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文档简介
关于函数的极值与函数图像第1页,共23页,2023年,2月20日,星期三aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0复习:函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有,则为常数.设函数y=f(x)在某个区间内可导,f(x)增函数f(x)减函数第2页,共23页,2023年,2月20日,星期三巩固:定义域R,f′(x)=x2-x=x(x-1)令x(x-1)>0,得x<0或x>1,则f(x)单增区间(-∞,0),(1,+∞)令x(x-1)<0,得0<x<1,f(x)单减区(0,1).注意:求单调区间:1:首先注意定义域,
2:其次区间不能用
(U)连接(第一步)解:(第二步)(第三步)第3页,共23页,2023年,2月20日,星期三
f
(x)<0
yxOx1aby=f(x)极大值点两侧极小值点两侧
f
(x)<0
f
(x)>0
f
(x)>0极值x2
xX<x2
x2X>x2
f(x)
f(x)
xX<x1
x1X>x1
f(x)
f(x)增f(x)>0f(x)=0f(x)<0极大值减f(x)<0f(x)=0增减极小值f(x)>0注意:(1)
f(x0)=0,x0不一定是极值点(2)只有f(x0)=0且x0两侧单调性不同
,
x0才是极值点.(3)求极值点,可以先求f(x0)=0的点,再列表判断单调性结论:极值点处,f(x)=0第4页,共23页,2023年,2月20日,星期三求解函数极值的一般步骤:(1)确定函数的定义域(2)求方程f’(x)=0的根(3)用方程f’(x)=0的根,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成表格(4)由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况小结第5页,共23页,2023年,2月20日,星期三因为所以例1
求函数的极值.解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,
–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.第6页,共23页,2023年,2月20日,星期三变式求下列函数的极值:解:
令解得列表:x0f(x)+单调递增单调递减–所以,当时,f(x)有极小值第7页,共23页,2023年,2月20日,星期三求下列函数的极值:解:
解得列表:x(–∞,
–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.第8页,共23页,2023年,2月20日,星期三求下列函数的极值:解:
解得所以,当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22
.解得所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2
.第9页,共23页,2023年,2月20日,星期三例3已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1时取得极值,且f(1)=-1,(1)试求常数a、b、c的值;(2)试判断x=±1时函数取得极小值还是极大值,并说明理由.[解析]
(1)由f′(-1)=f′(1)=0,得3a+2b+c=0,3a-2b+c=0.又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.第10页,共23页,2023年,2月20日,星期三[点评]若函数f(x)在x0处取得极值,则一定有f′(x0)=0,因此我们可根据极值得到一个方程,来解决参数.第11页,共23页,2023年,2月20日,星期三第12页,共23页,2023年,2月20日,星期三第13页,共23页,2023年,2月20日,星期三第14页,共23页,2023年,2月20日,星期三而x1<x2,∴x1+x2=0.∴b=0.代入①式,得a(x2-1)=0.∵a>0,∴x=±1.再代入f(x1)或f(x2),得a=2.∴a=2,b=0.第15页,共23页,2023年,2月20日,星期三注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。思考1.判断下面4个命题,其中是真命题序号为
。①f(x0)=0,则f(x0)必为极值;②
f(x)=在x=0
处取极大值0,③函数的极小值一定小于极大值④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。⑤函数的极值即为最值第16页,共23页,2023年,2月20日,星期三有极大值和极小值,求a范围?思考2解析:f(x)有极大值和极小值f’(x)=0有2实根,
已知函数解得a>6或a<3第17页,共23页,2023年,2月20日,星期三练习1:
求在时极值。第18页,共23页,2023年,2月20日,星期三练习2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1与x=-1
处有极值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的极值.第19页,共23页,2023年,2月20日,星期三练习3:
已知函数f(x)=x2-2(m-1)x+4在区间[1,5]内的最小值为2,求m的值第20页,共23页,2023年,2月20日,星期三练习4
:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定实数a的取值范围,并求出这三个单调区间.第21页,共23页,2023年,2月20日,星期三小结:1个定义:极值定义2个关键:
①可导函数y=f(x)在极值点处的f’(x)=0
。
②极值点左右两边的导数必须异号
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