动态因子模型

关于动态因子模型第1页，共46页，2023年，2月20日，星期三目录二因子的估计三因子数量的决定一引言四被估计因子的应用五选择性拓展第2页，共46页，2023年，2月20日，星期三：宏观计量经济学家面临一个特有的数据结构：一方面，可靠和相关数据的年份数量是有限制的，且不能很容易地增长。另一方面，战后很长时间内，统计局收集了很多相关数据，包括宏观经济，金融，有关经济领域内变量的月度和季度数据。

因此，宏观经济学家面临的数据集：成百上千个序列，但每个序列观察的数量相当少（例如20至40年的季度数据）。第3页，共46页，2023年，2月20日，星期三DFMs：背景：最初由Geweke(1977)提出，作为以前由横截面数据发展而来的因子模型的一个时间序列扩展。早期影响力作品中，SargentandSims(1977)，有两个动态因子能够解释大部分美国重要的宏观经济季度变量的方差，例如产量，就业和价格。

Giannone,Reichlin,andSala(2004)andWatson(2004),一个因子能够解释宏观经济序列的大部分方差，这一主要的经验主义发现已被许多研究所证实。在过去几十年得到很大注意力，因为它能够模拟序列数量大于时间观测数量的数据集的同时性和一致性。目的：在现有的DFMs著作中，所描述的在某种程度上具体足以用于使研究者创新于此领域，关键的理论结果，应用和经验主义的发现。

BaiandNg(2008)和StockandWatson(2006)对这个作品提供了补充性的调查。BaiandNg(2008)比这个更有技术性，并且更专注于计量经济学的理论和条件；StockandWatson(2006)关注在DFM基础上的预测，它是在许多预测者使用的其他方法背景下进行的。第4页，共46页，2023年，2月20日，星期三DFMs：前提：

一些潜在的动态因子，联动于一个时间序列变量构成的高维向量，也被一个均值为零的特殊干扰向量所影响。这些特殊干扰是由测量误差和特定于单个序列的特殊性质所引起的（例如，沙门氏菌恐慌对餐厅就业的影响）。这些潜在的因子，遵循一定的时间序列过程，一般认为是一个向量自回归过程（VAR）。第5页，共46页，2023年，2月20日，星期三DFMs：动态因子模型用方程式表示为：这里有N个序列，所以和

为N×1阶；有q个动态因子，所以和

为q×1阶；L为滞后算子，且滞后多项式矩阵λ(L)和Ψ(L)分别为N×q阶和q×q阶。第i个滞后多项式

是第i个序列所加载的动态因子，

和

是第i个序列的主成分。我们假定(1)和(2)中所有的过程都是固定的（不固定的情况在本章最后部分讨论）。特殊干扰被假定与前后的创新因素是不相关的，即，对于所有的k，

。在所谓精确的动态因子模型中，特殊干扰被假定为在前后步中是不相关的，即，对于所有的s，，

,如果i≠j。第6页，共46页，2023年，2月20日，星期三DFMs：考虑DFMs的一个重要的动机是：如果已知因子，且是高斯的，我们就能对一个单独的变量做出有效的预测，运用到滞后因素和变量滞后性的总体回归。于是，预测者只运用q个因子就能从所有N变量中得到好处，这里q远远小于N。特别地，在方差损失下，第i个变量的最理想的向前一步预测为：这里第三行根据等式(2)，最后一行根据(1)和精确的DFM假设。

于是，有效总体预测回归的维数不会随着系统变量的增加而增加。第7页，共46页，2023年，2月20日，星期三计量经济学家将会考虑的第一个问题：估计因子（或更精确的说，判断因子的跨越空间）和确定有多少因子。

——第2和第3部分一旦有了这些因子的可靠估计量，不仅仅是用来预测，而且把它们作为工具变量，估计因子增广向量自回归（FAVARs）和估计动态随机一般均衡模型（DSGEs）。

——第4部分第5部分会讨论一些拓展。

第8页，共46页，2023年，2月20日，星期三二因子估计Geweke(1977)和SargentandSims(1977)开创性的工作是用频域分析方法来寻找动态因子结构的迹象和预测因子的重要程度。然而，那些方法不能够直接估计，因此也不能用于预测。后来的DFMs工作针对时域分析方法，这时能够直接被估计。第9页，共46页，2023年，2月20日，星期三DFMs的时域估计研究分为三个阶段第一阶段：低维（N很小）参数模型

