化归与类比数学思想解题举例(刘化运)

442222442222化归与比数学思解举例一把一个陌生的问题复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题，从而使问题得到解决就是化归与类比的数学思想与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方法下面介绍一些常用的转化方法及化归与类比思想解题的应用。一、新（一）正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决函数与反函数的有关问题对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。例：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标次的概率为——分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中，来求解（略解他四次射击未中1次的概率=C1

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01=0.1∴他至少射击击中目标1次的概率为－－.1

4

.9999例3：求数的范围，使曲线yx的所有弦都不能被直线y=m(x－垂直平分.（分析直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲y=存在关于直线ym(x－对称的两点，求m的范围。（略解抛物线y=x上存在两点（，）和（x，x）关于直线112y=m(－3)对称，则x2xm2

xx1(22

即

x2m(11xm

消去x得22x

21m0mm/

∴存(xx211

),(,2

22

∵上述方程有解∴△

3

mm2

2

＞0(2m1)(61从而m2

2

0因此，原问题的解为｛|m

12

｝（二）一般与特殊的转化当面临的数学问题由一般情况难以解决以从特殊情况来解决之亦然，这种方法在选择题，填空题中非常适用。例1：设比数列｛a｝的公比为q，前n项和为，若、、成等n+1nn差数列，则q【分析】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求的值：、S、21S成等差，求的值这样就避免了一般性的复杂运算.3略解：qSa,Sa11111

2∵231∴22a11

2

2(a≠)1∴q=2或q（舍去）例：已知平面上的直线l的方向向量

3,)5

，点(0，和(1,－2)l上的射影分别O

，O

则（）A．

11B．－5

C．D－【分析直线l的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看

必为定3值。可见直线l的变化不会值。因此我们可取l为x求4值。3略解：设l︰yA)4/

()143y4

8可得)5O=2

e

83(,),)55例3：设棱—C的体积为V、Q分别是侧棱CC上的11点，且=QC，则四棱锥B—的体积为：11A．VB．V．D6【分析】P、Q运动四棱锥B—PAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决【略解】取与A重合，Q与C重合的特殊情况V

B

B

ABC

1V3（三）主与次的转化利用主元与参变量的关系视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。例12≤0对x上恒成立，求实数的取值范围例：对任a数(xx数x取值范围是：_______

2

的值总大于，则实对于例1：令x)2ax则从图像知f(≤0f0

－≤a1对于例2：我们也可以转化为例1的形式只需视f(x)为关于的函数，问题就可以转化为例的情况：令g(x)(2)a2)

2

x2)关于的一次函数，由图像知g＞0g＞0

或＜1＞3/

例3：设的实数

2

4xyx则的取值范围是：【分析】解x范围。

2

xy0作是关于的二次方程，则利用△≥求【略解4y所以方程有解。

2

xy0作是关于的二次方程，因为的实数，∴△=x)(x≥0∴｛x|x≤-2或≥3｝例：关于的二次方求的范围。

2

(0,有两个不等的实根，【分析将方程写

，并且用函数的观点认识，m就成了

x的二次函数，的取值范围就是在定义(0,，函数值的范围。【略解将方程转化m

2

x出图像如m上和每一个m都有不同的两个不同的，x与之对应。1∴[3,4)（四）数学各分支之间的转化数学各分支间的转化是一种重要策略应用十分广泛比如用向量解立体几何，用解读几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。例1：在面体内部有一点O，使得直AOBO，DO与四体的面BCDABC分别交于AD四点，且满足111AODO，求K可能的取值。AOCOD1111【分析立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，于是命题可以从“△ABC内部有一点，使得直线与三角形的三边CA交于点AB，且满足111AOBO求K的可能取值的推理过程探求思考途径在平面几何AOCO11/

22中AABCAA1KAOBOCSOBC11且

3OAB，于是K=2KABC据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理V1OV1【解读】在四面体中，有OBCD,1KBBK1ABCDABCDV1DOV1OABD1OABCVKDDVK1CABD1

且

OBCD

OCDA

OABD

OABC

4KK（五）陌生与熟悉的转化例1：学将召开学生代表大会，高三有7名额分配给5个班，每班至少有一个名额，问名额分配方法有多少种？解插板法C

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例2：方

的正整数解的组数为多少解：7“1”之间插四个板二、练习：1．已知下三个方程：

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xa0,ax20,x2ax0至少有一个方程有实根，求实数a取值范围。｛a≥或a≤－

32

｝2．过抛物

x的焦点的直线交抛物线A、两点，为坐标原点，则值为：_______A．B．－．D．33．对于满|≤2的所有实数P，求使不等式x＞2+p恒成立的x的取值范围/

｛x|＜－1x≤－3｝4．在平面，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积，试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命___________（过三棱锥的顶点及底面的中线的截面平分三棱锥的体积）三、小结：我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题填空题中使用在大题中可有管种方法来探究解题的突破口寻求解题的方法数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。主与次的转化的方法是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。类比与转化思想在教案中应用非常普遍我们在解每一道题时实际上都在转化和类比。将问题由难转易陌生的问题转为熟悉的问题从而从问题得到解决，类比与转化的类型很多，归纳如下：高次问题——→低次问题多元问题——