五年级下册数学试题五升六讲义第15讲 行程问题(奥数板块)北师大版

第十五讲板块一相遇问题程=速遇时间

行程问题

和=遇间=总度和例1、

甲、乙两辆汽车同时从东西两地向开出，甲每小时行56千米，乙每小时行48米，两车在离两地中点32处相遇。问：东西两地间的距离是多少千米？跟踪训1：1、

一辆汽车和一辆摩托车同时从甲乙两地相对开出，汽车每小时行40千摩托车小时行65千米，当摩托车行到两地中点处，与汽车还相距75千。乙两地相距多少千？2、

张、李两人同时从甲地出发去乙，李骑自行车每分钟行200张步行每分钟走80，李达乙地后立即按原路返回，当他与相遇时，张离乙地还有多远？例2、和小张同时从甲乙两地相对走来已知小张骑摩托车的速度是小李骑自行车速度3倍当两人相遇时，小张比小李多行千甲、乙两地的距离是多少千米？跟踪训2：李、王两人同时从相距900、B两对出发，已知李骑摩托的行驶速度是步行速度的8倍那么两人相遇时，各行了多少千？1

2轿和货车同时从甲乙两城的中点处，向反的方向行驶时轿车到达甲城，此时货车离乙城还有140千已知轿车的速度是货车的2倍城相距多少千米例3

甲、乙两车早上8时别B两时相向发，到10时车相距112.5千两车继续行驶到下午1，两车相还是千、两间的离是多少千米？跟踪训3：1、甲乙同时从AB两相向出发3时后，车还相距120千又行3时，车又相距千相距多少千米？2、甲乙分别从AB两同时相向而行，匀速前进。如各人按原定速度前进4时相遇；如果两人各自比原计划少走千，5小相B两相多千？2

板块二追及问题差速度及时间追及问题差=路差及时间

追及时间路程差度差例1

中巴车每小时行60千车小行千同从相距千的地方开且中巴在前。几小时后小轿车追中巴车？跟踪训1：兄弟二人从100米道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前每分钟跑120米哥在后，每分钟跑140米几钟哥追弟例2

一辆汽车从甲地开往乙地，要3千开按计划以每小45米的速度行驶，途中因汽车故障修车2时。因为按时到达乙地，修好车后必须每小时多30千。车在甲多处修车的？跟踪训2：、小王家离工厂3米，他每天骑车以每分钟200米速上正好准时到工厂。有一天，出发几分钟后，因遇熟人停车分，为了准时到厂，后面的必须每分钟多行100米小是离厂多远处遇到熟人的？、一辆汽车从甲地开往地，若每小时行千8小到达。这汽车以每小时36千速度行驶一段时间后队加油用了分了能在8小到达乙地油每小时必须多行7.2千米。加油站离乙地多少千米？3

例3

甲、乙两人以每分钟60的速度同时、同地、同向步行出发。15分甲返回原地取东西，而乙继续前进。甲取东西用去5分钟的时间，然后改骑自车以每分钟360米的速度追乙。甲骑车少分钟才能追上乙？跟踪训3：快车每小时行60千慢车每小时行40千两车同时从甲地开往地。出发0.5小后，快车因故停下修车1.5小修好车后，快车仍用原前进，经过几小时才能追上慢车？例4

甲骑车、乙跑步，二人同时从同地点出发沿着长4千的形路方进晨。发10钟便乙后追上了乙二的度每分钟700米甲二人的速度各多少？跟踪训4：、爸爸和小明同时从同地点出发，沿相同方向在环形跑道上跑步。爸爸每分钟150，小明每钟跑，如果跑道全长米：至少经营几分钟爸从小明身后追上小明？2米环形跑道上，甲、乙二人同时同地同向跑，甲每秒5米乙秒4.4。两人起跑后的第一次相遇点在起跑线多少米？4