运用高斯最大似然估计法（MLE）和卡尔曼滤波。这种方法提供了在模型假设和参数下f的最佳估计量（和最佳预测值）。然而，那些参数的估计必须包括非线性的优化，这种优化有限制参数数量的作用，从而限制能够被处理，运用的序列数量。第10页，共46页，2023年，2月20日，星期三第二阶段：大N的非参数估计

运用横截面平均方法，主要是主成分和相关分析方法。第二阶段的关键结果是因子拓展空间的主成分估计量是一致的，此外，如果N充分大，因子被精确的估计其精确度足以使其作为后面回归的数据。第11页，共46页，2023年，2月20日，星期三第三阶段：运用因子的一致非参数估计量来估计第一阶段中状态空间模型的参数，从而解决第一阶段模型中相关的维度问题。在状态空间模型中，许多参数未知的问题解决办法是运用贝叶斯方法，即，用优先和整合取代最大化，一小部分论文用到这种解决方法，它同时还用到第二和第三阶段的（传统的）估计量。第12页，共46页，2023年，2月20日，星期三注意：

这一部分中所有方法都假设数据已消除单位根和其趋势。代表性地，通过区分所需的序列，然后标准化不同的序列来完成；例如，一个典型的元素X可能为一个真实活动预测量的某一阶段增长率，它被标准化为零均值和单位标准偏差。第13页，共46页，2023年，2月20日，星期三2.1第一阶段：时域最大似然法，通过卡尔曼滤波Engleand

Watson(1981,1983),StockandWatson(1989),Sargent(1989),andQuahandSargent(1993)：早期的动态因子模型的时间域估计用卡尔曼滤波来估算高斯似然，用最大似然法来估计参数，然后用卡尔曼滤波和滤波器得到因子有效估计。第14页，共46页，2023年，2月20日，星期三把DFM写成一个线性状态空间模型。令p作为滞后多项式矩阵λ(L)的维度，表示一个r×1维向量，令,这里为第i个滞后矩阵λ(L)的N×q维系数矩阵。令Φ(L)为只包含1，0和Ψ(L)中元素的矩阵。DFM(1)和(2)被改写为：这里，G为一个只有1和0的矩阵，因此(5)和(2)是等价的。等式(4)和(5)被称为DFM的静态形式，因为这些因子只能同时出现。第15页，共46页，2023年，2月20日，星期三线性状态空间模型通过详细说明对于和误差的过程而完成。典型地，误差项被假定为遵循单变量的自回归：

随着更进一步的假设为服从独立同分布，,i=1,...,N,服从独立同分布，,j=1,...,q,和是独立的,等式(4)到(6)构成一个完全线性状态空间模型。给出了这些参数，卡尔曼滤波能够用作计算可能性和估计的过滤值，进而估计。(6)第16页，共46页，2023年，2月20日，星期三这个参数的状态空间模型的好处是，它能够处理数据的不规则性。EM算法会用来估计参数的最大似然估计(MLEs)。不过，参数的数量要与N成比例，所以MLE系数的直接估计是难处理的。第17页，共46页，2023年，2月20日，星期三2.2第二阶段：非参数平均方法1横截面平均法为什么起作用2主成分估计3广义主成分估计4动态主成分第18页，共46页，2023年，2月20日，星期三1横截面平均法为什么起作用

考虑的横截面平均因子估计的动机为，特殊干扰的加权平均数将根据弱大数定理收敛到0，以至于只有因子的线性组合依然存在。横截面平均估计量是在DFM(4)的静态表示基础上的。横截面平均估计量是非参数的，在某种意义上他们不需要这样一个参数模型，正如(5)中的因子F或者(6)中的特殊动态。所取代的是，被认为是一个由一N维数据向量所估计的r维参数。取代参数假设，按照ChamberlainandRothschild(1983)的近似因子模型的较弱的假设是关于因子结构的。尤其是，考虑到以下条件，第19页，共46页，2023年，2月20日，星期三把构造的的估计量看作X的加权平均数，用到了一个权重为W的非随机N×r矩阵，这里W被标准化以至于W’W/N=:(9)一般来说，对于Λ将会有不足的结构去假定一个权重矩阵W，W不依靠这些主成分分析所到达的数据。第20页，共46页，2023年，2月20日，星期三2主成分估计F的主成分估计量是加权平均估计(9)，并且W=

