进行分析，分别得到如图所示的两个频率分布直方图．（Ⅰ）计算女性观众评分的中位数与男性观众评分的平均分；（Ⅱ）若把评分低于70分定为“不满意”，评分不低于70分定为“满意”．（i）试比较男观众与女观众不满意的概率，并说明理由;（ii）完成下列2×2列联表，并回答是否有95％的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．女性观众男性观众合计“满意"“不满意”合计参考数据：K2＝P（K2≥k)0。050。0100。001k3.8416。63510.828【分析】(Ⅰ）利用中位数左侧的小矩形的面积之和为0.5，即可估计女性观众评分的中位数，利用每组区间中点值乘以该组的频率依次相加,即可估计男性观众评分的平均数；（Ⅱ）（i）分别估算男观众与女观众不满意的概率，再比较即可；（ii）计算K的观测值K2,对照题目中的表格，得出统计结论．【解答】解:（I）根据题意，设女性观众评分的中位数为x，∴10×0。01+10×0.02+（x﹣70)×0.04＝0。5,∴x＝75，男性观众评分的平均数为55×0.15+65×0。25+75×0。3+85×0。2+95×0。1＝73。5;（II）（i)男性观众不满意的概率大，记∁A表示事件：“女性观众不满意”；∁B表示事件：“男性观众不满意",由直方图得P（∁A)的估计值为（0。01+0。02）×10＝0。3，P（∁B）的估计值为(0.015+0.025）×10＝0.4,所以男性观众不满意的概率大;（ii）列联表如下图:女性观众男性观众合计“满意”140180320“不满意”60120180合计200300500所以，故有95％的把握认为性别和对该综艺节目是否满意有关．【点评】本题考查了估计中位数和平均数，以及独立性检验的应用问题,也考查了计算能力的应用问题，是中档题．20．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．（1)求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k）＜0恒成立,求k的取值范围．参考答案：（1)∵函数f（x)为R上的奇函数，∴f（0）＝0，即＝0，解得b＝1，a≠－2,从而有f（x）＝．又由f(1）＝－f(－1)知＝－，解得a＝2．(2）先讨论函数f（x)＝＝－＋的增减性．任取x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x2）－f(x1)＝－＝,∵指数函数2x为增函数，∴＜0，∴f（x2)＜f(x1），∴函数f(x)＝是定义域R上的减函数．由f(t2－2t）＋f(2t2－k)＜0得f(t2－2t)＜－f(2t2－k)，∴f(t2－2t）＜f(－2t2＋k），∴t2－2t＞－2t2＋