板块三多人相遇问多人相遇追及问题，即在同一直上3个个的对象之间的相遇追及问题。所有行程问题都是围绕“路”这基本关系式展开的，比如我们遇到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的质也是这三个量之间的关系转化可到如下两条关式：路程和度遇间；路程差度及时间；多人相遇与追及问题虽然较复杂但只要抓住这两条公式，逐步表征题目中所涉及的数量，问即可迎刃而解．例1甲A地同时乙、丙从B去地甲和乙相后分与丙相遇，知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟100米分90米每钟75米求、两间的距离。跟踪训1：客车、货车、小轿车的速度分别每小时60千50千、千，客车、货车在，小轿车在，三车同时出发，小轿车客货车相向而行，小轿车与客车相遇1小和货车相，求两地的距离。例2、乙两车的速度分别为52米／时和40米／时，它们同时从地发地，出发后6时甲遇一迎来的卡车1时车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。跟踪训2：1、

甲乙丙三人沿环形林荫道行走，时从同一地点出发，甲、乙按顺时针方向行走，丙按逆时针向行走。已知甲每小时行7千乙每小时行51时后甲、丙二人相遇，又过了分，与乙相遇，问甲、丙相遇时丙行多少千米？5

2甲、丙三辆车同时从地到地，甲、乙车的速度分别为60米／时和48千／时。有一辆迎面开来的卡车分在他们出发5时6时8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。例3、甲、丙三人，甲每分钟走40米丙每分钟走60，甲、乙两人从地时出发相向而行们15分后从B出发追赶乙后甲在中相遇7钟甲又和丙相遇，又过了分才上乙，那么两距多少米？跟踪训3：甲、乙、丙在湖边散步，三人同从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小5.4千，速度是每小时4.2米，她们二人同方向行走，丙与们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在分，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程多少？板块四多次相遇问）非环形跑道多次相遇题：要注意“第一次相遇行的全程数”与“第二次相遇行的全数”的关系。从两端出发的直线型多次相遇问相遇次数路程和

同一出发点的直线型多次相遇问相遇次数路程和123n

1352n1

123n

2462n注：两个人相遇，如果没有特殊调一般都是指两个人的迎面相遇，而在第一种情况两人从两出发相向而行，他们总是在奇数全程上相遇（迎面相遇，不包括追及相遇6

例1甲人一长30米直路上来回步是每秒1米是每0.6米果他们同时分别从直路的两端出，当他们跑了10钟后，共相遇几次？跟踪训1：A、两距950米．甲、乙两同时由A地往返锻炼半小时．甲步行，分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米则、二一遇多少次？第几次迎面相遇距B地近例2甲、乙两车同从城相向而行，在距离城千遇，都到达对方城市后立即以原速度原路返回，又在距离A城千处相遇，两城相距多少千米？跟踪训2：1、

两辆汽车同时从东、西两站相向出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后两车继续以原来的速度前进达车后都立即返回中点西侧米处相遇多少千米？2、

甲、乙两辆汽车同时从、地相对开出。第一次相遇时离站90千然后各按原速继续行驶达对方车站后立即原路返回相在离A的距离占两间的。间的路程是多少千米？7

例3、甲两人分别从、两同时相向而行，甲每分钟15米，乙每分钟走75，相遇后续前进，到达对方地点后又返回续走，他们第三次相遇与第五次相遇地点相8米求地相距多少米？跟踪训3：甲乙两车分别从两出发，在B之间不断往返，已知甲车的速度是每小时15米，乙车的速度是每小时35千，并且甲乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰相100千那么B两之间的距离是多少千米？板块五流水行船问在流水行船问题中，我们的参考将不再是速度为0的参系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船速度的影响，具体为：①水速=速水；②逆水=速速解差问题）由述个子们难出个用结：船=顺水速度)÷2；水=顺-逆速)÷2此外，对于河流中的漂浮物，我还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速水速度。流行问中相与及①两只船在河流中相遇问题，当、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速+逆水速=（甲船速）＋（乙船-速）甲船+船船速②同样道理，如果两只船，同向动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无甲船顺水速-顺水速（甲船速-（速船-乙速也有：甲船逆水速船逆水速甲船-速）（-速=甲乙速说明：两船在水中的相遇与追及题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水没有关系.例、甲、两港间的水路长千，一只船从甲港开往乙港，顺水时到达从乙港返回甲港，逆水小达，船在静水中的速度和水流速度。8