，这里的

是

的样本方差矩阵的特征向量矩阵，

,关联于

的r个最大的特征向量。主成分估计量能够导出最小二乘问题的解决办法：服从于其标准化

。为了解决(11),首次最小化Λ提供的

，从而得到

,然后集中于目标函数，因此(11)变成

。这个最小化问题等价于

,它依次等价于

服从于

。这个最后的问题的解决办法是使

等价于

扩展的特征向量，它与它的r个最大的特征向量相对应。因为

,这意味着F的最小二乘估计量是

,即X的扩展的前r个主成分。第21页，共46页，2023年，2月20日，星期三

的主成分估计量的一致性首次被显示为固定的T和N→∞,被ConnorandKorajczyk(1986)在确切的静态因素模型中表示。StockandWatson(2002s)在更弱的条件下证明了因子的统一一致性，允许特殊误差的弱连续和互相关。也提供了N和T的率条件，在

被当作是第二阶段最小二乘回归的数据的条件下（即，

的估计误差不能够影响

作为回归量的OLS的系数的渐进分布）。Bai(2003)提供了估计因子和一般成分的极限分布。BaiandNg(2006a)提供了增长率，尤其是N→∞，T→∞和N2/T→∞，在

是一致的且在后来的回归中作为数据的条件下；他们也提供了用

估计的一般成分的置信区间结构的结果。第22页，共46页，2023年，2月20日，星期三3广义主成分估计广义主成分对于主成分相当于广义最小二乘法对于最小平方。如果干扰误差变量矩阵Σ与单位矩阵不成比例，那么最小二乘回归的类比表明

和Λ解决了(11)的加权版本，这里的权重矩阵为

:第23页，共46页，2023年，2月20日，星期三至少有三个可行的广义主成分估计的版本被提名为DFM。首先，Forni,Hallin,Lippi,andReichlin(2005)重新整理了这个分解，

