含根式函数值域的求法

含根式函数值域的几何求法意更加明确，又可以使运算得到简化。例1求函数y=2x+1-x+3的最小值.解：由x+3 0得：x -3.u=2x+1(u -5) 1令 ，消去x得：v2=1(u+5)-5,v 0)v=x+3(v 0) 2则点(u,v)在v2=1(u+5)的抛物线段上，又在直线v=u-y上，如图1，易知，当直线与抛物线相切时，－y与抛物线相切时，－y取最大值，取y最小值。联立方程组v=2(u5)+，v=u-yu整理得：2v-v-y-5=0，由△=0，即：(-1)2-4 2 (-y-5)=0y8∴原函数的最小值为-41.8而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。例2求函数y=1-x+3+x-1的值域.解：由1解：由1-x0解得：-3x 1.3+x0令u=1-x(0 u2)xu2v2=4(0u 2,0 v 2 v=3+x(0v 2)则点(u,v)u2+v24vuy+1上，图2如图2，显然OA yOB又∵OA=2,OB=22∴1 y 22-1即为原函数所求的值域。3yx2+4x26x+10的最小值.分析：当我们把y=x2+4+x2-6x+10化为：y(x-0)+(0-2)(x-3)+(0-1)时，容易联想到两点间距离。解x2+4= +2-6+10=-02+(-22+x32+(-x2+4设P(x设P(x,0)，A(0,2)，B(3,1)，则问xPPA、3，易求得点AxA/的坐标为(0,－2)，则：AP+BPA/PBP=A/B即为最小.∴ymin=AB=(0-3)+(-2-1)=23.要不等式进行求解，但是判别式法计算量很大，不易求解，而复数法实质上就是上述解法的另一种形式，可见，利用数形结合求解含根式函数的值域，不但简化了解题过程，而且在思维上提高了认识，对培养学生的创造力具有重要的意义。4y16+10xx240+14x的值域.y16+10xx240+14xx2得：y 9-(x-5)2-9-[(x-2)-5]22 x-(x-2)∴kCDkAB∵B，C两点的坐标分别为(4,22),(6,22)k∴kCDkAB∵B，C两点的坐标分别为(4,22),(6,22)kkCD=-2,kAB=2图4∴-2 y 22∴原函数的值域为

即：-22 y 22.-22,22 .例5求函数y=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1的最大值.解：由已知函数得：y=(x2-2)2+(x-3)2-(x2-1)2+(x-0)2上式可看作抛物线u=v2上的点P到点A(3，2)，B(0，1)距离之差的最大值，如图5.由PA-PBAB可知：当点P在ABP/处时，yAB.∴ymax=(3-5.由PA-PBAB可知：当点P在ABP/处时，yAB.∴ymax=(3-0)+(2-1)=10.u=x(0 u 4)v=4-(x-2)2(0 v 2)x整理得：(u-2)2+v2=4，则y=2u-2v+7=2+(-2) 22+(-2)2，其中2u-2v+7是半园A：(u-2)2+v2=4(0 v 2)上点到直线l：2u-2v+7=0的22+(-2)2距离，如图6，从圆心A作AC⊥l于C交半园A于E，BD⊥l于D，则CE 2u-2v+ CE ∴22+(-2)2CE∴22+(-2)2CEy22+(-2)2BD∵CE=AC-2=-2，BD=2152∴11-42 y 15.例7求函数y=1-2x的最大值.x+2分析：把原函数化为y=1-2x-0时，我们就容易联想到两点的斜率公式。x-(-2)解：由

1-2x 0 2 2得：- 0x . 22u=xv=1-2x2(-2uu=xv=1-2x2(-2u22，(02)v1)则y=1

-2x+

x 1-2x2-0x-(-2)(2) 2 - -其中1x-2x -0可看作是椭圆弧2u2+v2=1(- 2 u (2) 2 - -0)连线的斜率k，如图7易知：当直线过点Q且与椭圆弧相切时，其斜率取最大值。2u2+v2=1联立方程组 2u+v=1，消去v化简整理得：v=k(u+2)(k