跟踪训1：、甲、乙两港相距360千，一轮船往返两港需小，流行顺航多了5小.现在有一只帆船，静水中速度是每小时12千，只船两港要多少小时？、船从甲地到乙地要行2，从乙地到甲地要3小，现有一条木筏甲地顺着河漂流到乙地要几小时？例、一走船以同样的速度往返于甲、乙两个港口，它顺流而下行小逆流而上行10小如果水流速度是每小时千求甲、乙两港口之间的距离。跟踪训2：、轮船以同一速度往返两码头之间。它顺流而下，行了小；逆流而上，行10时。如果水流速度是每小时3千，求两码头之间的距离。、一条轮船往返于AB地之间，由A到B地顺行，由B地地逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时，由地地了6时，由地所用的间是由A地地用的1.5倍求流度例3有乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而，乙船也同时从河东向西而行。甲船行小时后与漂流物相距100千，乙船行小后流物相遇，船的划速相同，河长多少千米？跟踪训3：、有两只木排，甲木排漂流物同时由A地地行，乙木排也同时从B向前行，甲木排5时后与漂流物相距75千，木行15小后与漂流物遇，两木排的划速相同B两长多少千米？9

、某人畅游长江，逆流上，在A处失只，他又向前游了20分，发丢水，返回追寻，在离处2米的地方追到他返回追寻用多少分？板块六火车过桥问火车过桥是行程问题中一类有趣小问题。通常，在行程中所涉及的运动物体（人或车）是不虑本身长度的，但火车的长度不忽略不计。火车通过大桥是指从车头上桥到车尾离桥，也就火车运动的总路程是车长加桥长。过问题的基本数量关系：·车=长＋车长）÷通过时间·通过时=长＋车长）÷车速·桥=×通过时间－车长·车=×通过时间－桥长·这类问题经常涉及到错车和超:①（甲车身长＋乙车身长）÷（速＋乙速=车时间；②（甲车身长＋乙车身长）÷（速－乙速=车时间。例1:

一列火车以每分钟600米度通过一座长2200大桥，如果火车全长200米，从车头上桥到车尾离开大桥另一端，共需多分钟？跟踪训1：、一座大桥长600米一火长米过40，这列火车秒行多少米？、一个车队以4米秒度缓缓通过一座长200米桥共用115已知每辆车长米两车间隔米：这车队共有多少辆车？10

例2:

慢车车身长125米速每秒17车长140米速每22在前面行，快车在后面从追上到完全超过需多少秒？跟踪训2：火一长102,行20米一长120每秒行两车同向而第一列车追及第二列车到两车离开需要几?步行的速度为每2米一火从开超用了10秒已火长米火车的速.例3有两列火车，列火车长250米速度为/秒另列火车车长为120米为米。若两车相向而行，从相遇到离开要多少秒？跟踪训3：、有两列火车，一列火长米每行30米另火车长340米秒行米两车相向而行，从相遇到离开一共需要分钟？、客车以每秒钟米度行对开来一列货车，速度是每秒钟14，从身边经过共了10秒钟，问货车的车长是多少米？11

板块七环形跑道问：环形跑道问题，从同一地点出发如果是相向而行，则每合走一圈相遇一次；如果是同向而行则每追上一圈相遇一次．这个等关系往往成为我们解决问题的关键。环线型同向：路程差相对(反：和

同一出发点nSnS

直径两端+0.5S例：树小学有一条长米形跑道，小和小胖同时从起跑线起跑，小亚每秒6，小胖每秒跑4（）小亚第一次追上小时两人各跑了多少米？（）小亚第二次追上小时两人各跑了多少圈？跟踪训1：、一条环形跑道长400米甲骑自行车每分钟骑450，乙跑步每分钟250米人同时同地同向出发，经过多少分钟两人相遇？、奇思和妙想在操场上赛跑步，奇思每分钟跑250米妙想每分跑210一圈跑道长800米他们同时从起点出发，那么奇思三次超过妙想需要多少分钟？例：、一个周长为314的圆上的同一点相反的方向运动。甲每分钟走18.84米乙每分钟走12.56米当乙第二相遇时，甲比乙多走了多少米？12