，这里

是一般成分

(这个分解由(4)而来)的方差来获得

。他们提出通过动态主成分来估计

(在下面会提到)。第二，BoivinandNg(2003)提出运用估计量

,这里

是

在主成分估计量

上回归的误差变量的通常估计量；令

的非对角线位置为0,则它们的权重矩阵只含有N个估计元素。这些解决办法都没有提出

有可能序列相关。把这个考虑在内的话，StockandWatson(2005)提出了一个三步的解决办法，近似于Cochrane-Orcutt估计量，当

通过主成分被首次估计时，N个独立自回归适合在

上

回归的残差，X运用第i个自回归的系数是拟差分的，然后Boivin-Ng(2003)的Σ的对角线方法也应用于这些拟差分中。第24页，共46页，2023年，2月20日，星期三4动态主成分动态主成分是由Brillinger(1964,1981)发展而来的主成分的频域模拟。Forni,Hallin,Lippi,andReichlin(2000,2004)证明了一般成分的一致性并且提供了其收敛率，这些一般成分是被动态主成分估计的。通过动态主成分估计f的方法需要两边平滑，所以样本最后f的估计量是不可得的。结果是，动态主成分不能够直接用于预测，工具变量回归，FAVAR或者其他需要用到f的估计量的应用，对于所有样本来说。在这个调查中我们不再进一步讨论这个方法。第25页，共46页，2023年，2月20日，星期三2.3第三阶段：混合主成分和状态空间方法估计因子方法的第三个阶段是融合状态空间方法的统计效率和主成分方法的便利性及平稳性。这个合并的估计过程发生在两步：首先，这些因子通过主成分或者一般主成分所估计；第二步，这些被估计因子用来估计状态空间表示的未知参数。第26页，共46页，2023年，2月20日，星期三静态因子的状态空间模型：模型由(4)-(6)给出。动态因子的状态空间模型模型由式(1)(2)和(6)给出。第27页，共46页，2023年，2月20日，星期三这些被估计参数完全地填充于状态空间模型中，以至于或能够运用卡尔曼平滑来更好地估计其估计量，这个估计量能引起时间序列平均。运用这些被估计的系数作为系数最大可能估计的一致开始值也是可能的。EngleandWatson(1983),QuanandSargent(1993)andDoz,Giannone,andReichlin(2006):最大似然估计能够运用EM算法来估计；JungbackerandKoopman(2008):解决了如何加快在DFM中卡尔曼透视的估值，通过把转换为一个r×1阶向量；Jungbacker，Koopman，andvanderWel(2009):提供了额外的计算设备，当存在缺失数据时也能够使用。第28页，共46页，2023年，2月20日，星期三2.4估计量的比较一些研究把各种估计量与真实数据作比较，得到了某种程度上不同的结论。当因子和特殊干扰是一致时，一般主成分估计量实质上更精确与共同成分的主成分估计量，虽然当N和T非常大时，这种不同会消失。并且在一个标准化数据下，只有很小的不同存在。把主成分估计量的预测性与各种可行的一般主成分估计量作比较：虽然存在细微差别，总体结论是运用各种因子估计量产生的预测值是高度共线的。第29页，共46页，2023年，2月20日，星期三2.5贝叶斯估计DFM参数和因子也能用贝叶斯方法来估计。主要是由于三点：首先，当存在很多未知参数时，综合估算后面的部分能够在数字上更简单，更稳定；第二，在非线性或非高斯潜在变量模型中，直接估算的可能性是非常小的；第三，一些分析人员可能希望以一个先验分布的形式在模型的开头强加一些信息。第30页，共46页，2023年，2月20日，星期三贝叶斯方法在模型中包括非线性，非高斯元素时特别有用。eg：一四变量的DFM，这个模型的自然分层有助于Gibbs抽样和模型参数和动态因子后部贡献的估计；非线性或非高斯状态空间模型的一般MCMC解决办法。另外一个优点是贝叶斯估计比第二三阶段方法产生更好的预测。第31页，共46页，2023年，2月20日，星期三三因子数量的决定对于估计静态因子r和动态因子q的数量的一些方法是可得的。3.1估计静态因子r的数量3.2估计动态因子q的数量第32页，共46页，2023年，2月20日，星期三3.1估计静态因子r的数量BaiandNg(2002):静态因子r的数量能够被先验信息，因子碎石图的视觉检验和信息标准的运用所决定。作为视觉诊断法的因子碎石图

因子碎石图是的有序特征值构成的图，它允许视觉评定第i个主成分的边际贡献，来描绘而不是前i个主成分回归的R的平方。在此基础上的正式测验将在下面讨论。

第33页，共46页，2023年，2月20日，星期三以信息标准为基础的r的估计：因子碎石图基础上的正式检验(13)第34页，共46页，2023年，2月20日，星期三3.2估计动态因子q的数量三种方法：HallinandLiska(2007)提出一个频域过程，它基于观察到的一般成分频谱的秩是q;BaiandNg(2007)提出了这样一个估计量，它基于观察到总体向量自回归(5)中的创新方差矩阵有秩q；

AmengualandWatson(2007)的估计量是基于：在过去值的回归中，其剩余值有一个秩为q的因子结构，这里表明基于样本方差矩阵的BaiandNg(2007)的信息标准不满足动态因子数量的一致估计。第35页，共46页，2023年，2月20日，星期三我们自己有限的MonteCarlo实验表明，BaiandNg(2007)有着某种程度上更好的有限样本性能，相对于AmengualandWatson(2007)的估计量。第36页，共46页，2023年，2月20日，星期三四被估计因子的应用被估计因子能够作为数据应用于第二阶段的回归和估计结构性模型（FAVAR和DSGE）。4.1在第二阶段回归中的因子应用预测作为工具变量第37页，共46页，2023年，2月20日，星期三4.2增广向量自回归(FAVAR)FAVAR作为一种解决VAR模型构造中两个相关问题的方式：第一，在一常见的N个变量的VAR中，参数数量会随着N的平方增长，因此当N/T很大时，无限制的VAR是不可实行的，这一问题的解决办法是强加先验分布的形式结构到参数上，但这时需要一个先验分布；第二，SVARs的可逆性或非根本性问题。第38页，共46页，2023年，2月20日，星期三Bernanke,Boivin,andEliasz(2005)提出维数问题可以通过强加来自DFM中的限制条件来解决。参考这个，以VAR形式来写静态的DFM(4)-(6)是可行的。结果是：(14)中所有的参数都能被估计。eg第39页，共46页，2023年，2月20日，星期三至于SVARs的问题，需要强加足够的识别限制：运用通常SVAR识别工具包的延伸，包括强加短期内的限制；长期内限制；通过最大化一个或更多变量的主成分方差来识别冲击；强加对符号的限制等。第40页，共46页，2023年，2月20日，星期三4.3运用D