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文档简介

Chapter2(6)函数的连续性(1)教学要求：1.理解函数连续性的概念；2.会判别函数间断点的类型；3.了解初等函数的连续性.1.增量

一般地，定义1.定义2.概括起来f(x)在x0处连续必须满足三个条件：3.左右连续定义

注意：(1)f(x)在x0连续与它在该点左右连续的关系有如下结论:(2)对于区间的左端点只要右连续则称为连续；对于区间的右端点只要左连续则称为连续.4.函数在区间上的连续性

在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.对于区间端点上的连续性则按左右连续来确定!连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.Proof.1.间断点的定义

若f(x)至少满足下列条件之一，则称f(x)在x0处不连续,x0为f(x)的间断点.Solution.这种间断点称为可去间断点.Solution.这种间断点也称为可去间断点.Solution.函数图形在间断点x=1处发生跳跃，故称跳跃间断点.Solution.这时称x=0为f(x)的无穷间断点.Solution.这时称x=0为f(x)的振荡间断点.2.间断点的分类

间断点是根据左右极限是否存在进行分类的!可去间断点(左右极限存在且相等的间断点)跳跃间断点(左右极限存在但不相等的间断点)无穷间断点(极限为无穷大的间断点)振荡间断点(极限不确定的间断点)如图所示可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx1.连续函数的运算

定理1（四则运算）Proof.定理2（反函数的连续性）严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.定理3（复合函数的连续性）Proof.将上两步合起来:当函数连续时，极限符号与函数符号可以交换位置!2.初等函数的连续性

(1)基本初等函数在其定义域内是连续的.三角函数的连续性:

----由连续的定义可证.----由连续性的四则运算可证.反三角函数的连续性:由反函数的连续性得到.

对数函数的连续性:

----已证指数函数的连续性:

----由反函数的连续性得到.

幂函数的连续性:

----由复合函数的连续性得到.

(2)初等函数在其定义区间内是连续的.注意:(1)弄清楚定义域,定义区间,连续区间的关系;并会求函数的连续区间.(2)记住初等函数的连续区间即为定义区间;而分段函数需考虑分段点的情况.(3)利用函数的连续性可求极限.Solution.为所求函数的定义域.故没有连续区间.Solution.Solutio

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