跟踪训2：、一个圆形操场跑道的长是500米，两个学生同时同地背向而行黄莺每分钟走66米雀每分钟走米过几钟才能相?、小张和小王各以一定速度，在周长500米形跑道上跑步。王的速度是每分钟200米张和小王同时从同一地点出发，向跑步1分后一次相遇，小张的速度是多少？例：、丙三人在一个周长300米跑道上跑步，甲每分钟跑100米乙分米丙每分钟跑50如果他们同时从一个地方同方向跑步，那么至少多少分钟后三再次相遇？跟踪训3：、在环形跑道上AB两相100米甲乙人别AB两同发，按逆时针方向跑步。甲5秒，乙米/。每人每跑100米都要停10秒钟。那么，甲追乙需要多少秒?、周老师和王老师沿着校的环形林荫道散步，王老师每分钟55米师每分钟走米已林荫道周长是480米他从一点时而行。在他们第10次相遇后，王老师再走米就回到出发点。拓展知板块八上下坡问题13

变速变道问题属于行程中的综合，用到了分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于种分段变速问题，利用算术方法折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推过程转化成了计算．例从到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路一辆汽车上坡速度为每小千下坡速度每小时35千。甲地到乙地共用9小从乙地返回到甲地共用7.5小求去上坡路和下坡路分别为多少千米？跟踪训1：、从A地到B地上坡再下坡明坡速度是每小时行千下坡速度是每小30米小明往返共用小，小明爸往返用1.5小如果爸爸上坡每小时千米，那么爸爸下坡的速度是多少？1、从甲地到乙地全是山，其中上山路程是下山路程的，汽车上山速度是下山速度一半，从2甲地到乙地共用7小，这辆汽车从乙地返回甲地需要几时？8、小华以每小时米速度登山，走到途中A后，他将速度改每小时2米，在接下的13小时中他山顶又立即下山走A点500米地方他下山的速度是每小时4米，下山比上山少用了52.5。那么，他往返共走了多少千米？例如右图，从到B是坡路，从B到C是路，从到D上坡路。小和小王步行速度分别都是：上坡每小时4千平路每小时5千下坡每小时6千。人别两同时出发，1相向而行，经过1小在点，已知的离BC距的当小王到达后分小张5到达。求到全程距离。14

例甲、乙两人同时从山脚开始爬山，甲爬到山顶立即返回并与乙恰好在半山腰相遇，甲下山速度是上山速度的2倍上速度是乙上山速度的几倍？跟踪训2：、甲、乙两人同时从山开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人下山速度都是各上山速度的1.5，并甲比乙速度快，两人出发后1小，甲与乙在离山顶600米遇当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲从山脚出到回到山脚共用多少小时？、某人爬山锻炼身体，从山脚爬到山顶后，立即按原路返回山脚，共用40分如果把整个上、下山过程按时间顺序分四段。每40分，在第四个分第一个40分走了1.6米，三个40分比二分走了0.8千那么此人上山速度是每小时多少千？板块九发车问题间隔发车问题，只靠空间理想象稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎而解。①汽车间=车速+人速度）×相遇事件时间间隔②汽车间=车速人速度）×追及事件时间隔③汽车间=速度×汽车发车时间间隔例一条电车线路的点站和终点站分别是甲站和乙站，每5分一辆电从甲站发出开往乙站，全程要走分．一人乙出沿车骑车前往甲站．他出发的时，恰好有一辆电车到达乙站上他又遇到了10迎面开来的电车甲站时又有一辆车从甲站开出他从乙站到甲站用了多少分钟？15

跟踪训1：、、是共汽车的两个车站，从A站站坡路。天上午8到11点从A，B两每隔30同时相向发出辆公共汽车知A到B站需105分B站单需80（）：、9：00A站车司机分别能看到几辆从站来的汽车？（）从A站车的司机最少能看到几辆从开来的汽车？、小红在环形公路上行，每6分可以看见一辆公共汽车迎面开来，每9分有一辆公共汽车从背后超过她。如果小红步的速度和公共汽车的速度各自都保持一定，而汽车站每隔相的时间向相反的方向各发一辆公共汽，那么汽车站发车的间隔时间是多例：人沿着电车道旁的便道以每小

4.5

千米的速度步行，每

7.2

分钟有一辆电车迎面开过，每分钟有一辆电车从后面追过，如电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电的速度是多少？电车之间的时间间隔多少？跟踪训2：以匀速行走在一条路公前后两端隔相同的时间发一辆公共汽.现每隔15分有一辆公共汽车追上他10有一辆公共汽车迎面驶来擦身而问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?16

、小明放学后，沿某路共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度停地运行。每隔分有辆共汽车从后面超过他，每20分遇到迎面开的一辆公共汽车。问路公共汽车每隔多少分钟发一次车例一条公路上个骑车人和一个行人车度是步行人速度的3倍隔6有一辆公共汽车超过步行人隔10分有公共汽车超过骑车人果汽车始发发车的时间间隔保持不变，那么间隔几分钟发一公共汽车？跟踪训3：、一条街上，一个骑车与一个步行人同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍隔10分钟有一辆公共汽车超过行人隔20分有一辆公共汽车超过骑车人果汽车始发站每次间隔同样的时间发一辆车，那么间隔少分钟发一辆公共汽车？2、车总站每隔一定间开出一辆电车．甲与乙两人在一条街上沿着同一方向行走．每隔分钟遇上一辆迎面开来的电车每15分遇迎开的辆车甲度是乙的速度3倍那么电车总站每隔多少分钟开出辆电车？17

板块十猎狗追兔：问叙：子动作快、步子小；猎狗动作慢、步子大。通常我们遇的行程问题给的路程都是通用单位：米或千米等，但这类题中步与兔步是不一样的单位，解题关键在于统一单位，然后利追及问题公式“路程差÷速度=及时间”求。单的一在猎狗追兔的问题中狗步与兔步之间在距离上有一定关系。例：追赶前方15米野猎狗跑3步的时间野兔跑5步猎步离野兔要跑7.猎狗至少跑出多少米才能追上野?跟踪训：、一只野兔逃出步猎才它野跑的路程猎狗只需跑3，猎狗跑4步的时间兔子能跑步狗至少要跑多步才能追上野兔？现在离它9步的前方有一只奔跑的兔立赶,猎犬步子它5路兔子跑9,但兔子动作猎犬跑步时兔跑3猎至少跑多少才能追上兔?课作1.蜗一个枯井上爬，白天向上爬厘夜里向下滑40厘若要第6的白天爬到井口，这口井最多深厘2.张开车去送，在起点处他看见路边的里程碑上的两位数为，小后他见里程碑上的两位数为：，1小时，看见里程碑上的数为一三位数，且恰好是第一个里程碑上的两位数中间加上一个0km。张师傅的车速为每小时

千米。3.一度为每小72千汽车，向正前方向的一个回音壁驶去，笛4.5才听到回声，已知声音在空气中的速度是每秒340米，听回声时汽车离回音壁还有多远？18

4.甲、丙、丁人从同一地点出发都去某地，甲先走了一段时间，然后乙、丙丁三人一起同时出发，经过6小，乙追上甲；经过9时后，追上甲；经过12小，丁追上甲。已知乙每小时行千丙每时行23千那么丁每小时行多少千米？5.8：00客、货车两车同时甲、乙两地相向而行12：两相遇，货车到达甲地的时间是：，客车到达乙地时间是多少？6.电子猫在周长240米环跑跑一圈，前一半的时间每跑5，后一半时间每跑3米电子猫跑前120时用了7.一队以4的速度缓慢通过一座长200的大桥，共用115秒知每辆车长5，两车间隔米这队共有多少两辆车？8.学校组织同学旅，旅游车出发后，小小因故迟到，他拦截了一辆“的士”追赶士”司机告诉小小：若每小时行80千米，则需要1分追上；若每小时行米，42分就追。根据“的士”司机的估计，求旅车的速度是每小时多少千米？559.一车从甲地乙地，小了150米，正好行了全的，照这样计算，这辆汽车行完全36程共用多少小时？19

10.某人从地去乙地再返回甲地比前一天多走a千果时用了5天来了4那么甲、乙两地的距离是千11.野海飞往北海需要7天北飞南需9天它时分别从南海起大约要相遇12.一的速度是每小时90千，通过一座长888米桥，从火头上桥到车尾离桥，一共用了长秒么这火车长米

甲乙两地相距13.7米，他们相向而行。甲每小时行4.8千，乙每小时行4